Método dos Coeficientes Indeterminados

TL;DR

• Método dos Coeficientes Indeterminados se aplica a:
  • Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes $a$ e $b$
  • Onde a entrada $r(x)$ consiste em funções exponenciais, potências de $x$, $\cos$ ou $\sin$, ou combinações dessas funções
  • Equação diferencial da forma $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r(x)$
• Regras de seleção para o método dos coeficientes indeterminados
  • (a) Regra básica: Se $r(x)$ na equação ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) for uma das funções na primeira coluna da tabela, escolha o $y_p$ correspondente na mesma linha e determine os coeficientes indeterminados substituindo $y_p$ e suas derivadas na equação ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$).
  • (b) Regra de modificação: Se o termo escolhido para $y_p$ for uma solução da equação diferencial homogênea correspondente $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$, multiplique este termo por $x$ (ou por $x^2$ se esta solução corresponder a uma raiz dupla da equação característica da equação diferencial homogênea).
  • (c) Regra da soma: Se $r(x)$ for uma soma de funções da primeira coluna da tabela, escolha para $y_p$ a soma das funções correspondentes na segunda coluna.

Termo de $r(x)$	Escolha para $y_p(x)$
$ke^{\gamma x}$	$Ce^{\gamma x}$
$kx^n\ (n=0,1,\cdots)$	$K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + \cdots + K_1x + K_0$
$k\cos{\omega x}$ $k\sin{\omega x}$	$K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x}$
$ke^{\alpha x}\cos{\omega x}$ $ke^{\alpha x}\sin{\omega x}$	$e^{\alpha x}(K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x})$

Pré-requisitos

• Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de Segunda Ordem
• Wronskiano, Existência e Unicidade de Soluções
• Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Não Homogêneas de Segunda Ordem

Método dos Coeficientes Indeterminados

Consideremos uma equação diferencial ordinária linear não homogênea de segunda ordem com $r(x) \not\equiv 0$

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}\tag{1}\]

e a equação diferencial homogênea correspondente

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]

Conforme vimos anteriormente em Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Não Homogêneas de Segunda Ordem, para resolver um problema de valor inicial para a equação diferencial não homogênea ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$), precisamos encontrar $y_h$ resolvendo a equação homogênea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) e depois encontrar uma solução particular $y_p$ da equação ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$) para obter a solução geral

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) \label{eqn:general_sol}\tag{3}\]

Como encontramos $y_p$? O método geral para encontrar $y_p$ é o método da variação de parâmetros, mas em certos casos podemos aplicar o método dos coeficientes indeterminados, que é muito mais simples. Este método é particularmente útil em engenharia para sistemas vibratórios e modelos de circuitos elétricos RLC.

O método dos coeficientes indeterminados é adequado para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes $a$ e $b$ onde a entrada $r(x)$ consiste em funções exponenciais, potências de $x$, $\cos$ ou $\sin$, ou combinações dessas funções:

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = r(x) \label{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}\tag{4}\]

O aspecto fundamental do método é que estas formas de $r(x)$ possuem derivadas com estruturas semelhantes a si mesmas. Para aplicar o método, escolhemos um $y_p$ com forma semelhante a $r(x)$, mas com coeficientes indeterminados que serão definidos substituindo $y_p$ e suas derivadas na equação diferencial dada. As regras para escolher o $y_p$ apropriado para formas de $r(x)$ importantes na prática são as seguintes:

Regras de seleção para o método dos coeficientes indeterminados
(a) Regra básica: Se $r(x)$ na equação ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$) for uma das funções na primeira coluna da tabela, escolha o $y_p$ correspondente na mesma linha e determine os coeficientes indeterminados substituindo $y_p$ e suas derivadas na equação ($\ref{eqn:linear_ode_with_constant_coefficients}$).
(b) Regra de modificação: Se o termo escolhido para $y_p$ for uma solução da equação diferencial homogênea correspondente $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$, multiplique este termo por $x$ (ou por $x^2$ se esta solução corresponder a uma raiz dupla da equação característica da equação diferencial homogênea).
(c) Regra da soma: Se $r(x)$ for uma soma de funções da primeira coluna da tabela, escolha para $y_p$ a soma das funções correspondentes na segunda coluna.

Termo de $r(x)$	Escolha para $y_p(x)$
$ke^{\gamma x}$	$Ce^{\gamma x}$
$kx^n\ (n=0,1,\cdots)$	$K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + \cdots + K_1x + K_0$
$k\cos{\omega x}$ $k\sin{\omega x}$	$K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x}$
$ke^{\alpha x}\cos{\omega x}$ $ke^{\alpha x}\sin{\omega x}$	$e^{\alpha x}(K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x})$

Este método tem a vantagem de ser não apenas simples, mas também autocorretivo. Se escolhermos incorretamente $y_p$ ou selecionarmos poucos termos, chegaremos a uma contradição; se selecionarmos termos em excesso, os coeficientes dos termos desnecessários serão zero, levando ao resultado correto. Mesmo que algo dê errado ao aplicar o método, perceberemos naturalmente durante o processo de resolução, então podemos tentar sem preocupação, desde que sigamos as regras de seleção acima.

Prova da regra da soma

Consideremos uma equação diferencial linear não homogênea da forma

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r_1(x) + r_2(x)\]

Agora, consideremos duas equações com o mesmo lado esquerdo, mas com entradas $r_1$ e $r_2$:

\[\begin{gather*} y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r_1(x) \\ y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r_2(x) \end{gather*}\]

Suponhamos que estas equações tenham soluções ${y_p}_1$ e ${y_p}_2$, respectivamente. Denotando o lado esquerdo da equação por $L[y]$, pela linearidade de $L[y]$, temos que para $y_p = {y_p}_1 + {y_p}_2$:

\[L[y_p] = L[{y_p}_1 + {y_p}_2] = L[{y_p}_1] + L[{y_p}_2] = r_1 + r_2 = r. \ \blacksquare\]

Exemplo: $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$

De acordo com a regra básica (a), escolhemos $y_p = Ce^{\gamma x}$ e substituímos na equação dada $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = ke^{\gamma x}$:

\[\gamma^2 Ce^{\gamma x} + \gamma aCe^{\gamma x} + bCe^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(\gamma^2 + a\gamma + b)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(\gamma^2 + a\gamma + b) = k.\]

Caso $\gamma^2 + a\gamma + b \neq 0$

Podemos determinar o coeficiente indeterminado $C$ e encontrar $y_p$ da seguinte forma:

\[C = \frac{k}{\gamma^2 + a\gamma + b}\] \[y_p = Ce^{\gamma x} = \frac{k}{\gamma^2 + a\gamma + b} e^{\gamma x}.\]

Caso $\gamma^2 + a\gamma + b = 0$

Neste caso, devemos aplicar a regra de modificação (b). Primeiro, usando $b = -\gamma^2 - a\gamma = -\gamma(a + \gamma)$, encontramos as raízes da equação característica da equação diferencial homogênea $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$:

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} - \gamma(a + \gamma)y = 0\] \[\lambda^2 + a\lambda - \gamma(a + \gamma) = 0\] \[(\lambda + (a + \gamma))(\lambda - \gamma) = 0\] \[\lambda = \gamma, -a -\gamma.\]

Isso nos dá a base da equação diferencial homogênea:

\[y_1 = e^{\gamma x}, \quad y_2 = e^{(-a - \gamma)x}\]

Caso $\gamma \neq -a-\gamma$

Como o $y_p$ que escolhemos, $Ce^{\gamma x}$, é uma solução da equação diferencial homogênea correspondente, mas não corresponde a uma raiz dupla, pela regra de modificação (b), multiplicamos este termo por $x$ e escolhemos $y_p = Cxe^{\gamma x}$.

Agora, substituímos este $y_p$ modificado na equação dada $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} - \gamma(a + \gamma)y = ke^{\gamma x}$:

\[C(2\gamma + \gamma^2 x)e^{\gamma x} + aC(1 + \gamma x)e^{\gamma x} - \gamma(a + \gamma)Cxe^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C \left[\left\{\gamma^2 + a\gamma -\gamma(a + \gamma)\right\}x + 2\gamma + a \right]e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(2\gamma + a)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[C(2\gamma + a) = k\] \[\therefore C = \frac{k}{2\gamma + a}, \quad y_p = Cxe^{\gamma x} = \frac{k}{2\gamma + a}xe^{\gamma x}.\]

Caso $\gamma = -a-\gamma$

Neste caso, o $y_p$ que escolhemos, $Ce^{\gamma x}$, corresponde a uma raiz dupla da equação característica da equação diferencial homogênea. Pela regra de modificação (b), multiplicamos este termo por $x^2$ e escolhemos $y_p = Cx^2 e^{\gamma x}$.

Agora, substituímos este $y_p$ modificado na equação dada $y^{\prime\prime} - 2\gamma y^{\prime} + \gamma^2 y = ke^{\gamma x}$:

\[C(2 + 4\gamma x + \gamma^2 x^2)e^{\gamma x} + C(-4\gamma x - 2\gamma^2 x^2)e^{\gamma x} + C(\gamma^2 x^2)e^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[2Ce^{\gamma x} = ke^{\gamma x}\] \[2C = k\] \[\therefore C = \frac{k}{2}, \quad y_p = Cx^2 e^{\gamma x} = \frac{k}{2}x^2 e^{\gamma x}.\]