質量與能量、粒子與波動

質量-能量等價原理

質量和能量是相同的，可以相互轉換。

\[E=mc^2\]

其中 $c$ 是光速 $2.9979 \times 10^{10}\ \text{cm/sec}$。

電子伏特（Electron Volt, eV）

電子伏特（electron volt, eV）：一個電子通過1V電壓時獲得的動能

\[\begin{align*} 1 \text{eV} &= 1.60219 \times 10^{-19}\ \text{C}\cdot \text{V} \\ &= 1.60219 \times 10^{-19}\ \text{J} \end{align*}\]

運動物體的質量和能量

根據相對論，從觀察者的角度來看，運動物體的質量相對增加，運動物體的速度和質量之間的關係由以下公式定義：

\[m=\frac {m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \tag{1}\]

$m_0$：靜止質量，$v$：速度

粒子的總能量（total energy）是靜止質量能量（rest-mass energy）和動能（kinetic energy）的總和，因此成立以下關係：

\[E_{\text{total}} = E_{\text{rest}}+E_{\text{kinetic}} = mc^2\] \[\begin{align*} E_{\text{kinetic}} &= E_{\text{total}}-E_{\text{rest}} \\ &= mc^2 - m_0c^2 \\ &= m_0c^2\left[\frac {1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - 1\right] \tag{2} \end{align*}\]

特別是，當 $v\ll c$ 時，使用二項式定理近似：

\[\begin{align*} E_{kinetic} &= m_0c^2\left[\frac {1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - 1\right] \\ &= m_0c^2\left[\left(1+\frac{1}{2}v^2/c^2\right)-1\right] \\ &= \frac {1}{2}m_0v^2 \tag{3} \end{align*}\]

這與經典力學中的動能公式相同。實際上，當 $v\leq 0.2c$ 或 $E_{\text{kinetic}} \leq 0.02E_{\text{rest}}$ 時，可以將 $v\ll c$ 視為成立，使用這個近似公式（即忽略相對論效應）仍能得到足夠精確的值。

電子

電子的靜止質量能量 $E_{\text{rest}}=m_ec^2=0.511 \text{MeV}$，因此當電子的動能超過 $0.02\times 0.511 \text{MeV}=0.010 \text{MeV}=10 \text{keV}$ 時，必須應用相對論動能公式。在核工程中處理的電子能量在許多情況下大於10keV，因此大多數情況下必須應用公式（2）。

中子

中子的靜止質量能量約為1000MeV，因此 $0.02E_{rest}=20\text{MeV}$。在核工程中，很少處理中子動能超過20MeV的情況，因此通常使用公式（3）計算中子的動能。

光子

公式（2）和（3）僅適用於靜止質量不為零的情況，因此不適用於靜止質量為零的光子。光子的總能量由以下公式計算：

\[E = h\nu \tag{4}\]

$h$：普朗克常數（$4.316 \times 10^{-15} \text{eV}\cdot\text{s}$），$\nu$：電磁波頻率

物質波

自然界中的所有物質既是粒子又是波動。換句話說，所有粒子都有相應的波長（德布羅意波長，de Broglie wavelength）。波長 $\lambda$ 是動量 $p$ 和普朗克常數 $h$ 的函數。

\[\lambda = \frac {h}{p} \tag{5}\]

此外，動量 $p$ 由以下公式定義：

\[p = mv \tag{6}\]

忽略相對論效應的情況（例如，中子）

動能 $E=1/2 mv^2$，因此將公式（6）表示為能量的函數如下：

\[p=\sqrt{2mE} \tag{7}\]

將其代入公式（5），粒子的波長為：

\[\lambda = \frac {h}{\sqrt{2mE}} \tag{8}\]

在核工程中，計算中子的德布羅意波長時使用上述公式。代入中子的靜止質量，可以表示為：

\[\lambda = \frac {2.860 \times 10^{-9}}{\sqrt{E}} \tag{9}\]

其中 $\lambda$ 的單位為cm，$E$ 為以eV表示的中子動能。

考慮相對論效應的情況（例如，電子）

直接解前面的相對論公式來計算動量 $p$。

\[p=\frac {1}{c} \sqrt{E^2_{total}-E^2_{rest}} \tag{10}\]

則德布羅意波長為：

\[\lambda = \frac {hc}{\sqrt{E_{total}-E_{rest}}} \tag{11}\]

靜止質量為零的粒子（例如，光子）

對於靜止質量為零的粒子，無法使用公式（6）計算動量，而是表示為：

\[p=\frac {E}{c} \tag{12}\]

將公式（12）代入公式（5），得到：

\[\lambda = \frac {hc}{E} \tag{13}\]

將 $h$ 和 $c$ 的值代入，最終波長的公式為：

\[\lambda = \frac {1.240 \times 10^{-6}}{E} \tag{14}\]

其中 $\lambda$ 的單位為m，$E$ 的單位為eV。