中子衰減和平均自由程（Mean Free Path）

中子衰減（Neutron Attenuation）

假設我們將強度為 $I_0$ 的單一能量中子束照射到厚度為 $X$ 的目標物上，並在目標物後方的一定距離放置一個中子探測器。我們假設目標物和探測器都非常小，且探測器具有很小的立體角，只能探測到穿過目標物的部分中子。在這種情況下，所有與目標物發生碰撞的中子要麼被吸收，要麼被散射到其他方向，因此只有未與目標物發生反應的中子才能進入探測器。

讓我們用 $I(x)$ 表示中子束在目標物內行進距離 $x$ 後，未發生碰撞而保留下來的中子束強度。當中子束通過一個足夠薄的厚度為 $\tau$ 的目標物時，每單位面積的碰撞數為 $\Delta I = \sigma_t I\tau N = \Sigma_t I\tau \ \text{[neutrons/cm}^2\cdot\text{s]}$（參考中子相互作用和反應截面中的公式 (1) 和 (4)）。因此，中子束在目標物內行進 $dx$ 距離時，其強度的減少量可表示為：

\[-dI = \sigma_t IN dx = \Sigma_t I dx \tag{1}\]

對上述方程進行積分，我們得到：

\[\frac{dI}{I} = -\Sigma_t dx\] \[I(x) = I_0e^{-\Sigma_t x} \tag{2}\]

由此可見，中子束的強度隨著穿過目標物的距離增加而呈指數衰減。

平均自由程（Mean Free Path）

• 中子與一個原子核發生碰撞後，到下一次與另一個原子核發生碰撞之前的平均移動距離
• 即中子在不發生碰撞的情況下行進的平均距離
• 用符號 $\lambda$ 表示

$I(x)/I_0=e^{-\Sigma_t x}$ 表示中子在介質中行進距離 $x$ 而不與原子核發生碰撞的概率。因此，某個中子在介質中無碰撞地行進到距離 $x$，然後在 $dx$ 距離內發生碰撞的概率 $p(x)dx$ 可以表示為：

\[\begin{align*} p(x)dx &= \frac{I(x)}{I_0} \Sigma_t dx \\ &= e^{-\Sigma_t x}\times \Sigma_t dx \\ &= \Sigma_t e^{-\Sigma_t x}dx \end{align*}\]

由此，我們可以計算出平均自由程（mean free path） $\lambda$ 如下：

\[\begin{align*} \lambda &= \int_0^\infty xp(x)dx \\ &= \Sigma_t \int_0^\infty xe^{-\Sigma_t x}dx \\ &= \Sigma_t \left(\left[-\frac{1}{\Sigma_t}xe^{-\Sigma_t x} \right]_0^\infty +\int_0^\infty \frac{1}{\Sigma_t}e^{-\Sigma_t x} \right) \\ &= \left[-\frac{1}{\Sigma_t}e^{-\Sigma_t x} \right]_0^\infty \\ &= 1/\Sigma_t \tag{3} \end{align*}\]