Wronskiano, Existência e Unicidade de Soluções

TL;DR

Para um intervalo $I$ onde os coeficientes variáveis $p$ e $q$ são contínuos, considere a equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0\]

e as condições iniciais

\[y(x_0)=K_0, \qquad y^{\prime}(x_0)=K_1\]

Os seguintes quatro teoremas são válidos:

1. Teorema de existência e unicidade para problemas de valor inicial: O problema de valor inicial formado pela equação dada e pelas condições iniciais possui uma única solução $y(x)$ no intervalo $I$.
2. Determinação de dependência/independência linear usando o Wronskiano: Para duas soluções $y_1$ e $y_2$ da equação, se existir um ponto $x_0$ no intervalo $I$ onde o Wronskiano $W(y_1, y_2) = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime}$ é igual a zero, então as soluções são linearmente dependentes. Além disso, se existir um ponto $x_1$ no intervalo $I$ onde $W\neq 0$, então as soluções são linearmente independentes.
3. Existência da solução geral: A equação dada possui uma solução geral no intervalo $I$.
4. Inexistência de soluções singulares: Esta solução geral inclui todas as soluções da equação (ou seja, não existem soluções singulares).

Pré-requisitos

• Solução de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Primeira Ordem
• Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de Segunda Ordem
• Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes
• Equação de Euler-Cauchy
• Matriz inversa e matriz singular, determinante

Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas com Coeficientes Variáveis Contínuos

Anteriormente, estudamos a solução geral de EDOs lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes e a equação de Euler-Cauchy. Neste artigo, expandiremos nossa discussão para um caso mais geral, examinando a existência e a forma da solução geral de uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis $p$ e $q$ contínuos:

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}\tag{1}\]

Além disso, também examinaremos a unicidade do problema de valor inicial formado pela equação diferencial ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) e pelas seguintes duas condições iniciais:

\[y(x_0)=K_0, \qquad y^{\prime}(x_0)=K_1 \label{eqn:initial_conditions}\tag{2}\]

Antecipando a conclusão, o ponto central do que discutiremos é que equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes contínuos não possuem soluções singulares (soluções que não podem ser obtidas da solução geral).

Teorema de Existência e Unicidade para Problemas de Valor Inicial

Teorema de Existência e Unicidade para Problemas de Valor Inicial
Se $p(x)$ e $q(x)$ são funções contínuas em algum intervalo aberto $I$, e $x_0$ está nesse intervalo $I$, então o problema de valor inicial formado pelas equações ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) e ($\ref{eqn:initial_conditions}$) possui uma única solução $y(x)$ no intervalo $I$.

Aqui abordaremos apenas a prova da unicidade, não da existência. Geralmente, provar a unicidade é mais simples do que provar a existência.
Se você não estiver interessado na demonstração, pode pular esta seção e ir diretamente para Dependência Linear e Independência Linear de Soluções.

Prova da Unicidade

Suponha que o problema de valor inicial formado pela equação diferencial ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) e pelas condições iniciais ($\ref{eqn:initial_conditions}$) tenha duas soluções $y_1(x)$ e $y_2(x)$ no intervalo $I$. Se pudermos mostrar que a diferença entre essas soluções

\[y(x) = y_1(x) - y_2(x)\]

é identicamente zero no intervalo $I$, isso significará que $y_1 \equiv y_2$ no intervalo $I$, provando assim a unicidade da solução.

Como a equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) é uma EDO linear homogênea, a combinação linear de $y_1$ e $y_2$, que é $y$, também é uma solução da equação no intervalo $I$. Como $y_1$ e $y_2$ satisfazem as mesmas condições iniciais ($\ref{eqn:initial_conditions}$), $y$ satisfaz as condições

\[\begin{align*} & y(x_0) = y_1(x_0) - y_1(x_0) = 0, \\ & y^{\prime}(x_0) = y_1^{\prime}(x_0) - y_2^{\prime}(x_0) = 0 \end{align*} \label{eqn:initial_conditions_*}\tag{3}\]

Agora, consideremos a função

\[z(x) = y(x)^2 + y^{\prime}(x)^2\]

e sua derivada

\[z^{\prime} = 2yy^{\prime} + 2y^{\prime}y^{\prime\prime}\]

Da equação diferencial, temos

\[y^{\prime\prime} = -py^{\prime} - qy\]

Substituindo na expressão de $z^{\prime}$, obtemos

\[z^{\prime} = 2yy^{\prime} - 2p{y^{\prime}}^2 - 2qyy^{\prime} \label{eqn:z_prime}\tag{4}\]

Como $y$ e $y^{\prime}$ são números reais, temos

\[(y\pm y^{\prime})^2 = y^2 \pm 2yy^{\prime} + {y^{\prime}}^2 \geq 0\]

Pela definição de $z$, obtemos duas desigualdades:

\[(a)\ 2yy^{\prime} \leq y^2 + {y^{\prime}}^2 = z, \qquad (b)\ 2yy^{\prime} \geq -(y^2 + {y^{\prime}}^2) = -z \label{eqn:inequalities}\tag{5}\]

Dessas duas desigualdades, podemos concluir que $|2yy^{\prime}|\leq z$, e portanto, para o último termo da equação ($\ref{eqn:z_prime}$), temos a seguinte desigualdade:

\[\pm2qyy^{\prime} \leq |\pm 2qyy^{\prime}| = |q||2yy^{\prime}| \leq |q|z.\]

Usando este resultado junto com o fato de que $-p \leq |p|$, e aplicando a desigualdade ($\ref{eqn:inequalities}$a) ao termo $2yy^{\prime}$ na equação ($\ref{eqn:z_prime}$), obtemos:

\[z^{\prime} \leq z + 2|p|{y^{\prime}}^2 + |q|z\]

Como ${y^{\prime}}^2 \leq y^2 + {y^{\prime}}^2 = z$, temos:

\[z^{\prime} \leq (1 + 2|p| + |q|)z\]

Definindo a função entre parênteses como $h = 1 + 2|p| + |q|$, temos:

\[z^{\prime} \leq hz \quad \forall x \in I \label{eqn:inequality_6a}\tag{6a}\]

De maneira similar, usando as equações ($\ref{eqn:z_prime}$) e ($\ref{eqn:inequalities}$), obtemos:

\[\begin{align*} -z^{\prime} &= -2yy^{\prime} + 2p{y^{\prime}}^2 + 2qyy^{\prime} \\ &\leq z + 2|p|z + |q|z = hz \end{align*} \label{eqn:inequality_6b}\tag{6b}\]

Estas duas desigualdades ($\ref{eqn:inequality_6a}$) e ($\ref{eqn:inequality_6b}$) são equivalentes a:

\[z^{\prime} - hz \leq 0, \qquad z^{\prime} + hz \geq 0 \label{eqn:inequalities_7}\tag{7}\]

Os fatores integrantes para os lados esquerdos dessas equações são:

\[F_1 = e^{-\int h(x)\ dx} \qquad \text{e} \qquad F_2 = e^{\int h(x)\ dx}\]

Como $h$ é contínua, a integral indefinida $\int h(x)\ dx$ existe, e como $F_1$ e $F_2$ são positivos, das equações ($\ref{eqn:inequalities_7}$) obtemos:

\[F_1(z^{\prime} - hz) = (F_1 z)^{\prime} \leq 0, \qquad F_2(z^{\prime} + hz) = (F_2 z)^{\prime} \geq 0\]

Isso significa que $F_1 z$ não aumenta e $F_2 z$ não diminui no intervalo $I$. Como $z(x_0) = 0$ pela equação ($\ref{eqn:initial_conditions_*}$), temos:

\[\begin{cases} \left(F_1 z \geq (F_1 z)_{x_0} = 0\right)\ \& \ \left(F_2 z \leq (F_2 z)_{x_0} = 0\right) & (x \leq x_0) \\ \left(F_1 z \leq (F_1 z)_{x_0} = 0\right)\ \& \ \left(F_2 z \geq (F_2 z)_{x_0} = 0\right) & (x \geq x_0) \end{cases}\]

Finalmente, dividindo ambos os lados das desigualdades pelos valores positivos $F_1$ e $F_2$, podemos provar a unicidade da solução:

\[(z \leq 0) \ \& \ (z \geq 0) \quad \forall x \in I\] \[z = y^2 + {y^{\prime}}^2 = 0 \quad \forall x \in I\] \[\therefore y \equiv y_1 - y_2 \equiv 0 \quad \forall x \in I. \ \blacksquare\]

Dependência Linear e Independência Linear de Soluções

Relembrando o que vimos em Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de Segunda Ordem, a solução geral em um intervalo aberto $I$ é construída a partir de uma base $y_1$, $y_2$, ou seja, um par de soluções linearmente independentes. Duas funções $y_1$ e $y_2$ são linearmente independentes no intervalo $I$ se, para todos os pontos nesse intervalo:

\[k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0 \Leftrightarrow k_1=0\text{ e }k_2=0 \label{eqn:linearly_independent}\tag{8}\]

Se a condição acima não for satisfeita, ou seja, se existirem valores $k_1$, $k_2$ não ambos nulos tais que $k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0$, então $y_1$ e $y_2$ são linearmente dependentes no intervalo $I$. Neste caso, para todos os pontos no intervalo $I$:

\[\text{(a) } y_1 = ky_2 \quad \text{ou} \quad \text{(b) } y_2 = ly_1 \label{eqn:linearly_dependent}\tag{9}\]

ou seja, $y_1$ e $y_2$ são proporcionais.

Agora, vejamos o método para determinar a dependência/independência linear de soluções:

Determinação de Dependência/Independência Linear usando o Wronskiano
i. Se a equação diferencial ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) tem coeficientes $p(x)$ e $q(x)$ contínuos em um intervalo aberto $I$, então uma condição necessária e suficiente para que duas soluções $y_1$ e $y_2$ da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) no intervalo $I$ sejam linearmente dependentes é que o determinante wronskiano, ou simplesmente Wronskiano

\[W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1^{\prime} & y_2^{\prime} \\ \end{vmatrix} = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime} \label{eqn:wronskian}\tag{10}\]

seja igual a zero em algum ponto $x_0$ do intervalo $I$.

\[\exists x_0 \in I: W(x_0)=0 \iff y_1 \text{ e } y_2 \text{ são linearmente dependentes}\]

ii. Se o Wronskiano $W=0$ em um ponto $x=x_0$ do intervalo $I$, então $W=0$ para todos os pontos $x$ do intervalo $I$.

\[\exists x_0 \in I: W(x_0)=0 \implies \forall x \in I: W(x)=0\]

Em outras palavras, se existir um ponto $x_1$ no intervalo $I$ onde $W\neq 0$, então $y_1$ e $y_2$ são linearmente independentes no intervalo $I$.

\[\begin{align*} \exists x_1 \in I: W(x_0)\neq 0 &\implies \forall x \in I: W(x)\neq 0 \\ &\implies y_1 \text{ e } y_2 \text{ são linearmente independentes} \end{align*}\]

O Wronskiano foi introduzido pelo matemático polonês Józef Maria Hoene-Wroński e recebeu seu nome atual do matemático escocês Sir Thomas Muir em 11882 EH, após a morte de Wroński.

Demonstração

i. (a)

Suponha que $y_1$ e $y_2$ sejam linearmente dependentes no intervalo $I$. Então, no intervalo $I$, vale a equação ($\ref{eqn:linearly_dependent}$a) ou ($\ref{eqn:linearly_dependent}$b). Se a equação ($\ref{eqn:linearly_dependent}$a) for válida, então:

\[W(y_1, y_2) = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime} = ky_2ky_2^{\prime} - y_2ky_2^{\prime} = 0\]

Da mesma forma, se a equação ($\ref{eqn:linearly_dependent}$b) for válida:

\[W(y_1, y_2) = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime} = y_1ly_1^{\prime} - ly_1y_1^{\prime} = 0\]

Portanto, podemos verificar que para todos os pontos $x$ no intervalo $I$, o Wronskiano $W(y_1, y_2)=0$.

i. (b)

Reciprocamente, vamos mostrar que se $W(y_1, y_2)=0$ em algum ponto $x = x_0$, então $y_1$ e $y_2$ são linearmente dependentes no intervalo $I$. Considere o sistema linear de equações com incógnitas $k_1$ e $k_2$:

\[\begin{gather*} k_1y_1(x_0) + k_2y_2(x_0) = 0 \\ k_1y_1^{\prime}(x_0) + k_2y_2^{\prime}(x_0) = 0 \end{gather*} \label{eqn:linear_system}\tag{11}\]

Isso pode ser expresso como uma equação vetorial:

\[\left[\begin{matrix} y_1(x_0) & y_2(x_0) \\ y_1^{\prime}(x_0) & y_2^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} k_1 \\ k_2 \end{matrix}\right] = 0 \label{eqn:vector_equation}\tag{12}\]

A matriz de coeficientes desta equação vetorial é:

\[A = \left[\begin{matrix} y_1(x_0) & y_2(x_0) \\ y_1^{\prime}(x_0) & y_2^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right]\]

e seu determinante é $W(y_1(x_0), y_2(x_0))$. Como $\det(A) = W=0$, $A$ é uma matriz singular que não possui matriz inversa, e portanto o sistema de equações ($\ref{eqn:linear_system}$) tem uma solução não-trivial $(c_1, c_2)$ onde pelo menos um dos valores $c_1$ ou $c_2$ é não-nulo. Agora, definamos a função:

\[y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)\]

Como a equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) é linear homogênea, pelo princípio da superposição, esta função é uma solução da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) no intervalo $I$. Da equação ($\ref{eqn:linear_system}$), esta solução satisfaz as condições iniciais $y(x_0)=0$ e $y^{\prime}(x_0)=0$.

Por outro lado, existe a solução trivial $y^* \equiv 0$ que satisfaz as mesmas condições iniciais $y^*(x_0)=0$ e ${y^*}^{\prime}(x_0)=0$. Como os coeficientes $p$ e $q$ da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) são contínuos, pelo Teorema de Existência e Unicidade para Problemas de Valor Inicial, a unicidade da solução é garantida, e portanto $y \equiv y^*$. Ou seja, no intervalo $I$:

\[c_1y_1 + c_2y_2 \equiv 0\]

Como pelo menos um dos valores $c_1$ ou $c_2$ é não-nulo, a condição ($\ref{eqn:linearly_independent}$) não é satisfeita, o que significa que $y_1$ e $y_2$ são linearmente dependentes no intervalo $I$.

ii.

Se o Wronskiano for zero em algum ponto $x_0$ do intervalo $I$, então pelo item i.(b), $y_1$ e $y_2$ são linearmente dependentes no intervalo $I$, e pelo item i.(a), $W\equiv 0$. Portanto, se existir um ponto $x_1$ no intervalo $I$ onde $W(x_1)\neq 0$, então $y_1$ e $y_2$ são linearmente independentes. $\blacksquare$

A Solução Geral Inclui Todas as Soluções

Existência da Solução Geral

Se $p(x)$ e $q(x)$ são contínuas em um intervalo aberto $I$, então a equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) possui uma solução geral no intervalo $I$.

Demonstração

Pelo Teorema de Existência e Unicidade para Problemas de Valor Inicial, a equação diferencial ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) possui uma solução $y_1(x)$ no intervalo $I$ que satisfaz as condições iniciais:

\[y_1(x_0) = 1, \qquad y_1^{\prime}(x_0) = 0\]

e uma solução $y_2(x)$ no intervalo $I$ que satisfaz as condições iniciais:

\[y_2(x_0) = 0, \qquad y_2^{\prime}(x_0) = 1\]

O Wronskiano dessas duas soluções no ponto $x=x_0$ é não-nulo:

\[W(y_1(x_0), y_2(x_0)) = y_1(x_0)y_2^{\prime}(x_0) - y_2(x_0)y_1^{\prime}(x_0) = 1\cdot 1 - 0\cdot 0 = 1\]

Portanto, pela Determinação de Dependência/Independência Linear usando o Wronskiano, $y_1$ e $y_2$ são linearmente independentes no intervalo $I$. Assim, essas duas soluções formam uma base para as soluções da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) no intervalo $I$, e a solução geral $y = c_1y_1 + c_2y_2$, com constantes arbitrárias $c_1$ e $c_2$, existe necessariamente no intervalo $I$. $\blacksquare$

Inexistência de Soluções Singulares

Se a equação diferencial ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) tem coeficientes $p(x)$ e $q(x)$ contínuos em algum intervalo aberto $I$, então qualquer solução $y=Y(x)$ da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) no intervalo $I$ pode ser escrita na forma:

\[Y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) \label{eqn:particular_solution}\tag{13}\]

onde $y_1$ e $y_2$ formam uma base para as soluções da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) no intervalo $I$, e $C_1$ e $C_2$ são constantes apropriadas.
Em outras palavras, a equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) não possui soluções singulares (soluções que não podem ser obtidas da solução geral).

Demonstração

Seja $y=Y(x)$ uma solução qualquer da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) no intervalo $I$. Pelo teorema de existência da solução geral, a equação diferencial ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) possui uma solução geral no intervalo $I$:

\[y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x) \label{eqn:general_solution}\tag{14}\]

Precisamos mostrar que, para qualquer $Y(x)$, existem constantes $c_1$ e $c_2$ tais que $y(x)=Y(x)$ no intervalo $I$. Primeiro, vamos mostrar que podemos encontrar valores de $c_1$ e $c_2$ tais que $y(x_0)=Y(x_0)$ e $y^{\prime}(x_0)=Y^{\prime}(x_0)$ para qualquer ponto $x_0$ escolhido no intervalo $I$. Da equação ($\ref{eqn:general_solution}$), temos:

\[\begin{gather*} \left[\begin{matrix} y_1(x_0) & y_2(x_0) \\ y_1^{\prime}(x_0) & y_2^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} Y(x_0) \\ Y^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right] \end{gather*} \label{eqn:vector_equation_2}\tag{15}\]

Como $y_1$ e $y_2$ formam uma base, o determinante da matriz de coeficientes, $W(y_1(x_0), y_2(x_0))$, é não-nulo, e portanto a equação ($\ref{eqn:vector_equation_2}$) pode ser resolvida para $c_1$ e $c_2$. Sejam $(c_1, c_2) = (C_1, C_2)$ a solução. Substituindo na equação ($\ref{eqn:general_solution}$), obtemos a solução particular:

\[y^*(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x).\]

Como $C_1$ e $C_2$ são a solução da equação ($\ref{eqn:vector_equation_2}$), temos:

\[y^*(x_0) = Y(x_0), \qquad {y^*}^{\prime}(x_0) = Y^{\prime}(x_0)\]

Pela unicidade garantida pelo Teorema de Existência e Unicidade para Problemas de Valor Inicial, temos $y^* \equiv Y$ para todos os pontos $x$ no intervalo $I$. $\blacksquare$