輻射平衡計算
探討放射性核種的衰變常數、半衰期和平均壽命之間的關係，並計算給定衰變鏈中任意時間 t 的放射性核種的放射性活度。
TL;DR
任意時間 t 的放射性活度
\[\begin{align*} \alpha (t) &= \lambda n(t) \\ &= \alpha_0 e^{-\lambda t} \\ &= \alpha_0 e^{-0.693t/T_{1/2}} \end{align*}\]
衰變常數、半衰期和平均壽命的關係
\[\begin{align*} T_{1/2}&=\frac {\ln 2}{\lambda} = \frac {0.693}{\lambda} \\ \\ \overline{t}&=\frac {1}{\lambda} \\ &=\frac {T_{1/2}}{0.693}=1.44T_{1/2} \end{align*}\]
衰變常數（Decay Constant）
- 某個原子核在單位時間內衰變的機率
- 與時間無關，只由核種決定的常數
- 用符號 $\lambda$ 表示
放射性活度（Radioactivity）
在時間 $t$ 時尚未衰變的原子核數量為 n(t)，則在時間 $t$ 和 $t+dt$ 之間的間隔 $dt$ 內，平均有 $\lambda n(t)$ 個原子核衰變。這種衰變率稱為該樣品的放射性活度（radioactivity），用符號 $\alpha$ 表示。因此，在任何時間 $t$ 的放射性活度為：
\[\alpha (t)=\lambda n(t) \tag{1}\]放射性活度的單位
居里（Curie, Ci）
- 在使用貝克勒爾單位之前傳統使用的單位
- 1克鐳-226的放射性活度
- 每秒 $3.7\times 10^{10}$ 次核衰變（$3.7\times 10^{10}\text{Bq}$）
貝克勒爾（Becquerel, Bq）
- 國際標準（SI）單位
- 每秒1次核衰變
- $1 \text{Bq} = 2.703\times 10^{-11}\text{Ci} = 27\text{pCi}$
計算放射性活度隨時間的變化
在時間 $dt$ 內有 $\lambda n(t)$ 個原子核衰變，因此在 $dt$ 內樣品中未衰變而剩餘的原子核數量減少量可以表示為：
\[-dn(t)=\lambda n(t)dt\]積分後得到：
\[n(t)=n_0e^{-\lambda t} \tag{2}\]兩邊乘以 $\lambda$，則放射性活度為：
\[\alpha (t)=\alpha_0e^{-\lambda t} \tag{3}\]放射性活度在半衰期（half-life）內減半，因此：
\[\alpha (T_{1/2})=\alpha_0/2\]將此代入式 (3)：
\[\alpha_0/2=\alpha_0e^{-\lambda T_{1/2}}\]兩邊取對數並解出半衰期 $T_{1/2}$：
\[T_{1/2}=\frac {\ln 2}{\lambda}=\frac {0.693}{\lambda} \tag{4}\]將上式解出 $\lambda$ 並代入式 (3)：
\[\alpha (t)=\alpha_0e^{-0.693t/T_{1/2}} \tag{5}\]式 (5) 在放射性衰變計算中通常比式 (3) 更實用，因為半衰期值比衰變常數更常被給出。
放射性原子核的平均壽命（mean-life） $\overline{t}$ 是衰變常數的倒數：
\[\overline{t}=1/\lambda\]從式 (3) 可以看出，在一個平均壽命內，放射性活度下降到初始值的 $1/e$。從式 (4) 可以得出平均壽命和半衰期之間的關係：
\[\overline{t}=\frac {T_{1/2}}{0.693}=1.44T_{1/2} \tag{6}\]※ 平均壽命 $\overline{t}$ 的推導
\[\begin{align*} \overline{t}&=\frac {\int_0^\infty t\alpha(t)}{\int_0^\infty t} = \frac {\int_0^\infty t\alpha(t)}{n_0} \\ &= \frac {\int_0^\infty n_0 \lambda te^{-\lambda t}}{n_0} \\ &= \int_0^\infty \lambda te^{-\lambda t} \\ &= \left[-te^{-\lambda t}\right]_0^\infty +\int_0^\infty e^{-\lambda t} \\ &=\left[-\frac {1}{\lambda} e^{-\lambda t}\right]_0^\infty \\ &=\frac {1}{\lambda} \end{align*}\]例題：放射性衰變鏈 1
假設某放射性核種以 $R$ atom/s 的速率產生。這些原子核一產生就立即開始放射性衰變。求任意時刻 t 時該核種的放射性活度。
flowchart LR
Start[?] -- R --> A[數學模型]
A -- α --> End[?]
1. 建立模型
\[\text{核種隨時間的變化率} = \text{產生率}-\text{損失率}\]用數學符號表示為：
\[dn/dt = -\lambda n + R\]2. 一般解
將 $n$ 的項全部移到左邊，兩邊乘以 $e^{\lambda t}$：
\[\frac {dn}{dt} + \lambda n = R\] \[e^{\lambda t}\frac {dn}{dt} + \lambda e^{\lambda t}n = Re^{\lambda t}\]因為 $\lambda e^{\lambda t}=\frac {d}{dt} e^{\lambda t}$，所以可以整理為：
\[e^{\lambda t}\frac {dn}{dt}+\left(\frac {d}{dt} e^{\lambda t}\right)n = Re^{\lambda t}\]兩邊積分得到一般解：
\[e^{\lambda t}n=\frac {R}{\lambda}e^{\lambda t}+c\] \[n=ce^{-\lambda t}+\frac {R}{\lambda}\]3. 特解
假設在 $t=0$ 時，這個核種的數量為 $n_0$，求常數 $c$ 的值：
\[n(0)=c+\frac {R}{\lambda}=n_0\] \[c=n_0-\frac {R}{\lambda}\]因此，符合給定情況的特解為：
\[n = n_0e^{-\lambda t}+\frac {R}{\lambda}(1-e^{-\lambda t}) \tag{7}\]兩邊乘以 $\lambda$ 可得到這個核種的放射性活度：
\[\alpha = \alpha_0e^{-\lambda t}+R(1-e^{-\lambda t}) \tag{8}\]也就是說，當 $t\to\infty$ 時，$\alpha_{\text{max}}=R$，$n_{\text{max}}=R/\lambda$。
例題：放射性衰變鏈 2
在下面的衰變鏈中，計算放射性核種 B 的放射性活度。
flowchart LR
A --> B
B --> C
1. 建立模型
\[\text{B 核的數量變化率}=\text{A 衰變產生的速率}-\text{B 衰變為 C 的速率}\] \[\frac {dn_B}{dt} = -\lambda_B n_B + \lambda_A n_A\]將 $n_A$ 代入式 (2)，得到關於 $n_B$ 的微分方程：
\[\frac {dn_B}{dt} = -\lambda_B n_B + \lambda_A n_{A0}e^{-\lambda_A t} \tag{9}\]2. 一般解
為了解微分方程，將 $n_B$ 的項全部移到左邊，兩邊乘以 $e^{\lambda_B t}$：
\[\frac {dn_B}{dt} + \lambda_B n_B = n_{A0}\lambda_A e^{-\lambda_A t}\] \[e^{\lambda_B t}\frac {dn_B}{dt} + \lambda_B e^{\lambda_B t}n_B = n_{A0}\lambda_A e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}\]因為 $\lambda_B e^{\lambda_B t}=\frac {d}{dt} e^{\lambda_b t}$，所以可以整理為：
\[e^{\lambda_B t}\frac {dn_B}{dt} + \left(\frac {d}{dt} e^{\lambda_B t}\right)n_B = n_{A0}\lambda_A e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}\]兩邊積分：
\[e^{\lambda_B t}n_B = \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}+c\]兩邊除以 $e^{\lambda_B t}$ 得到一般解：
\[n_B = \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}e^{-\lambda_A t}+ce^{-\lambda_B t}\]3. 特解
假設在 $t=0$ 時，B 元素的數量為 $n_{B0}$，求常數 $c$ 的值：
\[n_B(0)=\frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}+c=n_{B0}\] \[c=n_{B0}-\frac{n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}\]因此，符合給定情況的特解為：
\[n_B = n_{B0}e^{-\lambda_B t} + \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} (e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t}) \tag{10}\] \[\therefore \alpha_B = \alpha_{B0} e^{-\lambda_B t} + \frac {\alpha_{A0}\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} (e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t}) \tag{11}\]