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Equações diferenciais ordinárias lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes

Examinamos a forma da solução geral de equações diferenciais ordinárias lineares homogêneas com coeficientes constantes, de acordo com o sinal do discriminante da equação característica.

Equações diferenciais ordinárias lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes

TL;DR

  • Equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$
  • Equação característica: $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$
  • A forma da solução geral pode ser dividida em três casos de acordo com o sinal do discriminante $a^2 - 4b$ da equação característica, como mostrado na tabela
CasoRaízes da equação característicaBase das soluções da EDOSolução geral da EDO
IRaízes reais distintas
$\lambda_1$, $\lambda_2$
$e^{\lambda_1 x}$, $e^{\lambda_2 x}$$y = c_1e^{\lambda_1 x} + c_2e^{\lambda_2 x}$
IIRaiz real dupla
$\lambda = -\cfrac{1}{2}a$
$e^{-ax/2}$, $xe^{-ax/2}$$y = (c_1 + c_2 x)e^{-ax/2}$
IIIRaízes complexas conjugadas
$\lambda_1 = -\cfrac{1}{2}a + i\omega$,
$\lambda_2 = -\cfrac{1}{2}a - i\omega$
$e^{-ax/2}\cos{\omega x}$,
$e^{-ax/2}\sin{\omega x}$
$y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x})$

Pré-requisitos

Equação característica

Vamos examinar a equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes $a$ e $b$:

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0 \label{eqn:ode_with_constant_coefficients}\tag{1}\]

Este tipo de equação tem aplicações importantes em vibrações mecânicas e elétricas.

Anteriormente, na Equação de Bernoulli, encontramos a solução geral da equação logística, e de acordo com isso, a solução da equação diferencial ordinária linear de primeira ordem com coeficiente constante $k$:

\[y^\prime + ky = 0\]

é a função exponencial $y = ce^{-kx}$. (No caso da equação (4) daquele artigo, com $A=-k$, $B=0$)

Portanto, para uma equação de forma semelhante ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), podemos tentar primeiro uma solução da forma:

\[y=e^{\lambda x}\label{eqn:general_sol}\tag{2}\]

Claro, isso é apenas uma suposição, e não há garantia de que a solução geral realmente tenha essa forma. Mas se conseguirmos encontrar duas soluções linearmente independentes, como vimos em Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de Segunda Ordem, podemos obter a solução geral pelo princípio da superposição.
Como veremos em breve, há casos em que precisamos encontrar soluções de outras formas.

Substituindo a equação ($\ref{eqn:general_sol}$) e suas derivadas:

\[y^\prime = \lambda e^{\lambda x}, \quad y^{\prime\prime} = \lambda^2 e^{\lambda x}\]

na equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), obtemos:

\[(\lambda^2 + a\lambda + b)e^{\lambda x} = 0\]

Portanto, se $\lambda$ for uma solução da equação característica:

\[\lambda^2 + a\lambda + b = 0 \label{eqn:characteristic_eqn}\tag{3}\]

então a função exponencial ($\ref{eqn:general_sol}$) é uma solução da equação diferencial ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$). Resolvendo a equação quadrática ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$), temos:

\[\begin{align*} \lambda_1 &= \frac{1}{2}\left(-a + \sqrt{a^2 - 4b}\right), \\ \lambda_2 &= \frac{1}{2}\left(-a - \sqrt{a^2 + 4b}\right) \end{align*}\label{eqn:lambdas}\tag{4}\]

E a partir disso, as duas funções:

\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x} \tag{5}\]

são soluções da equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$).

Os termos equação característica e equação auxiliar são frequentemente usados de forma intercambiável, e têm exatamente o mesmo significado. Qualquer um dos termos pode ser usado.

Agora, podemos dividir em três casos de acordo com o sinal do discriminante $a^2 - 4b$ da equação característica ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$):

  • $a^2 - 4b > 0$: Duas raízes reais distintas
  • $a^2 - 4b = 0$: Uma raiz real dupla
  • $a^2 - 4b < 0$: Raízes complexas conjugadas

Forma da solução geral de acordo com o sinal do discriminante da equação característica

I. Raízes reais distintas $\lambda_1$ e $\lambda_2$

Neste caso, a base das soluções da equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) em qualquer intervalo é:

\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x}\]

E a solução geral correspondente é:

\[y = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} \label{eqn:general_sol_1}\tag{6}\]

II. Raiz real dupla $\lambda = -\cfrac{a}{2}$

Quando $a^2 - 4b = 0$, a equação quadrática ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) tem apenas uma solução $\lambda = \lambda_1 = \lambda_2 = -\cfrac{a}{2}$, e portanto, a única solução da forma $y = e^{\lambda x}$ que podemos obter é:

\[y_1 = e^{-(a/2)x}\]

Para obter uma base, precisamos encontrar uma segunda solução $y_2$ que seja independente de $y_1$.

Nessa situação, podemos usar o método de redução de ordem que vimos anteriormente. Definindo a segunda solução como $y_2=uy_1$, temos:

\[\begin{align*} y_2 &= uy_1, \\ y_2^{\prime} &= u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}, \\ y_2^{\prime\prime} &= u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime} \end{align*}\]

Substituindo na equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$):

\[(u^{\prime\prime}y_1 + 2u^\prime y_1^\prime + uy_1^{\prime\prime}) + a(u^\prime y_1 + uy_1^\prime) + buy_1 = 0\]

Agrupando os termos com $u^{\prime\prime}$, $u^\prime$ e $u$:

\[y_1u^{\prime\prime} + (2y_1^\prime + ay_1)u^\prime + (y_1^{\prime\prime} + ay_1^\prime + by_1)u = 0\]

Como $y_1$ é uma solução da equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), o último termo entre parênteses é zero, e como:

\[2y_1^\prime = -ae^{-ax/2} = -ay_1\]

o primeiro termo entre parênteses também é zero. Portanto, resta apenas $u^{\prime\prime}y_1 = 0$, o que implica $u^{\prime\prime}=0$. Integrando duas vezes, obtemos $u = c_1x + c_2$, e como as constantes de integração $c_1$ e $c_2$ podem ser quaisquer valores, podemos simplesmente escolher $c_1=1$ e $c_2=0$, resultando em $u=x$. Então, $y_2 = uy_1 = xy_1$, e como $y_1$ e $y_2$ são linearmente independentes, eles formam uma base. Portanto, quando a equação característica ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) tem uma raiz dupla, a base das soluções da equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) em qualquer intervalo é:

\[e^{-ax/2}, \quad xe^{-ax/2}\]

E a solução geral correspondente é:

\[y = (c_1 + c_2x)e^{-ax/2} \label{eqn:general_sol_2}\tag{7}\]

III. Raízes complexas conjugadas $-\cfrac{1}{2}a + i\omega$ e $-\cfrac{1}{2}a - i\omega$

Neste caso, $a^2 - 4b < 0$ e $\sqrt{-1} = i$, então da equação ($\ref{eqn:lambdas}$):

\[\cfrac{1}{2}\sqrt{a^2 - 4b} = \cfrac{1}{2}\sqrt{-(4b - a^2)} = \sqrt{-(b-\frac{1}{4}a^2)} = i\sqrt{b - \frac{1}{4}a^2}\]

Definindo o número real $\sqrt{b-\cfrac{1}{4}a^2} = \omega$.

Com $\omega$ definido dessa forma, as soluções da equação característica ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) são as raízes complexas conjugadas $\lambda = -\cfrac{1}{2}a \pm i\omega$, e as duas soluções complexas correspondentes da equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) são:

\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x}, \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} \end{align*}\]

No entanto, mesmo neste caso, podemos obter uma base de soluções reais da seguinte forma.

Usando a fórmula de Euler:

\[e^{it} = \cos t + i\sin t \label{eqn:euler_formula}\tag{8}\]

E substituindo $t$ por $-t$ na fórmula acima:

\[e^{-it} = \cos t - i\sin t\]

Somando e subtraindo essas duas equações, obtemos:

\[\begin{align*} \cos t &= \frac{1}{2}(e^{it} + e^{-it}), \\ \sin t &= \frac{1}{2i}(e^{it} - e^{-it}). \end{align*} \label{eqn:cos_and_sin}\tag{9}\]

A função exponencial complexa $e^z$ para uma variável complexa $z = r + it$ com parte real $r$ e parte imaginária $it$ pode ser definida usando as funções reais $e^r$, $\cos t$ e $\sin t$ da seguinte forma:

\[e^z = e^{r + it} = e^r e^{it} = e^r(\cos t + i\sin t) \label{eqn:complex_exp}\tag{10}\]

Fazendo $r=-\cfrac{1}{2}ax$ e $t=\omega x$, podemos escrever:

\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} + i\sin{\omega x}) \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} - i\sin{\omega x}) \end{align*}\]

Pelo princípio da superposição, a soma e o produto por constantes dessas soluções complexas também são soluções. Portanto, somando as duas equações e multiplicando ambos os lados por $\cfrac{1}{2}$, obtemos a primeira solução real $y_1$:

\[y_1 = e^{-(a/2)x} \cos{\omega x}. \label{eqn:basis_1}\tag{11}\]

Da mesma forma, subtraindo a segunda equação da primeira e multiplicando ambos os lados por $\cfrac{1}{2i}$, obtemos a segunda solução real $y_2$:

\[y_2 = e^{-(a/2)x} \sin{\omega x}. \label{eqn:basis_2}\tag{12}\]

Como $\cfrac{y_1}{y_2} = \cot{\omega x}$ não é constante, $y_1$ e $y_2$ são linearmente independentes em todos os intervalos e, portanto, formam uma base para as soluções reais da equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$). A partir disso, obtemos a solução geral:

\[y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x}) \quad \text{(onde }A,\, B\text{ são constantes arbitrárias)} \label{eqn:general_sol_3}\tag{13}\]
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