未定係數法

TL;DR

• 未定係數法的適用對象：
  • 具有常數係數 $a$ 和 $b$，且
  • 輸入 $r(x)$ 由指數函數、$x$ 的冪次、$\cos$ 或 $\sin$，或這些函數的和與積組成的
  • 線性常微分方程 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r(x)$
• 未定係數法的選擇規則
  • (a) 基本規則(basic rule)：在方程 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 中，如果 $r(x)$ 是表格第一列中的某個函數，則選擇同一行的 $y_p$，並通過將 $y_p$ 及其導數代入方程 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 來確定未定係數。
  • (b) 修正規則(modification rule)：如果選擇的 $y_p$ 項是方程 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 對應的齊次常微分方程 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$ 的解，則將該項乘以 $x$（或者如果該解對應於齊次常微分方程特徵方程的重根，則乘以 $x^2$）。
  • (c) 和規則(sum rule)：如果 $r(x)$ 是表格第一列中函數的和，則選擇第二列中對應行的函數的和作為 $y_p$。

$r(x)$ 的項	$y_p(x)$ 的選擇
$ke^{\gamma x}$	$Ce^{\gamma x}$
$kx^n\ (n=0,1,\cdots)$	$K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + \cdots + K_1x + K_0$
$k\cos{\omega x}$ $k\sin{\omega x}$	$K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x}$
$ke^{\alpha x}\cos{\omega x}$ $ke^{\alpha x}\sin{\omega x}$	$e^{\alpha x}(K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x})$

Prerequisites

• 二階齊次線性常微分方程 (Homogeneous Linear ODEs of Second Order)
• 朗斯基行列式(Wronskian)、解的存在與唯一性
• 二階非齊次線性常微分方程 (Nonhomogeneous Linear ODEs of Second Order)

未定係數法

考慮 $r(x) \not\equiv 0$ 的二階非齊次線性常微分方程

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}\tag{1}\]

以及與此非齊次常微分方程對應的齊次常微分方程

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]

根據我們在二階非齊次線性常微分方程 (Nonhomogeneous Linear ODEs of Second Order)中所學，要解決非齊次線性常微分方程 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的初值問題，我們需要先解齊次常微分方程 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) 得到 $y_h$，然後找到方程 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) 的一個特解 $y_p$，從而得到通解

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) \label{eqn:general_sol}\tag{3}\]

那麼，如何找到 $y_p$ 呢？找到 $y_p$ 的一般方法是參數變換法(method of variation of parameters)，但在某些情況下，可以應用更簡單的未定係數法(method of undetermined coefficients)。特別是，這種方法適用於振動系統和RLC電路模型，因此在工程中經常使用。

未定係數法適用於具有常數係數 $a$ 和 $b$，且輸入 $r(x)$ 由指數函數、$x$ 的冪次、$\cos$ 或 $\sin$，或這些函數的和與積組成的線性常微分方程

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r(x) \label{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}\tag{4}\]

這種形式的 $r(x)$ 具有與自身相似形式的導數，這是未定係數法的核心。為了應用未定係數法，我們選擇一個與 $r(x)$ 形式相似的 $y_p$，但其中包含未知係數，這些係數通過將 $y_p$ 及其導數代入給定的常微分方程來確定。對於工程中實際重要的 $r(x)$ 形式，選擇適當 $y_p$ 的規則如下：

未定係數法的選擇規則
(a) 基本規則(basic rule)：在方程 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 中，如果 $r(x)$ 是表格第一列中的某個函數，則選擇同一行的 $y_p$，並通過將 $y_p$ 及其導數代入方程 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 來確定未定係數。
(b) 修正規則(modification rule)：如果選擇的 $y_p$ 項是方程 ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) 對應的齊次常微分方程 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$ 的解，則將該項乘以 $x$（或者如果該解對應於齊次常微分方程特徵方程的重根，則乘以 $x^2$）。
(c) 和規則(sum rule)：如果 $r(x)$ 是表格第一列中函數的和，則選擇第二列中對應行的函數的和作為 $y_p$。

$r(x)$ 的項	$y_p(x)$ 的選擇
$ke^{\gamma x}$	$Ce^{\gamma x}$
$kx^n\ (n=0,1,\cdots)$	$K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + \cdots + K_1x + K_0$
$k\cos{\omega x}$ $k\sin{\omega x}$	$K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x}$
$ke^{\alpha x}\cos{\omega x}$ $ke^{\alpha x}\sin{\omega x}$	$e^{\alpha x}(K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x})$

這種方法不僅簡便，而且具有自校正性。如果選擇了錯誤的 $y_p$ 或選擇了太少的項，會導致矛盾；如果選擇了太多的項，不必要項的係數會變為 $0$，仍能得到正確的結果。即使在應用未定係數法時出現錯誤，也會在解題過程中自然發現，因此，只要按照上述選擇規則選擇了適當的 $y_p$，就可以放心嘗試。

和規則的證明

考慮形如 $r(x) = r_1(x) + r_2(x)$ 的非齊次線性常微分方程

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r_1(x) + r_2(x)\]

現在考慮具有相同左邊，但輸入分別為 $r_1$ 和 $r_2$ 的兩個方程

\[\begin{gather*} y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r_1(x) \\ y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r_2(x) \end{gather*}\]

假設這兩個方程分別有解 ${y_p}_1$ 和 ${y_p}_2$。將給定方程的左邊表示為 $L[y]$，則由 $L[y]$ 的線性性質，對於 $y_p = {y_p}_1 + {y_p}_2$，有

\[L[y_p] = L[{y_p}_1 + {y_p}_2] = L[{y_p}_1] + L[{y_p}_2] = r_1 + r_2 = r. \ \blacksquare\]

因此和規則成立。

例題：$y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$

根據基本規則 (a)，設 $y_p = Ce^{\gamma x}$ 並代入給定方程 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$，得

\[\gamma^2 Ce^{\gamma x} + \gamma aCe^{\gamma x} + bCe^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(\gamma^2 + a\gamma + b)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(\gamma^2 + a\gamma + b) = k.\]

當 $\gamma^2 + a\gamma + b \neq 0$ 時

可以如下確定未定係數 $C$ 並求解 $y_p$：

\[C = \frac{k}{\gamma^2 + a\gamma + b}\] \[y_p = Ce^{\gamma x} = \frac{k}{\gamma^2 + a\gamma + b} e^{\gamma x}.\]

當 $\gamma^2 + a\gamma + b = 0$ 時

這種情況下需要應用修正規則 (b)。首先利用 $b = -\gamma^2 - a\gamma = -\gamma(a + \gamma)$ 求解齊次常微分方程 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$ 的特徵方程的根。

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} - \gamma(a + \gamma)y = 0\] \[\lambda^2 + a\lambda - \gamma(a + \gamma) = 0\] \[(\lambda + (a + \gamma))(\lambda - \gamma) = 0\] \[\lambda = \gamma, -a -\gamma.\]

由此得到齊次常微分方程的基

\[y_1 = e^{\gamma x}, \quad y_2 = e^{(-a - \gamma)x}\]

當 $\gamma \neq -a-\gamma$ 時

由於我們選擇的 $y_p = Ce^{\gamma x}$ 是給定方程對應的齊次常微分方程的非重根解，根據修正規則 (b)，將此項乘以 $x$，得 $y_p = Cxe^{\gamma x}$。

現在將修正後的 $y_p$ 代入給定方程 $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} - \gamma(a + \gamma)y = ke^{\gamma x}$，得

\[C(2\gamma + \gamma^2 x)e^{\gamma x} + aC(1 + \gamma x)e^{\gamma x} - \gamma(a + \gamma)Cxe^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C \left[\left\{\gamma^2 + a\gamma -\gamma(a + \gamma)\right\}x + 2\gamma + a \right]e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(2\gamma + a)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(2\gamma + a) = k\] \[\therefore C = \frac{k}{2\gamma + a}, \quad y_p = Cxe^{\gamma x} = \frac{k}{2\gamma + a}xe^{\gamma x}.\]

當 $\gamma = -a-\gamma$ 時

這種情況下，我們選擇的 $y_p = Ce^{\gamma x}$ 是給定方程對應的齊次常微分方程的重根解，根據修正規則 (b)，將此項乘以 $x^2$，得 $y_p = Cx^2 e^{\gamma x}$。

現在將修正後的 $y_p$ 代入給定方程 $y^{\prime\prime} - 2\gamma y^{\prime} + \gamma^2 y = ke^{\gamma x}$，得

\[C(2 + 4\gamma x + \gamma^2 x^2)e^{\gamma x} + C(-4\gamma x - 2\gamma^2 x^2)e^{\gamma x} + C(\gamma^2 x^2)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[2Ce^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[2C = k\] \[\therefore C = \frac{k}{2}, \quad y_p = Cx^2 e^{\gamma x} = \frac{k}{2}x^2 e^{\gamma x}.\]