Princípio da Relatividade e Transformação de Lorentz

TL;DR

Princípio da Relatividade: O princípio de que todas as leis físicas devem ser as mesmas em diferentes sistemas de referência que se movem com velocidade constante entre si

Fator de Lorentz $\gamma$

\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\]

Transformação de Lorentz

\[\begin{pmatrix} \vec{x}^\prime \\ ct^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\vec{\beta} \\ -\gamma\vec{\beta} & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{x} \\ ct \end{pmatrix}.\]

• $ \vec{x^\prime} = \gamma\vec{x}-\gamma\vec{\beta}ct $
• $ ct^\prime = \gamma ct - \gamma \vec{\beta}\cdot\vec{x} $

Transformação de Lorentz Inversa

\[\begin{pmatrix} \vec{x} \\ ct \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & \gamma\vec{\beta} \\ \gamma\vec{\beta} & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{x^\prime} \\ ct^\prime \end{pmatrix}.\]

• $ \vec{x} = \gamma\vec{x^\prime}+\gamma\vec{\beta}ct^\prime $
• $ ct = \gamma ct^\prime + \gamma \vec{\beta}\cdot\vec{x^\prime} $

Sistema de Referência e Princípio da Relatividade

Sistema de Referência (frame of reference)

• Sistema de Referência (frame of reference): O movimento de um objeto significa que sua posição muda em relação a outros objetos. Como todo movimento é relativo, para descrever qualquer movimento, é necessário estabelecer um sistema de referência como base.
• Sistema de Referência Inercial (inertial frames of reference): Um sistema onde a Primeira Lei de Newton (“O estado de movimento de um objeto permanece inalterado enquanto a força resultante agindo sobre ele for zero”) é válida. Qualquer sistema de referência que se move com velocidade constante em relação a um sistema inercial também é um sistema de referência inercial.

Princípio da Relatividade (Principle of Relativity)

Um dos principais conceitos e premissas fundamentais da física, afirma que todas as leis físicas devem ser as mesmas em diferentes sistemas de referência que se movem com velocidade constante entre si. Se observadores em movimento relativo experimentassem leis físicas diferentes, essa diferença poderia ser usada para estabelecer um sistema de referência absoluto, permitindo determinar quem está parado e quem está em movimento. No entanto, de acordo com o princípio da relatividade, tal distinção não existe, portanto, não há sistema de referência absoluto ou movimento absoluto em relação ao universo inteiro, e todos os sistemas de referência inerciais são equivalentes.

Limitações da Transformação de Galileu

Transformação de Galileu (Galilean transformation)

Consideremos dois sistemas inerciais $S$ e $S^{\prime}$, onde $S^{\prime}$ se move em relação a $S$ com uma velocidade constante $\vec{v}$ na direção $+x$. Um mesmo evento é observado no sistema $S$ no tempo $t$ nas coordenadas $(x, y, z)$, e no sistema $S^{\prime}$ no tempo $t^{\prime}$ nas coordenadas $(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime})$.

Neste caso, o valor do movimento na direção $x$ medido em $S^{\prime}$ será maior que o valor medido em $S$ pela distância que $S^{\prime}$ se moveu em relação a $S$ na direção $x$, que é $\vec{v}t$, então

\[x^{\prime} = x - \vec{v}t \label{eqn:galilean_transform_x} \tag{1}\]

e como não há movimento relativo nas direções $y$ e $z$,

\[\begin{align*} y^{\prime} = y \label{eqn:galilean_transform_y} \tag{2} \\ z^{\prime} = z \label{eqn:galilean_transform_z} \tag{3} \end{align*}\]

e intuitivamente, podemos assumir que

\[t^{\prime} = t \tag{4} \label{eqn:galilean_transform_t}\]

A transformação de coordenadas entre diferentes sistemas inerciais classicamente usada na física, como mostrado nas equações ($\ref{eqn:galilean_transform_x}$) a ($\ref{eqn:galilean_transform_t}$), é chamada de Transformação de Galileu, e é simples e intuitiva, funcionando bem na maioria das situações cotidianas. No entanto, como será discutido mais adiante, ela entra em contradição com as equações de Maxwell.

Equações de Maxwell

No final do século XIX, Maxwell expandiu as ideias e resultados de pesquisas anteriores propostos por outros cientistas como Faraday e Ampère, revelando que a eletricidade e o magnetismo são na verdade uma única força, e derivou as seguintes quatro equações que descrevem o campo eletromagnético:

1. \[\begin{gather*}\nabla\cdot{E}=\frac{q}{\epsilon_0} \\ \text{: O fluxo elétrico através de qualquer superfície fechada é igual à carga líquida interna (Lei de Gauss).} \end{gather*}\]
2. \[\begin{gather*}\nabla\cdot{B}=0 \\ \text{: Não existem monopolos magnéticos.} \end{gather*}\]
3. \[\begin{gather*}\nabla\times{E}=-\frac{\partial B}{\partial t} \\ \text{: A variação do campo magnético cria um campo elétrico (Lei de Faraday).} \end{gather*}\]
4. \[\begin{gather*}\nabla\times{B}=\mu_0\left(J+\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}\right) \\ \text{: A variação do campo elétrico e a corrente criam um campo magnético (Lei de Ampère-Maxwell).} \end{gather*}\]

As equações de Maxwell explicaram com sucesso todos os fenômenos elétricos e magnéticos conhecidos até então, previram a existência de ondas eletromagnéticas e também deduziram que a velocidade das ondas eletromagnéticas no vácuo, $c$, é uma constante invariável, tornando-se assim a fórmula central do eletromagnetismo.

Contradição entre a Transformação de Galileu e as Equações de Maxwell

A mecânica newtoniana, que utiliza a transformação de Galileu, tem sido a base da física por mais de 200 anos, e as equações de Maxwell são, como mencionado acima, as equações centrais que descrevem os fenômenos elétricos e magnéticos. No entanto, existe uma contradição entre as duas:

• De acordo com o princípio da relatividade, espera-se que as equações de Maxwell também tenham a mesma forma em todos os sistemas inerciais, mas quando se aplica a transformação de Galileu para converter valores medidos em um sistema inercial para valores medidos em outro sistema inercial, as equações de Maxwell assumem uma forma muito diferente.
• A velocidade da luz $c$ pode ser calculada a partir das equações de Maxwell e é uma constante invariável, mas de acordo com a mecânica newtoniana e a transformação de Galileu, a velocidade da luz $c$ é medida diferentemente em diferentes sistemas inerciais.

Portanto, as equações de Maxwell e a transformação de Galileu são incompatíveis, e pelo menos uma delas precisava ser modificada. Isso serviu de base para o surgimento da Transformação de Lorentz (Lorentz transformation), que será discutida mais adiante.

Teoria do Éter e Experimento de Michelson-Morley

Por outro lado, na física do século XIX, acreditava-se que a luz, assim como outras ondas como ondas na água ou ondas sonoras, era transmitida por um meio hipotético chamado éter, e houve esforços para descobrir a existência deste éter.

De acordo com a teoria do éter, mesmo que o espaço fosse vácuo, ele estaria preenchido com éter, então acreditava-se que o movimento orbital da Terra, que se move a uma velocidade de cerca de 30km/s em relação ao Sol, formaria um vento de éter atravessando a Terra.

Fonte da imagem

• Autor: Usuário do Wikimedia Cronholm144
• Licença: CC BY-SA 3.0

Para verificar esta hipótese, em 1887, Michelson, em colaboração com Morley, realizou o Experimento de Michelson-Morley usando o interferômetro mostrado abaixo.

Fonte da imagem

• Autor: Albert Abraham Michelson com Edward Morley
• Licença: domínio público

Neste experimento, o raio de luz é dividido em dois ao passar por um espelho semi-refletor, cada um percorrendo ida e volta pelos dois braços perpendiculares do interferômetro, percorrendo um total de cerca de 11m, e se encontrando no ponto médio, onde padrões de interferência construtiva ou destrutiva aparecem dependendo da diferença de fase entre os dois raios. De acordo com a teoria do éter, esperava-se que a velocidade relativa ao éter causasse uma diferença na velocidade da luz, resultando em uma mudança nesta diferença de fase e, portanto, uma mudança observável no padrão de interferência, mas na realidade, nenhuma mudança no padrão de interferência foi observada. Houve várias tentativas de explicar este resultado experimental, entre as quais FitzGerald e Lorentz propuseram a contração de Lorentz-FitzGerald ou contração do comprimento, que afirma que o comprimento de um objeto se contrai quando se move em relação ao éter, o que levou à transformação de Lorentz.

Naquela época, Lorentz acreditava na existência do éter e pensava que a contração do comprimento ocorria devido ao movimento relativo ao éter. Posteriormente, Einstein interpretou o verdadeiro significado físico da transformação de Lorentz com sua Teoria da Relatividade Especial (Theory of Special Relativity), explicando a contração do comprimento em termos do conceito de espaço-tempo em vez do éter, e também foi posteriormente descoberto que o éter não existe.

Transformação de Lorentz (Lorentz transformation)

Derivação da Transformação de Lorentz

Na mesma situação da transformação de Galileu (equações [$\ref{eqn:galilean_transform_x}$]-[$\ref{eqn:galilean_transform_t}$]) vista anteriormente, vamos assumir que a relação de transformação correta entre $x$ e $x^{\prime}$ que não contradiz as equações de Maxwell é a seguinte:

\[x^{\prime} = \gamma(x-\vec{v}t). \label{eqn:lorentz_transform_x}\tag{5}\]

Aqui, $\gamma$ pode ser uma função de $\vec{v}$, mas não depende de $x$ e $t$. As razões para fazer esta suposição são as seguintes:

• Para que haja uma correspondência um-a-um entre eventos em $S$ e eventos em $S^{\prime}$, $x$ e $x^{\prime}$ devem ter uma relação linear.
• Como se sabe que a transformação de Galileu está correta para a mecânica em situações cotidianas, deve ser possível aproximá-la pela equação ($\ref{eqn:galilean_transform_x}$).
• Deve ter uma forma o mais simples possível.

Como as fórmulas físicas devem ter a mesma forma nos sistemas de referência $S$ e $S^{\prime}$, para expressar $x$ em termos de $x^{\prime}$ e $t$, basta mudar o sinal de $\vec{v}$ (a direção do movimento relativo), e como não deve haver diferença entre os dois sistemas de referência além do sinal de $\vec{v}$, $\gamma$ deve ser o mesmo.

\[x = \gamma(x^{\prime}+\vec{v}t^{\prime}). \label{eqn:lorentz_transform_x_inverse}\tag{6}\]

Assim como na transformação de Galileu, não há razão para que as componentes perpendiculares à direção de $\vec{v}$, $y$ e $y^{\prime}$, e $z$ e $z^{\prime}$, sejam diferentes, então assumimos:

\[\begin{align*} y^{\prime} &= y \\ z^{\prime} &= z \end{align*} \label{eqn:lorentz_transform_yz} \tag{7}\]

Agora, substituindo a equação ($\ref{eqn:lorentz_transform_x}$) em ($\ref{eqn:lorentz_transform_x_inverse}$), temos:

\[x = \gamma^2 x - \gamma^2 \vec{v}t + \gamma \vec{v}t^{\prime}\]

Resolvendo para $t^{\prime}$, obtemos:

\[t^{\prime} = \gamma t + \left(\frac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)x \label{eqn:lorentz_transform_t} \tag{8}\]

Além disso, para não contradizer as equações de Maxwell, a velocidade da luz deve ser $c$ em ambos os sistemas de referência, o que pode ser usado para determinar $\gamma$. Se assumirmos que no tempo $t=0$, as origens dos dois sistemas de referência estavam no mesmo lugar, então por esta condição inicial, $t^\prime = 0$. Agora, vamos considerar a situação em que houve um flash de luz na origem comum de $S$ e $S^\prime$ quando $t=t^\prime=0$, e os observadores em cada sistema de referência estão medindo a velocidade desta luz. Neste caso, no sistema de referência $S$:

\[x = ct \label{eqn:ct_S}\tag{9}\]

e no sistema de referência $S^\prime$:

\[x^\prime = ct^\prime \label{eqn:ct_S_prime}\tag{10}\]

Substituindo $x$ e $t$ nas equações acima usando as equações ($\ref{eqn:lorentz_transform_x}$) e ($\ref{eqn:lorentz_transform_t}$), obtemos:

\[\gamma (x-\vec{v}t) = c\gamma t + \left(\frac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)cx\]

Resolvendo esta equação para $x$:

\[\left[\gamma-\left(\frac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)c \right]x = c\gamma t + \vec{v}\gamma t\] \[\begin{align*} x &= \cfrac{c\gamma t + \vec{v}\gamma}{\gamma-\left(\cfrac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)c} \\ &= ct\left[ \cfrac{\gamma + \cfrac{\vec{v}}{c}\gamma}{\gamma - \left( \cfrac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}} \right)c} \right] \\ &= ct\left[ \cfrac{1 + \cfrac{\vec{v}}{c}}{1 - \left( \cfrac{1}{\gamma^2}-1 \right)\cfrac{c}{\vec{v}}} \right] \end{align*}\]

No entanto, como vimos na equação ($\ref{eqn:ct_S}$), $x=ct$, então:

\[\cfrac{1 + \cfrac{\vec{v}}{c}}{1 - \left( \cfrac{1}{\gamma^2}-1 \right)\cfrac{c}{\vec{v}}} = 1\]

Portanto,

\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \label{lorentz_factor}\tag{11}\]

Substituindo esta expressão de $\gamma$ em função de $\vec{v}$ nas equações ($\ref{eqn:lorentz_transform_x}$), ($\ref{eqn:lorentz_transform_yz}$), ($\ref{eqn:lorentz_transform_t}$), obtemos finalmente as equações de transformação do sistema de referência $S$ para $S^\prime$.

Matriz de Transformação de Lorentz

As equações de transformação finais que obtivemos são as seguintes:

• \[x^\prime = \frac{x-\vec{v}t}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \label{eqn:lorentz_transform_x_fin}\tag{12}\]
• \[y^\prime = y \label{eqn:lorentz_transform_y_fin}\tag{13}\]
• \[z^\prime = z \label{eqn:lorentz_transform_z_fin}\tag{14}\]
• \[t^\prime = \frac{t-\cfrac{\vec{v}x}{c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \label{eqn:lorentz_transform_t_fin}\tag{15}\]

Estas equações são conhecidas como Transformação de Lorentz (Lorentz transformation). Definindo $\vec{\beta}=\vec{v}/c$, podemos expressá-las na forma matricial da seguinte maneira:

\[\begin{pmatrix} x_1^\prime \\ x_2^\prime \\ x_3^\prime \\ ct^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & -\gamma\vec{\beta} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\gamma\vec{\beta} & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ ct \end{pmatrix}. \label{lorentz_transform_matrix}\tag{16}\]

Lorentz mostrou que, usando estas equações de transformação, as fórmulas básicas do eletromagnetismo têm a mesma forma em todos os sistemas de referência inerciais. Além disso, podemos ver que quando a velocidade $v$ é muito menor que a velocidade da luz $c$, $\gamma \to 1$, então a transformação de Lorentz pode ser aproximada pela transformação de Galileu.

Transformação de Lorentz Inversa (inverse Lorentz transformation)

Às vezes, pode ser mais conveniente transformar medições do sistema em movimento $S^\prime$ para medições no sistema em repouso $S$, em vez de transformar medições do sistema em repouso $S$ para o sistema em movimento $S^\prime$. Nestes casos, podemos usar a Transformação de Lorentz Inversa (inverse Lorentz transformation).
Calculando a matriz inversa de ($\ref{lorentz_transform_matrix}$), obtemos a seguinte matriz de transformação de Lorentz inversa:

\[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ ct \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & \gamma\vec{\beta} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \gamma\vec{\beta} & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1^\prime \\ x_2^\prime \\ x_3^\prime \\ ct^\prime \end{pmatrix}. \tag{17}\]

Isso é equivalente a trocar as quantidades físicas com e sem primas nas equações ($\ref{eqn:lorentz_transform_x_fin}$)-($\ref{eqn:lorentz_transform_t_fin}$) e substituir $v$ por $-v$ (ou seja, $\beta$ por $-\beta$).

• \[x = \frac{x^\prime+\vec{v}t^\prime}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \tag{18}\]
• \[y = y^\prime \tag{19}\]
• \[z = z^\prime \tag{20}\]
• \[t = \frac{t^\prime+\cfrac{\vec{v}x^\prime}{c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \tag{21}\]