Fórmulas de Produto para Soma e Soma para Produto (Product-to-Sum and Sum-to-Product Identities)

TL;DR

Fórmulas de Produto para Soma (Product-to-Sum Identities)

• \[\sin \alpha \cos \beta = \frac { 1 } { 2 } \{ \sin ( \alpha + \beta ) + \sin ( \alpha - \beta ) \}\]
• \[\cos \alpha \sin \beta = \frac { 1 } { 2 } \{ \sin ( \alpha + \beta ) - \sin ( \alpha - \beta ) \}\]
• \[\cos \alpha \cos \beta = \frac { 1 } { 2 } \{ \cos ( \alpha + \beta ) + \cos ( \alpha - \beta )\}\]
• \[\sin \alpha \sin \beta = - \frac { 1 } { 2 } \{ \cos ( \alpha + \beta ) - \cos ( \alpha - \beta ) \}\]

Fórmulas de Soma para Produto (Sum-to-Product Identities)

• \[\sin A + \sin B = 2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}\]
• \[\sin A - \sin B = 2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}\]
• \[\cos A + \cos B = 2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}\]
• \[\cos A - \cos B = -2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}\]

É bom memorizar não apenas as fórmulas, mas também o processo de derivação.

Pré-requisitos

• Fórmulas de adição trigonométrica

Fórmulas de Produto para Soma (Product-to-Sum Identities)

• \[\sin \alpha \cos \beta = \frac { 1 } { 2 } \{ \sin ( \alpha + \beta ) + \sin ( \alpha - \beta ) \}\]
• \[\cos \alpha \sin \beta = \frac { 1 } { 2 } \{ \sin ( \alpha + \beta ) - \sin ( \alpha - \beta ) \}\]
• \[\cos \alpha \cos \beta = \frac { 1 } { 2 } \{ \cos ( \alpha + \beta ) + \cos ( \alpha - \beta )\}\]
• \[\sin \alpha \sin \beta = - \frac { 1 } { 2 } \{ \cos ( \alpha + \beta ) - \cos ( \alpha - \beta ) \}\]

Derivação

Usamos as fórmulas de adição trigonométrica

\[\begin{align} \sin(\alpha+\beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \tag{1}\label{eqn:sin_add}\\ \sin(\alpha-\beta) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \tag{2}\label{eqn:sin_dif} \end{align}\]

Somando ($\ref{eqn:sin_add}$) e ($\ref{eqn:sin_dif}$), temos

\[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) = 2 \sin \alpha \cos \beta \tag{3}\label{sin_product_to_sum}\] \[\therefore \sin \alpha \cos \beta = \frac { 1 } { 2 } \{ \sin ( \alpha + \beta ) + \sin ( \alpha - \beta ) \}.\]

Subtraindo ($\ref{eqn:sin_dif}$) de ($\ref{eqn:sin_add}$), temos

\[\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta) = 2 \cos \alpha \sin \beta \tag{4}\label{cos_product_to_dif}\] \[\therefore \cos \alpha \sin \beta = \frac { 1 } { 2 } \{ \sin ( \alpha + \beta ) - \sin ( \alpha - \beta ) \}.\]

Da mesma forma, usando

\[\begin{align} \cos(\alpha+\beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \tag{5}\label{eqn:cos_add} \\ \cos(\alpha-\beta ) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \tag{6}\label{eqn:cos_dif} \end{align}\]

Somando ($\ref{eqn:cos_add}$) e ($\ref{eqn:cos_dif}$), temos

\[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) = 2 \cos \alpha \cos \beta \tag{7}\label{cos_product_to_sum}\] \[\therefore \cos \alpha \cos \beta = \frac { 1 } { 2 } \{ \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) \}.\]

Subtraindo ($\ref{eqn:cos_dif}$) de ($\ref{eqn:cos_add}$), temos

\[\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta) = -2 \sin \alpha \sin \beta \tag{8}\label{sin_product_to_dif}\] \[\therefore \sin \alpha \sin \beta = -\frac { 1 } { 2 } \{ \cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta) \}.\]

Fórmulas de Soma para Produto (Sum-to-Product Identities)

• \[\sin A + \sin B = 2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}\]
• \[\sin A - \sin B = 2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}\]
• \[\cos A + \cos B = 2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}\]
• \[\cos A - \cos B = -2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}\]

Derivação

Podemos derivar as fórmulas de Soma para Produto (Sum-to-Product Identities) a partir das fórmulas de Produto para Soma (Product-to-Sum Identities).

Definimos

\[\alpha + \beta = A, \quad \alpha - \beta = B\]

Resolvendo estas equações para $\alpha$ e $\beta$, obtemos

\[\alpha = \frac{A+B}{2}, \quad \beta = \frac{A-B}{2}.\]

Substituindo estes valores em ($\ref{sin_product_to_sum}$), ($\ref{cos_product_to_dif}$), ($\ref{cos_product_to_sum}$), ($\ref{sin_product_to_dif}$) respectivamente, obtemos as seguintes fórmulas:

\[\begin{align*} \sin A + \sin B &= 2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2} \\ \sin A - \sin B &= 2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2} \\ \cos A + \cos B &= 2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2} \\ \cos A - \cos B &= -2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}. \end{align*}\]