Teste de Convergência ou Divergência de Séries

TL;DR

• Teste do termo geral: $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{a série }\sum a_n \text{ diverge}$
• Convergência/divergência de séries geométricas: A série geométrica $\sum ar^{n-1}$:
  • Converge se $|r| < 1$
  • Diverge se $|r| \geq 1$
• Convergência/divergência de séries-$p$: A série-$p$ $\sum \cfrac{1}{n^p}$:
  • Converge se $p>1$
  • Diverge se $p\leq 1$
• Teste de comparação: Se $0 \leq a_n \leq b_n$, então:
  • $\sum b_n < \infty \ \Rightarrow \ \sum a_n < \infty$
  • $\sum a_n = \infty \ \Rightarrow \ \sum b_n = \infty$
• Teste de comparação no limite: Se $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \text{ (}c\text{ é um número positivo finito)}$, então as séries $\sum a_n$ e $\sum b_n$ ambas convergem ou ambas divergem
• Para uma série de termos positivos $\sum a_n$ e um número positivo $\epsilon < 1$:
  • Se $\sqrt[n]{a_n}< 1-\epsilon$ para todo $n$, então a série $\sum a_n$ converge
  • Se $\sqrt[n]{a_n}> 1+\epsilon$ para todo $n$, então a série $\sum a_n$ diverge
• Teste da raiz: Para uma série de termos positivos $\sum a_n$, se o limite $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: r$ existe:
  • Se $r<1$, então a série $\sum a_n$ converge
  • Se $r>1$, então a série $\sum a_n$ diverge
• Teste da razão: Para uma sequência de números positivos $(a_n)$ e $0 < r < 1$:
  • Se $a_{n+1}/a_n \leq r$ para todo $n$, então a série $\sum a_n$ converge
  • Se $a_{n+1}/a_n \geq 1$ para todo $n$, então a série $\sum a_n$ diverge
• Para uma sequência de números positivos $(a_n)$, se o limite $\rho := \lim_{n\to\infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}$ existe:
  • Se $\rho < 1$, então a série $\sum a_n$ converge
  • Se $\rho > 1$, então a série $\sum a_n$ diverge
• Teste da integral: Se uma função contínua $f: \left[1,\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}$ é decrescente e sempre $f(x)>0$, então a série $\sum f(n)$ converge se e somente se a integral $\int_1^\infty f(x)\ dx := \lim_{b\to\infty} \int_1^b f(x)\ dx$ converge
• Teste da série alternada: Uma série alternada $\sum a_n$ converge se:
  1. Os sinais de $a_n$ e $a_{n+1}$ são diferentes para todo $n$
  2. $|a_n| \geq |a_{n+1}|$ para todo $n$
  3. $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$
• Uma série absolutamente convergente é convergente. A recíproca não é verdadeira.

Pré-requisitos

• Sequências e Séries

Introdução

Anteriormente, em Sequências e Séries, vimos a definição de convergência e divergência de séries. Neste artigo, resumiremos vários métodos que podem ser usados para determinar a convergência ou divergência de séries. Geralmente, determinar se uma série converge ou diverge é muito mais fácil do que calcular a soma exata da série.

Teste do termo geral

Para uma série $\sum a_n$, chamamos $a_n$ de termo geral da série.

Pelo seguinte teorema, podemos facilmente identificar que algumas séries divergem claramente, e portanto, verificar isso primeiro é uma abordagem sensata para evitar perda de tempo ao determinar a convergência ou divergência de uma série.

Teste do termo geral
Se uma série $\sum a_n$ converge, então

\[\lim_{n\to\infty} a_n=0\]

Ou seja,

\[\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{a série }\sum a_n \text{ diverge}\]

Prova

Seja $l$ a soma de uma série convergente $\sum a_n$ e defina a soma dos primeiros $n$ termos como

\[s_n := a_1 + a_2 + \cdots + a_n\]

Então,

\[\forall \epsilon > 0,\, \exists N \in \mathbb{N}\ (n > N \Rightarrow |s_n - l| < \epsilon).\]

Portanto, para $n$ suficientemente grande ($>N$),

\[|a_n| = |s_n - s_{n-1}| = |(s_n - l) - (s_{n-1} - l)| \leq |s_n - l| + |s_{n-1} - l| \leq \epsilon + \epsilon = 2\epsilon\]

Pela definição de convergência de sequência,

\[\lim_{n\to\infty} |a_n| = 0. \quad \blacksquare\]

Observação importante

A recíproca deste teorema geralmente não é verdadeira. Um exemplo clássico que demonstra isso é a série harmônica.

A série harmônica é uma série cujos termos são os recíprocos de uma progressão aritmética, ou seja, uma sequência harmônica. A série harmônica mais representativa é

\[H_n := 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \quad (n=1,2,3,\dots)\]

Podemos mostrar que esta série diverge da seguinte forma:

\[\begin{align*} \lim_{n\to\infty} H_n &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{16} + \cdots \\ &> 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{16} + \cdots \\ &= 1 + \frac{1}{2} \qquad\, + \frac{1}{2} \qquad\qquad\qquad\ \ + \frac{1}{2} \qquad\qquad\quad + \frac{1}{2} + \cdots \\ &= \infty. \end{align*}\]

Assim, vemos que a série $H_n$ diverge, apesar de seu termo geral $1/n$ convergir para $0$.

Se $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$, então a série $\sum a_n$ certamente diverge, mas é perigoso assumir que a série $\sum a_n$ converge apenas porque $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$. Nesse caso, outros métodos devem ser usados para determinar a convergência ou divergência.

Séries geométricas

A série geométrica com primeiro termo 1 e razão $r$

\[1 + r + r^2 + r^3 + \cdots \label{eqn:geometric_series}\tag{5}\]

é a série mais importante e fundamental. Da equação

\[(1-r)(1+r+\cdots + r^{n-1}) = 1 - r^n\]

obtemos

\[1 + r + \cdots + r^{n-1} = \frac{1-r^n}{1-r} = \frac{1}{1-r} - \frac{r^n}{1-r} \qquad (r \neq 1) \label{eqn:sum_of_geometric_series}\tag{6}\]

Por outro lado,

\[\lim_{n\to\infty} r^n = 0 \quad \Leftrightarrow \quad |r| < 1\]

Portanto, sabemos que a condição necessária e suficiente para a convergência da série geométrica ($\ref{eqn:geometric_series}$) é $|r| < 1$.

Convergência/divergência de séries geométricas
A série geométrica $\sum ar^{n-1}$:

• Converge se $|r| < 1$
• Diverge se $|r| \geq 1$

Disso, obtemos

\[1 + r + r^2 + r^3 + \cdots = \frac{1}{1-r} \qquad (|r| < 1) \label{eqn:sum_of_inf_geometric_series}\tag{7}\]

Séries geométricas e aproximações

A identidade ($\ref{eqn:sum_of_geometric_series}$) é útil para encontrar aproximações de $\cfrac{1}{1-r}$ quando $|r| < 1$.

Substituindo $r=-\epsilon$ e $n=2$ nesta equação, obtemos

\[\frac{1}{1+\epsilon} - (1 - \epsilon) = \frac{\epsilon^2}{1 + \epsilon}\]

Portanto, se $0 < \epsilon < 1$, então

\[0 < \frac{1}{1 + \epsilon} - (1 - \epsilon) < \epsilon^2\]

Assim,

\[\frac{1}{1 + \epsilon} \approx (1 - \epsilon) \pm \epsilon^2 \qquad (0 < \epsilon < 1)\]

Isso nos mostra que, para um valor positivo suficientemente pequeno $\epsilon$, $\cfrac{1}{1 + \epsilon}$ pode ser aproximado por $1 - \epsilon$.

Teste da série-$p$ (Teste da série-$p$)

Para um número real positivo $p$, uma série da seguinte forma é chamada de série-$p$:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\]

Convergência/divergência de séries-$p$
A série-$p$ $\sum \cfrac{1}{n^p}$:

• Converge se $p>1$
• Diverge se $p\leq 1$

No caso da série-$p$ onde $p=1$, temos a série harmônica, que já mostramos que diverge.
O problema de encontrar o valor da série-$p$ para $p=2$, ou seja, $\sum \cfrac{1}{n^2}$, é conhecido como o “problema de Basel”, nomeado após a cidade natal da família Bernoulli, que produziu vários matemáticos famosos ao longo de gerações e foi a primeira a demonstrar que esta série converge. A resposta para este problema é conhecida como $\cfrac{\pi^2}{6}$.

Mais geralmente, a série-$p$ para $p>1$ é chamada de função zeta. Esta é uma função especial introduzida por Leonhard Euler em 11740 HE e posteriormente nomeada por Riemann, definida como:

\[\zeta(s) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \qquad (s>1)\]

Este tópico se afasta um pouco do nosso foco principal e, para ser honesto, como sou um estudante de engenharia e não um matemático, não vou entrar em detalhes aqui. No entanto, vale mencionar que Leonhard Euler mostrou que a função zeta também pode ser expressa como um produto infinito de números primos, conhecido como Produto de Euler, e desde então a função zeta ocupa uma posição central em vários campos da teoria analítica dos números. A função zeta de Riemann, que estende o domínio da função zeta para números complexos, e a importante conjectura não resolvida conhecida como Hipótese de Riemann são exemplos disso.

Voltando ao nosso tópico original, a prova do teste da série-$p$ requer o teste de comparação e o teste da integral, que serão discutidos mais adiante. No entanto, a convergência/divergência das séries-$p$ pode ser útil no teste de comparação que veremos a seguir, por isso foi intencionalmente colocada nesta posição.

Prova

i) Quando $p>1$

A integral

\[\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\ dx = \left[\frac{1}{-p+1}\frac{1}{x^{p-1}} \right]^\infty_1 = \frac{1}{p-1}\]

converge, então pelo teste da integral, a série $\sum \cfrac{1}{n^p}$ também converge.

ii) Quando $p\leq 1$

Neste caso,

\[0 \leq \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n^p}\]

Sabemos que a série harmônica $\sum \cfrac{1}{n}$ diverge, então pelo teste de comparação, $\sum \cfrac{1}{n^p}$ também diverge.

Conclusão

Por i) e ii), a série-$p$ $\sum \cfrac{1}{n^p}$ converge se $p>1$ e diverge se $p \leq 1$. $\blacksquare$

Teste de comparação

O teste de comparação de Jakob Bernoulli é útil para determinar a convergência/divergência de séries de termos positivos, que são séries cujos termos gerais são números reais não negativos.

Uma série de termos positivos $\sum a_n$ é uma sequência crescente, então se não divergir para o infinito ($\sum a_n = \infty$), ela necessariamente converge. Portanto, para séries de termos positivos, a expressão

\[\sum a_n < \infty\]

significa que a série converge.

Teste de comparação
Se $0 \leq a_n \leq b_n$, então:

• $\sum b_n < \infty \ \Rightarrow \ \sum a_n < \infty$
• $\sum a_n = \infty \ \Rightarrow \ \sum b_n = \infty$

Em particular, para séries de termos positivos como $\sum \cfrac{1}{n^2 + n}$, $\sum \cfrac{\log n}{n^3}$, $\sum \cfrac{1}{2^n + 3^n}$, $\sum \cfrac{1}{\sqrt{n}}$, $\sum \sin{\cfrac{1}{n}}$, que têm formas semelhantes às séries geométricas $\sum ar^{n-1}$ ou séries-$p$ $\sum \cfrac{1}{n^p}$ que vimos anteriormente, é recomendável tentar ativamente o teste de comparação.

Vários outros testes de convergência/divergência que serão discutidos posteriormente podem ser derivados deste teste de comparação, o que o torna o mais importante nesse sentido.

Teste de comparação no limite

Para séries de termos positivos $\sum a_n$ e $\sum b_n$, se a razão entre os termos gerais das duas séries $a_n/b_n$ tem os termos dominantes no numerador e denominador que se cancelam, resultando em $\lim_{n\to\infty} \cfrac{a_n}{b_n}=c \text{ (}c\text{ é um número positivo finito)}$, e se conhecemos a convergência/divergência da série $\sum b_n$, podemos usar o seguinte teste de comparação no limite.

Teste de comparação no limite
Se

\[\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \text{ (}c\text{ é um número positivo finito)}\]

então as séries $\sum a_n$ e $\sum b_n$ ambas convergem ou ambas divergem. Ou seja, $ \sum a_n < \infty \ \Leftrightarrow \ \sum b_n < \infty$.

Teste da raiz

Teorema
Para uma série de termos positivos $\sum a_n$ e um número positivo $\epsilon < 1$:

• Se $\sqrt[n]{a_n}< 1-\epsilon$ para todo $n$, então a série $\sum a_n$ converge
• Se $\sqrt[n]{a_n}> 1+\epsilon$ para todo $n$, então a série $\sum a_n$ diverge

Corolário: Teste da raiz
Para uma série de termos positivos $\sum a_n$, se o limite

\[\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: r\]

existe, então:

• Se $r<1$, a série $\sum a_n$ converge
• Se $r>1$, a série $\sum a_n$ diverge

No corolário acima, se $r=1$, não podemos determinar a convergência/divergência e devemos usar outros métodos.

Teste da razão

Teste da razão
Para uma sequência de números positivos $(a_n)$ e $0 < r < 1$:

• Se $a_{n+1}/a_n \leq r$ para todo $n$, então a série $\sum a_n$ converge
• Se $a_{n+1}/a_n \geq 1$ para todo $n$, então a série $\sum a_n$ diverge

Corolário
Para uma sequência de números positivos $(a_n)$, se o limite $\rho := \lim_{n\to\infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}$ existe, então:

• Se $\rho < 1$, a série $\sum a_n$ converge
• Se $\rho > 1$, a série $\sum a_n$ diverge

Teste da integral

O cálculo integral pode ser usado para determinar a convergência/divergência de séries compostas por sequências decrescentes de termos positivos.

Teste da integral
Se uma função contínua $f: \left[1,\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}$ é decrescente e sempre $f(x)>0$, então a série $\sum f(n)$ converge se e somente se a integral

\[\int_1^\infty f(x)\ dx := \lim_{b\to\infty} \int_1^b f(x)\ dx\]

converge.

Prova

Como a função $f(x)$ é contínua, decrescente e sempre positiva, a desigualdade

\[f(n+1) \leq \int_n^{n+1} f(x)\ dx \leq f(n)\]

é válida. Somando esta desigualdade de $n=1$ até o termo geral, obtemos

\[f(2) + \cdots + f(n+1) \leq \int_1^{n+1} f(x)\ dx \leq f(1) + \cdots + f(n)\]

Usando o teste de comparação, obtemos o resultado desejado. $\blacksquare$

Séries alternadas

Uma série alternada é uma série $\sum a_n$ onde os termos $a_n$ são não nulos e o sinal de cada termo $a_n$ é diferente do sinal do termo seguinte $a_{n+1}$, ou seja, termos positivos e negativos aparecem alternadamente.

Para séries alternadas, o seguinte teorema descoberto pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz pode ser útil para determinar a convergência/divergência.

Teste da série alternada
Se:

1. Os sinais de $a_n$ e $a_{n+1}$ são diferentes para todo $n$,
2. $|a_n| \geq |a_{n+1}|$ para todo $n$, e
3. $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$,

então a série alternada $\sum a_n$ converge.

Convergência absoluta

Dizemos que uma série $\sum a_n$ converge absolutamente se a série $\sum |a_n|$ converge.

O seguinte teorema é válido:

Teorema
Uma série absolutamente convergente é convergente.

A recíproca do teorema acima não é verdadeira.
Quando uma série converge, mas não converge absolutamente, dizemos que ela converge condicionalmente.

Prova

Para um número real $a$, definimos

\[\begin{align*} a^+ &:= \max\{a,0\} = \frac{1}{2}(|a| + a), \\ a^- &:= -\min\{a,0\} = \frac{1}{2}(|a| - a) \end{align*}\]

Então,

\[a = a^+ - a^-, \qquad |a| = a^+ + a^-\]

Como $0 \leq a^\pm \leq |a|$, pelo teste de comparação, se a série $\sum |a_n|$ converge, então as séries $\sum a_n^+$ e $\sum a_n^-$ também convergem, e portanto, pelas propriedades básicas de séries convergentes,

\[\sum a_n = \sum (a_n^+ - a_n^-) = \sum a_n^+ - \sum a_n^-\]

também converge. $\blacksquare$