相對性原理與洛倫茲變換

TL;DR

相對性原理：等速運動的不同參考系中，所有物理定律應該是相同的原理

洛倫茲因子 $\gamma$

\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\]

洛倫茲變換

\[\begin{pmatrix} \vec{x}^\prime \\ ct^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\vec{\beta} \\ -\gamma\vec{\beta} & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{x} \\ ct \end{pmatrix}.\]

• $ \vec{x^\prime} = \gamma\vec{x}-\gamma\vec{\beta}ct $
• $ ct^\prime = \gamma ct - \gamma \vec{\beta}\cdot\vec{x} $

逆洛倫茲變換

\[\begin{pmatrix} \vec{x} \\ ct \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & \gamma\vec{\beta} \\ \gamma\vec{\beta} & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{x^\prime} \\ ct^\prime \end{pmatrix}.\]

• $ \vec{x} = \gamma\vec{x^\prime}+\gamma\vec{\beta}ct^\prime $
• $ ct = \gamma ct^\prime + \gamma \vec{\beta}\cdot\vec{x^\prime} $

參考系與相對性原理

參考系 (frame of reference)

• 參考系(frame of reference)：物體的運動是指其位置相對於其他物體而變化，由於所有運動都是相對的，因此描述任何運動時都需要設定一個參考系作為基準。
• 慣性參考系(inertial frames of reference)：符合牛頓(Newton)第一運動定律（”物體所受的合力為0時，其運動狀態保持不變”）的系統。相對於一個慣性系以等速度運動的任何參考系都是慣性參考系。

相對性原理 (Principle of Relativity)

作為物理學的主要概念之一和基本前提，相對性原理指出在等速運動的不同參考系中，所有物理定律應該是相同的。如果相對運動的觀察者們所觀測到的物理定律彼此不同，那麼這種差異可以用來設定一個絕對參考系，從而確定誰是靜止的，誰是運動的。然而，根據相對性原理，這種區別是不存在的，因此整個宇宙中不存在絕對參考系或絕對運動，所有慣性參考系都是等價的。

伽利略變換的局限性

伽利略變換 (Galilean transformation)

假設有兩個慣性系 $S$ 和 $S^{\prime}$，其中 $S^{\prime}$ 相對於 $S$ 以恆定速度 $\vec{v}$ 沿 $+x$ 方向運動。同一事件在 $S$ 系統中被觀測為在時刻 $t$ 的座標 $(x, y, z)$ 處發生，而在 $S^{\prime}$ 系統中被觀測為在時刻 $t^{\prime}$ 的座標 $(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime})$ 處發生。

此時，在 $S^{\prime}$ 中測量的運動 $x$ 方向值應比在 $S$ 中測量的值大 $\vec{v}t$，即 $S^{\prime}$ 相對於 $S$ 在 $x$ 方向上移動的距離，因此

\[x^{\prime} = x - \vec{v}t \label{eqn:galilean_transform_x} \tag{1}\]

而在 $y$ 和 $z$ 方向上沒有相對運動，所以

\[\begin{align*} y^{\prime} = y \label{eqn:galilean_transform_y} \tag{2} \\ z^{\prime} = z \label{eqn:galilean_transform_z} \tag{3} \end{align*}\]

直觀上，我們可以假設

\[t^{\prime} = t \tag{4} \label{eqn:galilean_transform_t}\]

以上從式 ($\ref{eqn:galilean_transform_x}$) 到 ($\ref{eqn:galilean_transform_t}$) 的物理學中傳統上用於不同慣性系之間的座標變換稱為伽利略變換(Galilean transformation)，這在日常情況下大多是正確的，因此簡單而直觀。然而，如後所述，這與麥克斯韋方程式相矛盾。

麥克斯韋方程式

法拉第(Faraday)、安培(Ampere)等其他科學家提出的想法和先前研究成果在11800年代後期被麥克斯韋(Maxwell)擴展，揭示了電和磁實際上是同一種力，並推導出描述電磁場的以下四個方程式：

1. \[\begin{gather*}\nabla\cdot{E}=\frac{q}{\epsilon_0} \\ \text{：通過任意閉合曲面的電通量等於內部的淨電荷量（高斯定律）。} \end{gather*}\]
2. \[\begin{gather*}\nabla\cdot{B}=0 \\ \text{：磁單極（磁荷）不存在。} \end{gather*}\]
3. \[\begin{gather*}\nabla\times{E}=-\frac{\partial B}{\partial t} \\ \text{：磁場的變化產生電場（法拉第定律）。} \end{gather*}\]
4. \[\begin{gather*}\nabla\times{B}=\mu_0\left(J+\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}\right) \\ \text{：電場的變化和電流產生磁場（安培-麥克斯韋定律）。} \end{gather*}\]

麥克斯韋方程式成功解釋了當時已知的所有電和磁現象，預測了電磁波的存在，並推導出在真空中電磁波的速度 $c$ 是一個不變的常數，成為電磁學的核心公式。

伽利略變換與麥克斯韋方程式之間的矛盾

使用伽利略變換的牛頓力學已經作為物理學的基礎超過200年，而麥克斯韋方程式如上所述是描述電和磁現象的核心方程式。然而，這兩者之間存在以下矛盾：

• 根據相對性原理，麥克斯韋方程式也應該在所有慣性系中具有相同的形式，但當使用伽利略變換將一個慣性系中測量的值轉換為另一個慣性系中測量的值時，麥克斯韋方程式會呈現非常不同的形式。
• 從麥克斯韋方程式可以計算出光速 $c$ 的大小，這是一個不變的常數，但根據牛頓力學和伽利略變換，光速 $c$ 在不同的慣性系中測量結果應該不同。

因此，麥克斯韋方程式和伽利略變換彼此不相容，至少需要修改其中之一。這成為後來洛倫茲變換(Lorentz transformation)出現的背景。

以太(aether)理論與邁克爾遜-莫雷實驗

在11800年代的物理學中，人們認為光與水波或聲波等其他波一樣，是通過一種假想的介質以太(aether)傳播的，科學家們努力尋找這種以太的存在。

根據以太理論，即使宇宙空間是真空，也充滿了以太，因此地球以約30km/s的速度繞太陽公轉時，應該會形成穿越地球的以太風。

圖片來源

• 作者：維基媒體用戶 Cronholm144
• 授權：CC BY-SA 3.0

為了驗證這一假設，人類紀元 11887年，邁克爾遜(Michelson)與莫雷(Morley)合作進行了邁克爾遜-莫雷實驗(Michelson-Morley Experiment)，使用下圖所示的干涉儀。

圖片來源

• 作者：Albert Abraham Michelson with Edward Morley
• 授權：public domain

在這個實驗中，光線通過半鏡分成兩束，分別沿干涉儀的兩個垂直臂來回行進約11米，然後在中間點相遇，此時兩束光的相位差會產生增強或減弱的干涉條紋。根據以太理論，由於相對於以太的速度不同，光的速度應該有差異，因此相位差也會變化，應該能觀察到干涉條紋的變化。然而，實際上並沒有觀察到干涉條紋的變化。為了解釋這一實驗結果，有多種嘗試，其中菲茨傑拉德(FitzGerald)和洛倫茲(Lorentz)提出了洛倫茲-菲茨傑拉德收縮(Lorentz–FitzGerald contraction)或長度收縮(length contraction)，認為物體相對於以太運動時會發生長度收縮，這導致了洛倫茲變換的發展。

當時洛倫茲相信以太的存在，並認為長度收縮是由相對於以太的運動引起的。後來愛因斯坦(Einstein)通過特殊相對論(Theory of Special Relativity)解釋了洛倫茲變換的真正物理意義，用時空的概念而非以太來解釋長度收縮，並證明以太實際上並不存在。

洛倫茲變換 (Lorentz transformation)

洛倫茲變換的推導

在前面討論的伽利略變換（式 [$\ref{eqn:galilean_transform_x}$]-[$\ref{eqn:galilean_transform_t}$]）的相同情況下，假設 $x$ 和 $x^{\prime}$ 之間不與麥克斯韋方程式矛盾的正確變換關係如下：

\[x^{\prime} = \gamma(x-\vec{v}t). \label{eqn:lorentz_transform_x}\tag{5}\]

這裡 $\gamma$ 與 $x$ 和 $t$ 無關，但可能是 $\vec{v}$ 的函數。我們可以這樣假設的原因如下：

• 為了使 $S$ 中發生的事件與 $S^{\prime}$ 中發生的事件一一對應，$x$ 和 $x^{\prime}$ 必須是線性關係。
• 已知伽利略變換在日常力學情況下是正確的，因此必須能夠近似為式 ($\ref{eqn:galilean_transform_x}$)。
• 形式應盡可能簡單。

由於物理公式在參考系 $S$ 和 $S^{\prime}$ 中應該具有相同的形式，因此要用 $x^{\prime}$ 和 $t$ 表示 $x$，只需改變 $\vec{v}$ 的符號（相對運動的方向），而兩個參考系之間除了 $\vec{v}$ 的符號外沒有其他差異，所以 $\gamma$ 應該相同。

\[x = \gamma(x^{\prime}+\vec{v}t^{\prime}). \label{eqn:lorentz_transform_x_inverse}\tag{6}\]

與伽利略變換一樣，垂直於 $\vec{v}$ 方向的分量 $y$ 和 $y^{\prime}$，以及 $z$ 和 $z^{\prime}$ 沒有理由不同，因此

\[\begin{align*} y^{\prime} &= y \\ z^{\prime} &= z \end{align*} \label{eqn:lorentz_transform_yz} \tag{7}\]

現在將式 ($\ref{eqn:lorentz_transform_x}$) 代入 ($\ref{eqn:lorentz_transform_x_inverse}$)，得到

\[x = \gamma^2 x - \gamma^2 \vec{v}t + \gamma \vec{v}t^{\prime}\]

對 $t^{\prime}$ 進行整理，得到

\[t^{\prime} = \gamma t + \left(\frac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)x \label{eqn:lorentz_transform_t} \tag{8}\]

為了與麥克斯韋方程式不矛盾，光速在兩個參考系中都必須是 $c$，我們可以用這一點來求解 $\gamma$。假設 $t=0$ 時兩個參考系的原點在同一位置，根據這個初始條件，$t^\prime = 0$。現在假設 $t=t^\prime=0$ 時在 $S$ 和 $S^\prime$ 的共同原點有一道閃光，各參考系的觀察者測量這道光的速度。在參考系 $S$ 中

\[x = ct \label{eqn:ct_S}\tag{9}\]

在參考系 $S^\prime$ 中

\[x^\prime = ct^\prime \label{eqn:ct_S_prime}\tag{10}\]

使用式 ($\ref{eqn:lorentz_transform_x}$) 和 ($\ref{eqn:lorentz_transform_t}$) 替換上式中的 $x$ 和 $t$，得到

\[\gamma (x-\vec{v}t) = c\gamma t + \left(\frac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)cx\]

解這個方程得到 $x$

\[\left[\gamma-\left(\frac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)c \right]x = c\gamma t + \vec{v}\gamma t\] \[\begin{align*} x &= \cfrac{c\gamma t + \vec{v}\gamma}{\gamma-\left(\cfrac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)c} \\ &= ct\left[ \cfrac{\gamma + \cfrac{\vec{v}}{c}\gamma}{\gamma - \left( \cfrac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}} \right)c} \right] \\ &= ct\left[ \cfrac{1 + \cfrac{\vec{v}}{c}}{1 - \left( \cfrac{1}{\gamma^2}-1 \right)\cfrac{c}{\vec{v}}} \right] \end{align*}\]

但根據式 ($\ref{eqn:ct_S}$)，$x=ct$，因此

\[\cfrac{1 + \cfrac{\vec{v}}{c}}{1 - \left( \cfrac{1}{\gamma^2}-1 \right)\cfrac{c}{\vec{v}}} = 1\]

所以

\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \label{lorentz_factor}\tag{11}\]

將這個關於 $\vec{v}$ 的 $\gamma$ 表達式代入式 ($\ref{eqn:lorentz_transform_x}$)、($\ref{eqn:lorentz_transform_yz}$) 和 ($\ref{eqn:lorentz_transform_t}$)，我們最終得到從參考系 $S$ 到 $S^\prime$ 的變換式。

洛倫茲變換的變換矩陣

我們最終得到的變換式如下：

• \[x^\prime = \frac{x-\vec{v}t}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \label{eqn:lorentz_transform_x_fin}\tag{12}\]
• \[y^\prime = y \label{eqn:lorentz_transform_y_fin}\tag{13}\]
• \[z^\prime = z \label{eqn:lorentz_transform_z_fin}\tag{14}\]
• \[t^\prime = \frac{t-\cfrac{\vec{v}x}{c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \label{eqn:lorentz_transform_t_fin}\tag{15}\]

這些式子就是洛倫茲變換(Lorentz transformation)。令 $\vec{\beta}=\vec{v}/c$，可以用矩陣表示如下：

\[\begin{pmatrix} x_1^\prime \\ x_2^\prime \\ x_3^\prime \\ ct^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & -\gamma\vec{\beta} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\gamma\vec{\beta} & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ ct \end{pmatrix}. \label{lorentz_transform_matrix}\tag{16}\]

洛倫茲(Lorentz)證明了使用這個變換式時，電磁學的基本公式在所有慣性參考系中都具有相同的形式。此外，當速度 $v$ 遠小於光速 $c$ 時，$\gamma \to 1$，因此可以近似為伽利略變換。

逆洛倫茲變換 (inverse Lorentz transformation)

有時候，將靜止系 $S$ 中的測量轉換為運動系 $S^\prime$ 中的測量不如反過來將運動系 $S^\prime$ 中的測量轉換為 $S$ 中的測量更方便。 在這種情況下，可以使用逆洛倫茲變換(inverse Lorentz transformation)。
求 ($\ref{lorentz_transform_matrix}$) 的逆矩陣，得到以下逆洛倫茲變換矩陣：

\[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ ct \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & \gamma\vec{\beta} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \gamma\vec{\beta} & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1^\prime \\ x_2^\prime \\ x_3^\prime \\ ct^\prime \end{pmatrix}. \tag{17}\]

這相當於在式 ($\ref{eqn:lorentz_transform_x_fin}$)-($\ref{eqn:lorentz_transform_t_fin}$) 中交換帶撇號和不帶撇號的物理量，並將 $v$ 替換為 $-v$（即將 $\beta$ 替換為 $-\beta$）。

• \[x = \frac{x^\prime+\vec{v}t^\prime}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \tag{18}\]
• \[y = y^\prime \tag{19}\]
• \[z = z^\prime \tag{20}\]
• \[t = \frac{t^\prime+\cfrac{\vec{v}x^\prime}{c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \tag{21}\]