級數的收斂/發散判定（Testing for Convergence or Divergence of a Series）
綜合探討判定級數收斂/發散的各種方法。
TL;DR
- 一般項判定法（$n$th-term test for divergence）: $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{級數 }\sum a_n \text{發散}$
- 幾何級數的收斂/發散: 幾何級數 $\sum ar^{n-1}$
- $|r| < 1$ 時收斂
- $|r| \geq 1$ 時發散
- $p$-級數的收斂/發散: $p$-級數 $\sum \cfrac{1}{n^p}$
- $p>1$ 時收斂
- $p\leq 1$ 時發散
- 比較判定法（Comparison Test）: 當 $0 \leq a_n \leq b_n$ 時，
- $\sum b_n < \infty \ \Rightarrow \ \sum a_n < \infty$
- $\sum a_n = \infty \ \Rightarrow \ \sum b_n = \infty$
- 極限比較判定法（Limit Comparison Test）: 若 $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \text{ (}c\text{為有限正數)}$，則兩個級數 $\sum a_n$ 和 $\sum b_n$ 要麼都收斂，要麼都發散
- 對於正項級數 $\sum a_n$ 和正數 $\epsilon < 1$
- 若對所有 $n$ 都有 $\sqrt[n]{a_n}< 1-\epsilon$，則級數 $\sum a_n$ 收斂
- 若對所有 $n$ 都有 $\sqrt[n]{a_n}> 1+\epsilon$，則級數 $\sum a_n$ 發散
- 根式判定法（Root Test）: 對於正項級數 $\sum a_n$，若極限值 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: r$ 存在，則
- $r<1$ 時級數 $\sum a_n$ 收斂
- $r>1$ 時級數 $\sum a_n$ 發散
- 比值判定法（Ratio Test）: 對於正數序列 $(a_n)$ 和 $0 < r < 1$
- 若對所有 $n$ 都有 $a_{n+1}/a_n \leq r$，則級數 $\sum a_n$ 收斂
- 若對所有 $n$ 都有 $a_{n+1}/a_n \geq 1$，則級數 $\sum a_n$ 發散
- 對於正數序列 $(a_n)$，若極限值 $\rho := \lim_{n\to\infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}$ 存在，則
- $\rho < 1$ 時級數 $\sum a_n$ 收斂
- $\rho > 1$ 時級數 $\sum a_n$ 發散
- 積分判定法（Integral Test）: 對於連續函數 $f: \left[1,\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}$，若 $f$ 為遞減函數且恆為正，則級數 $\sum f(n)$ 收斂的充要條件是積分 $\int_1^\infty f(x)\ dx := \lim_{b\to\infty} \int_1^b f(x)\ dx$ 收斂
- 交錯級數判定法（Alternating Series Test）: 若滿足以下條件，則交錯級數 $\sum a_n$ 收斂
- 對所有 $n$，$a_n$ 和 $a_{n+1}$ 的符號不同
- 對所有 $n$，$|a_n| \geq |a_{n+1}|$
- $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$
- 絕對收斂的級數必定收斂。反之則不成立。
先備知識
引言
在之前的序列與級數中，我們了解了級數收斂和發散的定義。本文將整理判定級數收斂/發散時可以使用的各種方法。一般來說，判定級數的收斂/發散比精確計算級數的和要容易得多。
一般項判定法
對於級數 $\sum a_n$，我們稱 $a_n$ 為該級數的一般項。
根據以下定理，我們可以輕易判斷某些級數明顯發散，因此在判定級數的收斂/發散時，首先檢查這一點是避免浪費時間的明智做法。
一般項判定法（$n$th-term test for divergence）
\[\lim_{n\to\infty} a_n=0\]
若級數 $\sum a_n$ 收斂，則也就是說，
\[\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{級數 }\sum a_n \text{發散}\]
證明
假設某個收斂的級數 $\sum a_n$ 的和為 $l$，並將前 $n$ 項的和表示為
\[s_n := a_1 + a_2 + \cdots + a_n\]則有
\[\forall \epsilon > 0,\, \exists N \in \mathbb{N}\ (n > N \Rightarrow |s_n - l| < \epsilon).\]因此，對於足夠大的（$>N$）$n$，我們有
\[|a_n| = |s_n - s_{n-1}| = |(s_n - l) - (s_{n-1} - l)| \leq |s_n - l| + |s_{n-1} - l| \leq \epsilon + \epsilon = 2\epsilon\]根據序列收斂的定義，我們得到
\[\lim_{n\to\infty} |a_n| = 0. \quad \blacksquare\]注意事項
這個定理的逆命題通常不成立。一個典型的例子是調和級數（harmonic series）。
調和級數是由等差數列的倒數，即調和數列得到的級數。最典型的調和級數是
\[H_n := 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \quad (n=1,2,3,\dots)\]我們可以如下證明這個級數發散：
\[\begin{align*} \lim_{n\to\infty} H_n &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{16} + \cdots \\ &> 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{16} + \cdots \\ &= 1 + \frac{1}{2} \qquad\, + \frac{1}{2} \qquad\qquad\qquad\ \ + \frac{1}{2} \qquad\qquad\quad + \frac{1}{2} + \cdots \\ &= \infty. \end{align*}\]儘管級數 $H_n$ 發散，但我們可以看到其一般項 $1/n$ 收斂於 $0$。
如果 $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$，則級數 $\sum a_n$ 必定發散，但如果 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$，並不能保證級數 $\sum a_n$ 會收斂。在這種情況下，我們需要使用其他方法來判定收斂/發散。
幾何級數
首項為 1，公比為 $r$ 的等比數列所得到的幾何級數（geometric series）
\[1 + r + r^2 + r^3 + \cdots \label{eqn:geometric_series}\tag{5}\]是最重要且基本的級數。從等式
\[(1-r)(1+r+\cdots + r^{n-1}) = 1 - r^n\]我們得到
\[1 + r + \cdots + r^{n-1} = \frac{1-r^n}{1-r} = \frac{1}{1-r} - \frac{r^n}{1-r} \qquad (r \neq 1) \label{eqn:sum_of_geometric_series}\tag{6}\]另一方面，
\[\lim_{n\to\infty} r^n = 0 \quad \Leftrightarrow \quad |r| < 1\]因此，我們知道幾何級數 ($\ref{eqn:geometric_series}$) 收斂的充要條件是 $|r| < 1$。
幾何級數的收斂/發散
幾何級數 $\sum ar^{n-1}$
- $|r| < 1$ 時收斂
- $|r| \geq 1$ 時發散
由此我們得到
\[1 + r + r^2 + r^3 + \cdots = \frac{1}{1-r} \qquad (|r| < 1) \label{eqn:sum_of_inf_geometric_series}\tag{7}\]幾何級數與近似值
當 $|r| < 1$ 時，恆等式 ($\ref{eqn:sum_of_geometric_series}$) 在計算 $\cfrac{1}{1-r}$ 的近似值時非常有用。
將 $r=-\epsilon$, $n=2$ 代入這個式子，我們得到
\[\frac{1}{1+\epsilon} - (1 - \epsilon) = \frac{\epsilon^2}{1 + \epsilon}\]因此，當 $0 < \epsilon < 1$ 時，
\[0 < \frac{1}{1 + \epsilon} - (1 - \epsilon) < \epsilon^2\]所以我們得到
\[\frac{1}{1 + \epsilon} \approx (1 - \epsilon) \pm \epsilon^2 \qquad (0 < \epsilon < 1)\]由此可知，對於足夠小的正數 $\epsilon$，$\cfrac{1}{1 + \epsilon}$ 可以近似為 $1 - \epsilon$。
$p$-級數判定法（$p$-Series Test）
對於正實數 $p$，以下形式的級數稱為 $p$-級數：
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\]$p$-級數的收斂/發散
$p$-級數 $\sum \cfrac{1}{n^p}$
- $p>1$ 時收斂
- $p\leq 1$ 時發散
在 $p$-級數中，當 $p=1$ 時就是調和級數，我們之前已經證明它發散。
當 $p=2$ 時的 $p$-級數，即 $\sum \cfrac{1}{n^2}$ 的值的計算問題，被稱為”巴塞爾（Basel）問題”，這個名字來源於首次證明這個級數收斂的伯努利家族的根據地。這個問題的答案已知為 $\cfrac{\pi^2}{6}$。
更一般地，$p$-級數中 $p>1$ 的情況被稱為zeta 函數（zeta function）。這是由萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在 1740 年引入，後來由黎曼命名的特殊函數之一，定義為
\[\zeta(s) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \qquad (s>1)\]這個話題有點偏離本文的主題，而且說實話，我是工科生而不是數學家，所以我也不太了解，因此在這裡不詳細討論。但值得一提的是，萊昂哈德·歐拉證明了 zeta 函數也可以用歐拉乘積（Euler Product）的形式表示，這是素數（prime number）的無限乘積形式。此後，zeta 函數在解析數論的多個分支中佔據了核心地位。將 zeta 函數的定義域擴展到複數的黎曼 zeta 函數（Riemann zeta function）以及與之相關的重要未解決難題黎曼假設（Riemann hypothesis）就是其中之一。
回到原來的主題，$p$-級數判定法的證明需要後面將要討論的比較判定法和積分判定法。然而，$p$-級數的收斂/發散可以與幾何級數一起在接下來的比較判定法中有效使用，因此我特意將其放在前面。
證明
i) 當 $p>1$ 時
積分
\[\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\ dx = \left[\frac{1}{-p+1}\frac{1}{x^{p-1}} \right]^\infty_1 = \frac{1}{p-1}\]收斂，因此根據積分判定法，我們知道級數 $\sum \cfrac{1}{n^p}$ 也收斂。
ii) 當 $p\leq 1$ 時
在這種情況下，
\[0 \leq \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n^p}\]我們知道調和級數 $\sum \cfrac{1}{n}$ 發散，因此根據比較判定法，$\sum \cfrac{1}{n^p}$ 也發散。
結論
根據 i) 和 ii)，$p$-級數 $\sum \cfrac{1}{n^p}$ 在 $p>1$ 時收斂，在 $p \leq 1$ 時發散。$\blacksquare$
比較判定法
當判定一般項為非負實數的級數（即正項級數（series of positive terms））的收斂/發散時，雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）的比較判定法（Comparison Test）非常有用。
正項級數 $\sum a_n$ 是遞增數列，因此如果不是發散到無窮大（$\sum a_n = \infty$），就必定收斂。因此，對於正項級數，
\[\sum a_n < \infty\]這樣的表達意味著收斂。
比較判定法（Comparison Test）
當 $0 \leq a_n \leq b_n$ 時，
- $\sum b_n < \infty \ \Rightarrow \ \sum a_n < \infty$
- $\sum a_n = \infty \ \Rightarrow \ \sum b_n = \infty$
特別是，對於正項級數中類似於我們之前討論的等比級數 $\sum ar^{n-1}$ 或 $p$-級數 $\sum \cfrac{1}{n^p}$ 的形式，如 $\sum \cfrac{1}{n^2 + n}$, $\sum \cfrac{\log n}{n^3}$, $\sum \cfrac{1}{2^n + 3^n}$, $\sum \cfrac{1}{\sqrt{n}}$, $\sum \sin{\cfrac{1}{n}}$ 等，積極嘗試使用比較判定法是個好主意。
後面將討論的其他幾種收斂/發散判定法都可以從這個比較判定法推導出來，從這個意義上說，比較判定法可以說是最重要的。
極限比較判定法
對於正項級數 $\sum a_n$ 和 $\sum b_n$，如果兩個級數的一般項之比 $a_n/b_n$ 中分子和分母的主導項（dominant term）相互抵消，使得 $\lim_{n\to\infty} \cfrac{a_n}{b_n}=c \text{ (}c\text{為有限正數)}$，且我們知道級數 $\sum b_n$ 的收斂/發散情況，那麼我們可以使用以下的極限比較判定法（Limit Comparison Test）。
極限比較判定法（Limit Comparison Test）
\[\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \text{ (}c\text{為有限正數)}\]
如果則兩個級數 $\sum a_n$ 和 $\sum b_n$ 要麼都收斂，要麼都發散。也就是說，$ \sum a_n < \infty \ \Leftrightarrow \ \sum b_n < \infty$。
根式判定法
定理
對於正項級數 $\sum a_n$ 和正數 $\epsilon < 1$
- 若對所有 $n$ 都有 $\sqrt[n]{a_n}< 1-\epsilon$，則級數 $\sum a_n$ 收斂
- 若對所有 $n$ 都有 $\sqrt[n]{a_n}> 1+\epsilon$，則級數 $\sum a_n$ 發散
推論：根式判定法（Root Test）
\[\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: r\]
對於正項級數 $\sum a_n$，若極限值存在，則
- $r<1$ 時級數 $\sum a_n$ 收斂
- $r>1$ 時級數 $\sum a_n$ 發散
在上述推論中，當 $r=1$ 時無法判定收斂/發散，需要使用其他方法。
比值判定法
比值判定法（Ratio Test）
對於正數序列 $(a_n)$ 和 $0 < r < 1$
- 若對所有 $n$ 都有 $a_{n+1}/a_n \leq r$，則級數 $\sum a_n$ 收斂
- 若對所有 $n$ 都有 $a_{n+1}/a_n \geq 1$，則級數 $\sum a_n$ 發散
推論
對於正數序列 $(a_n)$，若極限值 $\rho := \lim_{n\to\infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}$ 存在，則
- $\rho < 1$ 時級數 $\sum a_n$ 收斂
- $\rho > 1$ 時級數 $\sum a_n$ 發散
積分判定法
使用積分法可以判定由遞減的正數列組成的級數的收斂/發散。
積分判定法（Integral Test）
\[\int_1^\infty f(x)\ dx := \lim_{b\to\infty} \int_1^b f(x)\ dx\]
對於連續函數 $f: \left[1,\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}$，若 $f$ 為遞減函數且恆為正，則級數 $\sum f(n)$ 收斂的充要條件是積分收斂。
證明
由於函數 $f(x)$ 連續且為遞減函數，同時恆為正，因此不等式
\[f(n+1) \leq \int_n^{n+1} f(x)\ dx \leq f(n)\]成立。將這個不等式從 $n=1$ 到一般項逐項相加，我們得到不等式
\[f(2) + \cdots + f(n+1) \leq \int_1^{n+1} f(x)\ dx \leq f(1) + \cdots + f(n)\]現在使用比較判定法，我們就得到了想要的結果。$\blacksquare$
交錯級數
如果級數 $\sum a_n$ 的一般項不為零，且每一項 $a_n$ 的符號與其下一項 $a_{n+1}$ 的符號相反，即正項和負項交替出現的級數，我們稱之為交錯級數（alternating series）。
對於交錯級數，我們可以有效地利用以下由德國數學家戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）發現的定理來判定其收斂/發散。
交錯級數判定法（Alternating Series Test）
如果
- 對所有 $n$，$a_n$ 和 $a_{n+1}$ 的符號不同，
- 對所有 $n$，$|a_n| \geq |a_{n+1}|$，
- $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$，
則交錯級數 $\sum a_n$ 收斂。
絕對收斂級數
對於級數 $\sum a_n$，如果級數 $\sum |a_n|$ 收斂，我們說”級數 $\sum a_n$ 絕對收斂（converge absolutely）”。
此時，以下定理成立：
定理
絕對收斂的級數必定收斂。
上述定理的逆命題不成立。
如果一個級數收斂但不絕對收斂，我們稱之為”條件收斂（converge conditionally）”。
證明
對於實數 $a$，定義
\[\begin{align*} a^+ &:= \max\{a,0\} = \frac{1}{2}(|a| + a), \\ a^- &:= -\min\{a,0\} = \frac{1}{2}(|a| - a) \end{align*}\]則有
\[a = a^+ - a^-, \qquad |a| = a^+ + a^-\]因為 $0 \leq a^\pm \leq |a|$，根據比較判定法，如果級數 $\sum |a_n|$ 收斂，則級數 $\sum a_n^+$ 和 $\sum a_n^-$ 也都收斂。因此，根據收斂級數的基本性質，
\[\sum a_n = \sum (a_n^+ - a_n^-) = \sum a_n^+ - \sum a_n^-\]也收斂。$\blacksquare$