A Partícula Livre

TL;DR

• Partícula livre: $V(x)=0$, sem condições de contorno (energia arbitrária)
• A solução separável $\Psi_k(x,t) = Ae^{i\left(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t \right)}$ diverge para infinito quando integrada ao quadrado, portanto não pode ser normalizada, o que implica:
  • Uma partícula livre não pode existir em um estado estacionário
  • Uma partícula livre não pode ter sua energia definida como um único valor preciso (existe incerteza na energia)
• No entanto, a solução geral da equação de Schrödinger dependente do tempo ainda é uma combinação linear de soluções separáveis, então as soluções separáveis ainda têm significado matemático importante. Porém, neste caso, sem condições restritivas, a solução geral é uma integral ($\int$) sobre a variável contínua $k$, em vez de uma soma ($\sum$) sobre a variável discreta $n$.
• Solução geral da equação de Schrödinger:

\[\begin{gather*} \Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}dk, \\ \text{onde }\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x,0)e^{-ikx}dx \end{gather*}\]

• Relação entre incerteza na posição e incerteza no momento:
  • Quando a incerteza na posição diminui, a incerteza no momento aumenta, e vice-versa
  • Ou seja, quanticamente é impossível conhecer simultaneamente a posição e o momento exatos de uma partícula livre
• Velocidade de fase e velocidade de grupo da função de onda $\Psi(x,t)$:
  • Velocidade de fase: $v_\text{phase} = \cfrac{\omega}{k} = \cfrac{\hbar k}{2m}$
  • Velocidade de grupo: $v_\text{group} = \cfrac{d\omega}{dk} = \cfrac{\hbar k}{m}$
• Significado físico da velocidade de grupo e comparação com a mecânica clássica:
  • Fisicamente, a velocidade de grupo representa a velocidade de movimento da partícula
  • Assumindo que $\phi(k)$ tem uma forma muito acentuada em torno de algum valor $k_0$ (quando a incerteza no momento é suficientemente pequena),

\[v_\text{group} = v_\text{classical} = \sqrt{\cfrac{2E}{m}}\]

Pré-requisitos

• Fórmula de Euler
• Transformada de Fourier & Teorema de Plancherel
• Equação de Schrödinger e Função de Onda
• Equação de Schrödinger Independente do Tempo
• Poço Quadrado Infinito Unidimensional

Configuração do Modelo

Vamos examinar o caso mais simples de uma partícula livre ($V(x)=0$). Classicamente, isso é apenas um movimento com velocidade constante, mas na mecânica quântica, este problema é mais interessante.
A equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula livre é

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi \tag{1}\]

ou seja,

\[\frac{d^2\psi}{dx^2} = -k^2\psi \text{, onde }k\equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \label{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}\tag{2}\]

Até aqui, é o mesmo que o interior do poço quadrado infinito com potencial 0. No entanto, desta vez, vamos escrever a solução geral na seguinte forma exponencial:

\[\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}. \tag{3}\]

$Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$ e $C\cos{kx}+D\sin{kx}$ são formas equivalentes de escrever a mesma função de $x$. Pela fórmula de Euler $e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$,

\[\begin{align*} Ae^{ikx}+Be^{-ikx} &= A[\cos{kx}+i\sin{kx}] + B[\cos{(-kx)}+i\sin{(-kx)}] \\ &= A(\cos{kx}+i\sin{kx}) + B(\cos{kx}-i\sin{kx}) \\ &= (A+B)\cos{kx} + i(A-B)\sin{kx}. \end{align*}\]

Ou seja, se definirmos $C=A+B$, $D=i(A-B)$, então

\[Ae^{ikx} + Be^{-ikx} = C\cos{kx}+D\sin{kx}. \blacksquare\]

Inversamente, expressando $A$ e $B$ em termos de $C$ e $D$, temos $A=\cfrac{C-iD}{2}$, $B=\cfrac{C+iD}{2}$.

Na mecânica quântica, quando $V=0$, a função exponencial representa uma onda em movimento e é mais conveniente ao lidar com partículas livres. Por outro lado, as funções seno e cosseno são úteis para representar ondas estacionárias e aparecem naturalmente no caso do poço quadrado infinito.

Ao contrário do poço quadrado infinito, desta vez não há condições de contorno que restrinjam $k$ e $E$. Ou seja, uma partícula livre pode ter qualquer energia positiva.

Solução Separável e Velocidade de Fase

Adicionando a dependência temporal $e^{-iEt/\hbar}$ a $\psi(x)$, obtemos

\[\Psi(x,t) = Ae^{ik\left(x-\frac{\hbar k}{2m}t \right)} + Be^{-ik\left(x+\frac{\hbar k}{2m}t \right)} \label{eqn:Psi_seperated_solution}\tag{4}\]

Qualquer função de $x$ e $t$ que dependa de uma forma especial $(x\pm vt)$ representa uma onda que se move na direção $\mp x$ com velocidade $v$, sem mudar de forma. Portanto, o primeiro termo na equação ($\ref{eqn:Psi_seperated_solution}$) representa uma onda se movendo para a direita, e o segundo termo representa uma onda com o mesmo comprimento de onda e velocidade de propagação, mas com amplitude diferente, se movendo para a esquerda. Como eles diferem apenas no sinal de $k$, podemos escrever

\[\Psi_k(x,t) = Ae^{i\left(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t \right)} \tag{5}\]

onde a direção de propagação da onda depende do sinal de $k$ da seguinte forma:

\[k \equiv \pm\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar},\quad \begin{cases} k>0 \Rightarrow & \text{movimento para a direita}, \\ k<0 \Rightarrow & \text{movimento para a esquerda}. \end{cases} \tag{6}\]

O ‘estado estacionário’ de uma partícula livre é claramente uma onda progressiva*, com comprimento de onda $\lambda = 2\pi/|k|$ e, pela fórmula de de Broglie,

\[p = \frac{2\pi\hbar}{\lambda} = \hbar k \label{eqn:de_broglie_formula}\tag{7}\]

de momento.

*É claro que há uma contradição física em uma ‘onda estacionária’ ser uma onda progressiva. A razão será explicada em breve.

Além disso, a velocidade desta onda é:

\[v_{\text{phase}} = \left|\frac{\omega}{k}\right| = \frac{\hbar|k|}{2m} = \sqrt{\frac{E}{2m}}. \label{eqn:phase_velocity}\tag{8}\]

(Aqui, $\omega$ é o coeficiente de $t$, $\cfrac{\hbar k^2}{2m}$.)

No entanto, esta função de onda não pode ser normalizada porque diverge para infinito quando integrada ao quadrado.

\[\int_{-\infty}^{\infty}\Psi_k^*\Psi_k dx = |A|^2\int_{-\infty}^{\infty}dx = \infty. \tag{9}\]

Ou seja, no caso de uma partícula livre, a solução separável não é um estado fisicamente possível. Uma partícula livre não pode existir em um estado estacionário e não pode ter um valor específico de energia. Na verdade, intuitivamente, seria mais estranho se uma onda estacionária se formasse sem nenhuma condição de contorno em ambas as extremidades.

Encontrando a Solução Geral $\Psi(x,t)$ da Equação de Schrödinger Dependente do Tempo

Apesar disso, esta solução separável ainda tem um significado importante porque, independentemente da interpretação física, a solução geral da equação de Schrödinger dependente do tempo é uma combinação linear de soluções separáveis, o que tem um significado matemático. No entanto, neste caso, como não há condições restritivas, a solução geral tem a forma de uma integral ($\int$) sobre a variável contínua $k$, em vez de uma soma ($\sum$) sobre a variável discreta $n$.

\[\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}dk. \label{eqn:Psi_general_solution}\tag{10}\]

Aqui, $\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\phi(k)dk$ desempenha o mesmo papel que $c_n$ na equação (21) do post ‘Equação de Schrödinger Independente do Tempo’.

Esta função de onda pode ser normalizada para $\phi(k)$ apropriado, mas deve ter um intervalo de $k$ e, portanto, um intervalo de energia e velocidade. Isso é chamado de pacote de ondas (wave packet).

Uma função seno é espacialmente infinitamente estendida e não pode ser normalizada. No entanto, quando várias dessas ondas são superpostas, elas se localizam por interferência e podem ser normalizadas.

Encontrando $\phi(k)$ usando o Teorema de Plancherel

Agora que conhecemos a forma de $\Psi(x,t)$ (equação [$\ref{eqn:Psi_general_solution}$]), só precisamos determinar $\phi(k)$ que satisfaça a função de onda inicial

\[\Psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{ikx}dk \label{eqn:Psi_at_t_0}\tag{11}\]

Este é um problema típico de análise de Fourier, e podemos obter a resposta usando o Teorema de Plancherel:

\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} F(k)e^{ikx}dk \Longleftrightarrow F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}dx. \label{eqn:plancherel_theorem}\tag{12}\]

$F(k)$ é chamada de transformada de Fourier de $f(x)$, e $f(x)$ é chamada de transformada inversa de Fourier de $F(k)$. A diferença entre as duas é apenas o sinal do expoente, como pode ser facilmente visto na equação ($\ref{eqn:plancherel_theorem}$). Claro, existe a condição restritiva de que a integral deve existir para as funções permitidas.

A condição necessária e suficiente para que $f(x)$ exista é que $\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx$ seja finito. Neste caso, $\int_{-\infty}^{\infty}|F(k)|^2dk$ também é finito, e

\[\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^{\infty}|F(k)|^2 dk\]

Algumas pessoas se referem a esta equação, em vez da equação ($\ref{eqn:plancherel_theorem}$), como o Teorema de Plancherel (a Wikipedia também a descreve desta forma).

Neste caso, a integral certamente existe devido à condição física de que $\Psi(x,0)$ deve ser normalizada. Portanto, a solução quântica para uma partícula livre é dada pela equação ($\ref{eqn:Psi_general_solution}$), onde

\[\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x,0)e^{-ikx}dx \label{eqn:phi}\tag{13}\]

No entanto, na prática, quase nunca é possível resolver analiticamente a integral na equação ($\ref{eqn:Psi_general_solution}$). Geralmente, os valores são calculados usando análise numérica por computador.

Cálculo da Velocidade de Grupo do Pacote de Ondas e Interpretação Física

Essencialmente, um pacote de ondas é uma superposição de muitas funções seno com amplitudes determinadas por $\phi$. Ou seja, há ‘ondulações (ripples)’ dentro de um ‘envelope’ que forma o pacote de ondas.

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Fisicamente, o que corresponde à velocidade da partícula não é a velocidade das ondulações individuais (velocidade de fase, phase velocity) calculada anteriormente na equação ($\ref{eqn:phase_velocity}$), mas a velocidade do envelope externo (velocidade de grupo, group velocity).

Relação entre Incerteza na Posição e Incerteza no Momento

Vamos examinar a relação entre a incerteza na posição e a incerteza no momento, considerando separadamente o termo integral $\int\phi(k)e^{ikx}dk$ da equação ($\ref{eqn:Psi_at_t_0}$) e o termo integral $\int\Psi(x,0)e^{-ikx}dx$ da equação ($\ref{eqn:phi}$).

Quando a incerteza na posição é pequena

Quando $\Psi$ está distribuída em uma região muito estreita $[x_0-\delta, x_0+\delta]$ em torno de algum valor $x_0$ no espaço de posição e é próxima a zero fora dessa região (quando a incerteza na posição é pequena), $e^{-ikx} \approx e^{-ikx_0}$ é quase constante em relação a $x$, então

\[\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} \Psi(x,0)e^{-ikx}dx &\approx \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \Psi(x,0)e^{-ikx_0}dx \\ &= e^{-ikx_0}\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \Psi(x,0)dx \\ &= e^{-ipx_0/\hbar}\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \Psi(x,0)dx \quad (\because \text{eq. }\ref{eqn:de_broglie_formula}) \end{align*}\tag{14}\]

O termo de integral definida é constante em relação a $p$, então devido ao termo $e^{-ipx_0/\hbar}$ na frente, $\phi$ terá a forma de uma onda senoidal em relação a $p$ no espaço de momento, ou seja, será distribuída em um amplo intervalo de momento (a incerteza no momento é grande).

Quando a incerteza no momento é pequena

Da mesma forma, quando $\phi$ está distribuída em uma região muito estreita $[p_0-\delta, p_0+\delta]$ em torno de algum valor $p_0$ no espaço de momento e é próxima a zero fora dessa região (quando a incerteza no momento é pequena), pela equação ($\ref{eqn:de_broglie_formula}$), $e^{ikx}=e^{ipx/\hbar} \approx e^{ip_0x/\hbar}$ é quase constante em relação a $p$ e $dk=\frac{1}{\hbar}dp$, então

\[\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{ikx}dk &= \frac{1}{\hbar}\int_{p_0-\delta}^{p_0+\delta} \phi(p)e^{ip_0x/\hbar}dp \\ &= \frac{1}{\hbar}e^{ip_0x/\hbar}\int_{p_0-\delta}^{p_0+\delta} \phi(p)dp \end{align*}\tag{15}\]

Devido ao termo $e^{ip_0x/\hbar}$ na frente, $\Psi$ terá a forma de uma onda senoidal em relação a $x$ no espaço de posição, ou seja, será distribuída em um amplo intervalo de posição (a incerteza na posição é grande).

Conclusão

Quando a incerteza na posição diminui, a incerteza no momento aumenta, e vice-versa. Portanto, quanticamente, é impossível conhecer simultaneamente a posição e o momento exatos de uma partícula livre.

Fonte da imagem

• Autor: Usuário da Wikipedia em inglês Maschen
• Licença: domínio público

Na verdade, devido ao princípio da incerteza (uncertainty principle), isso se aplica não apenas a partículas livres, mas a todos os casos. O princípio da incerteza será abordado em um post separado no futuro.

Velocidade de Grupo do Pacote de Ondas

Reescrevendo a solução geral da equação ($\ref{eqn:Psi_general_solution}$) com $\omega \equiv \cfrac{\hbar k^2}{2m}$ como na equação ($\ref{eqn:phase_velocity}$), temos

\[\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{i(kx-\omega t)}dk \tag{16}\]

Uma equação que expressa $\omega$ como uma função de $k$, como $\omega = \cfrac{\hbar k^2}{2m}$, é chamada de relação de dispersão (dispersion relation). O conteúdo a seguir se aplica geralmente a todos os pacotes de ondas, independentemente da relação de dispersão.

Agora, vamos supor que $\phi(k)$ tem uma forma muito acentuada em torno de algum valor apropriado $k_0$. (Pode ser amplamente distribuída em $k$, mas tal forma de pacote de onda se distorce muito rapidamente e muda para outra forma. Como os componentes para diferentes $k$ se movem com velocidades diferentes, perde-se o significado de um ‘grupo’ total bem definido com uma velocidade. Ou seja, a incerteza no momento aumenta.)
Como a função sendo integrada pode ser ignorada exceto perto de $k_0$, podemos expandir a função $\omega(k)$ em série de Taylor em torno deste ponto, e escrevendo apenas até o termo de primeira ordem, obtemos

\[\omega(k) \approx \omega_0 + \omega_0^\prime(k-k_0)\]

Agora, fazendo a substituição $s=k-k_0$ e integrando em torno de $k_0$, temos

\[\begin{align*} \Psi(x,t) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(k_0+s)e^{i[(k_0+s)x-(\omega_0+\omega_0^\prime s)t]}ds \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i(k_0x-\omega_0t)}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(k_0+s)e^{is(x-\omega_0^\prime t)}ds. \end{align*}\tag{17}\]

O termo $e^{i(k_0x-\omega_0t)}$ na frente representa uma onda senoidal (‘ondulações’) se movendo com velocidade $\omega_0/k_0$, e o termo integral que determina a amplitude desta onda senoidal (‘envelope’) se move com velocidade $\omega_0^\prime$ devido à parte $e^{is(x-\omega_0^\prime t)}$. Portanto, a velocidade de fase em $k=k_0$ é

\[v_\text{phase} = \frac{\omega_0}{k_0} = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m} \tag{18}\]

que é o mesmo valor da equação ($\ref{eqn:phase_velocity}$), e a velocidade de grupo é

\[v_\text{group} = \omega_0^\prime = \frac{d\omega}{dk} = \frac{\hbar k}{m} \label{eqn:group_velocity}\tag{19}\]

que é o dobro da velocidade de fase.

Comparação com a Mecânica Clássica

Sabendo que a mecânica clássica se aplica em escalas macroscópicas, os resultados obtidos através da mecânica quântica devem se aproximar dos resultados calculados na mecânica clássica quando a incerteza quântica é suficientemente pequena. No caso da partícula livre que estamos tratando agora, quando $\phi(k)$ tem uma forma muito acentuada em torno de um valor apropriado $k_0$ (ou seja, quando a incerteza no momento é suficientemente pequena), a velocidade de grupo $v_\text{group}$, que corresponde à velocidade da partícula na mecânica quântica, deve ser igual à velocidade da partícula $v_\text{classical}$ calculada na mecânica clássica para o mesmo $k$ e o valor de energia $E$ correspondente.

Substituindo $k\equiv \cfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$ da equação ($\ref{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}$) na velocidade de grupo que acabamos de calcular (equação [$\ref{eqn:group_velocity}$]), obtemos

\[v_\text{quantum} = \sqrt{\frac{2E}{m}} \tag{20}\]

e a velocidade de uma partícula livre com energia cinética $E$ na mecânica clássica é igualmente

\[v_\text{classical} = \sqrt{\frac{2E}{m}} \tag{21}\]

Portanto, como $v_\text{quantum}=v_\text{classical}$, podemos confirmar que o resultado obtido aplicando a mecânica quântica é uma solução fisicamente válida.