建模（Modeling）基本概念
探討數學建模與常微分方程、偏微分方程、初值問題的概念。
建模（Modeling）
- 模型（model）：將欲解決的工程問題通過變量、函數、方程等數學式子形式化的結果
- 數學建模（mathematical modeling）或建模（modeling）：建立模型、數學求解並解釋結果的過程
flowchart LR
title([建模])
A[物理系統] --> B[數學模型]
B[數學模型] --> C[數學求解]
C[數學求解] --> D[物理解釋]
由於速度或加速度等許多物理概念都是導數，因此模型通常是包含未知函數導數的方程，即微分方程（differential equation）的形式。
常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）
常微分方程（ODE）
常微分方程（ordinary differential equation; ODE）：包含未知函數的 $n$ 階導數的方程
例如：
\[y' = \cos x\] \[y'' + 9y = e^{-2x}\] \[y'y''' - \frac{3}{2}y'^{2} = 0\]偏微分方程（PDE）
偏微分方程（partial differential equation; PDE）：包含具有兩個或以上變量的未知函數偏導數的方程
例如：
\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\]解（Solution）
如果函數 $h(x)$ 在某個開區間 $(a, b)$ 上定義且可微，並且當 $y$ 和 $y’$ 分別被 $h$ 和 $h’$ 替換時，給定的常微分方程成為恆等式，則函數
\[y = h(x)\]被稱為區間 $(a, b)$ 上給定常微分方程的解（solution），$h$ 的曲線被稱為解曲線（solution curve）。
例如：
\[y'=\cos x \Leftrightarrow y=\sin x+c\] \[y'=0.2y \Leftrightarrow y=ce^{0.2t}\]像這樣包含任意常數 $c$ 的解被稱為常微分方程的通解（general solution）。
從幾何學角度來看，常微分方程的通解是無限多個解曲線的集合，常數 $c$ 的每個值對應一條曲線。選擇特定的常數 $c$ 值，我們就得到常微分方程的特解（particular solution）。
初值問題（Initial Value Problem）
為了得到給定問題的特解，我們需要確定任意常數 $c$ 的值，在許多情況下，可以通過 $y(x_{0})=y_{0}$ 或 $y(t_{0})=y_{0}$ 這樣的初始條件（initial condition）來確定（即使自變量不是時間或 $t_{0}\neq0$，我們仍稱之為初始條件）。具有初始條件的常微分方程被稱為初值問題（initial value problem）。
例如：
\[y'=f(x,y),\qquad y(x_{0})=y_{0}\]建模示例：放射性物質的指數衰變
給定 0.5g 的放射性物質，求之後時間內剩餘的量。
根據實驗，放射性物質在每一瞬間以與剩餘物質量成比例的速度分解，因此隨時間衰變。
1. 建立數學模型
讓我們用 $y(t)$ 表示時間 $t$ 時剩餘的物質量。由於 $y’(t)$ 與 $y(t)$ 成比例，我們得到以下一階常微分方程：
\[\frac {dy}{dt} = -ky\]其中常數 $k>0$。
我們還知道初始條件 $y(0)=0.5$。因此，我們可以將數學模型設定為以下初值問題：
\[\frac {dy}{dt} = -ky, \qquad y(0)=0.5\]2. 數學求解
前面建立的常微分方程的通解如下（參考分離變數法）：
\[y(t)=ce^{-kt}\]由於 $y(0)=c$，從初始條件我們得到 $y(0)=c=0.5$。因此，我們要求的特解是：
\[y(t)=0.5e^{-kt} \quad(k>0)\]3. 解的物理解釋
我們得到的解表示任意時間 $t$ 時放射性物質的量。放射性物質的量從初始值 0.5（g）開始，隨時間減少，當 $t \to \infty$ 時，$y$ 的極限值為 $0$。