伯努利方程式(Bernoulli Equation)

伯努利方程式(Bernoulli Equation)

\[y'+p(x)y=g(x)y^a\quad \text{(}a\text{為任意實數)} \tag{1}\]

伯努利方程式 (1) 在 $a=0$ 或 $a=1$ 時是線性的，其他情況則為非線性。然而，我們可以通過以下步驟將其轉換為線性方程式。

令 \(u(x)=[y(x)]^{1-a}\)

對其進行微分，然後將式 (1) 中的 $y’$ 代入，得到：

\[\begin{align*} u'&=(1-a)y^{-a}y' \\&=(1-a)y^{-a}(gy^a-py) \\&=(1-a)(g-py^{1-a}) \end{align*}\]

在右邊，$y^{1-a}=u$，因此我們得到以下線性常微分方程：

\[u'+(1-a)pu=(1-a)g \tag{2}\]

例題：邏輯斯方程式(Logistic Equation)

求解邏輯斯方程式（伯努利方程式的特殊形式）：

\[y'=Ay-By^2 \tag{3}\]

解法

將式 (3) 改寫成式 (1) 的形式：

\[y'-Ay=-By^2\]

這裡 $a=2$，所以 $u=y^{1-a}=y^{-1}$。對這個 u 進行微分，並將式 (3) 中的 $y’$ 代入：

\[u'=-y^{-2}y'=-y^{-2}(Ay-By^2)=B-Ay^{-1}\]

最後一項是 $-Ay^{-1}=-Au$，因此我們得到以下線性常微分方程：

\[u'+Au=B\]

根據非齊次線性常微分方程的解法公式，我們可以得到以下通解：

\[u=ce^{-At}+B/A\]

由於 $u=1/y$，因此我們可以得到式 (3) 的通解：

\[y=\frac{1}{u}=\frac{1}{ce^{-At}+B/A} \tag{4}\]