牛頓運動定律

TL;DR

牛頓運動定律（Newton’s laws of motion）

1. 除非受到外力作用，否則物體會保持靜止或等速直線運動狀態。
2. 物體動量的時間變化率等於作用在該物體上的力。
   • $\vec{F} = \cfrac{d\vec{p}}{dt} = \cfrac{d}{dt}(m\vec{v}) = m\vec{a}$
3. 當兩個物體相互作用時，它們之間的作用力和反作用力大小相等，方向相反。
   • $\vec{F_1} = -\vec{F_2}$

等效原理（principle of equivalence）

• 慣性質量：決定物體在給定力作用下加速度的質量
• 重力質量：決定物體與其他物體之間引力大小的質量
• 目前已知慣性質量和重力質量在 $10^{-12}$ 的誤差範圍內明確相等
• 等效原理主張慣性質量和重力質量完全相等

牛頓運動定律

牛頓運動定律是艾薩克·牛頓（Issac Newton）在1687年通過其著作《自然哲學的數學原理》（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica，簡稱《原理》）發表的三個定律，構成了牛頓力學（Newtonian mechanics）的基礎。

1. 除非受到外力作用，否則物體會保持靜止或等速直線運動狀態。
2. 物體動量的時間變化率等於作用在該物體上的力。
3. 當兩個物體相互作用時，它們之間的作用力和反作用力大小相等，方向相反。

牛頓第一定律

I. 除非受到外力作用，否則物體會保持靜止或等速直線運動狀態。

這種不受外力作用的物體被稱為自由物體（free body）或自由粒子（free particle）。 然而，第一定律單獨只能提供力的定性概念。

牛頓第二定律

II. 物體動量的時間變化率等於作用在該物體上的力。

牛頓將動量（momentum）定義為質量與速度的乘積：

\[\vec{p} \equiv m\vec{v} \label{eqn:momentum}\tag{1}\]

由此，牛頓第二定律可以表示為：

\[\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(m\vec{v}) = m\vec{a}. \label{eqn:2nd_law}\tag{2}\]

牛頓的第一定律和第二定律，儘管被稱為”定律”，實際上更接近於對力的”定義”。同時，我們可以看到力的定義依賴於”質量”的定義。

牛頓第三定律

III. 當兩個物體相互作用時，它們之間的作用力和反作用力大小相等，方向相反。

這個定律也被稱為”作用力與反作用力定律”，適用於一個物體對另一個物體施加的力沿著連接兩個作用點的直線方向的情況。這種力被稱為中心力（central force），第三定律適用於中心力，無論是引力還是斥力。靜止物體之間的重力或靜電力，以及彈力等都屬於這種中心力。相反，運動電荷之間的力、運動物體之間的重力等依賴於相互作用的兩個物體速度的力屬於非中心力，在這種情況下第三定律不適用。

考慮到前面討論的質量定義，我們可以將第三定律重新表述為：

III$^\prime$. 當兩個物體構成理想的孤立系統時，這兩個物體的加速度方向相反，其大小比例與兩個物體質量的倒數比例相同。

根據牛頓第三定律：

\[\vec{F_1} = -\vec{F_2} \label{eqn:3rd_law}\tag{3}\]

將前面討論的第二定律（$\ref{eqn:2nd_law}$）代入，我們得到：

\[\frac{d\vec{p_1}}{dt} = -\frac{d\vec{p_2}}{dt} \label{eqn:3rd-1_law}\tag{4}\]

由此我們可以看出，在兩個粒子的孤立相互作用中，動量是守恆的。

\[\frac{d}{dt}(\vec{p_1}+\vec{p_2}) = 0 \label{eqn:conservation_of_momentum}\tag{5}\]

此外，由於在式（$\ref{eqn:3rd-1_law}$）中 $\vec{p}=m\vec{v}$，且質量 $m$ 是常數，所以：

\[m_1\left(\frac{d\vec{v_1}}{dt} \right) = m_2\left(-\frac{d\vec{v_2}}{dt} \right) \tag{6a}\] \[m_1(\vec{a_1}) = m_2(-\vec{a_2}) \tag{6b}\]

由此得到：

\[\frac{m_2}{m_1} = -\frac{a_1}{a_2}. \tag{7}\]

然而，牛頓第三定律描述的是兩個物體構成孤立系統的情況，但在實際中實現這種理想條件是不可能的。因此，牛頓在第三定律中的主張可以說是相當大膽的。儘管結論來自有限的觀察，但由於牛頓深刻的物理洞察力，牛頓力學在近300年間經受住了各種實驗的檢驗而未被發現錯誤，一直保持著穩固的地位。直到20世紀，才有了足夠精確的測量能夠顯示牛頓理論預測與實際之間的差異，由此催生了相對論和量子力學。

慣性質量和重力質量

確定物體質量的一種方法是使用天平等工具，將該物體的重量與標準重量進行比較。這種方法利用了物體在重力場中的重量等於作用在該物體上的重力大小的事實。在這種情況下，第二定律 $\vec{F}=m\vec{a}$ 變為 $\vec{W}=m\vec{g}$ 的形式。這種方法基於一個基本假設，即 III$^\prime$ 中定義的質量 $m$ 與重力方程中出現的質量 $m$ 相同。這兩種質量分別被稱為慣性質量（inertial mass）和重力質量（gravitational mass），定義如下：

• 慣性質量：決定物體在給定力作用下加速度的質量
• 重力質量：決定物體與其他物體之間引力大小的質量

雖然與伽利略·伽利萊（Galileo Galilei）無關，但後世編造的比薩斜塔落體實驗是首次展示慣性質量和重力質量可能相等的思想實驗。牛頓也試圖通過測量長度相同但擺錘質量不同的鐘擺的週期來證明兩種質量之間沒有差異，但由於實驗方法和精度粗糙，未能成功證明。

19世紀末，匈牙利物理學家厄特沃什·洛蘭德（Eötvös Loránd Ágoston）進行了厄特沃什實驗，以精確測量慣性質量和重力質量之間的差異，並以相當高的精度（誤差在二千萬分之一以內）證明了慣性質量和重力質量的相等性。

後來，羅伯特·亨利·迪克（Robert Henry Dicke）等人進行的更近期的實驗進一步提高了精度。目前已知慣性質量和重力質量在 $10^{-12}$ 的誤差範圍內明確相等。這一結果在廣義相對論中具有極其重要的意義，而慣性質量和重力質量完全相等的主張被稱為等效原理（principle of equivalence）。