Equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes

TL;DR

• Equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$
• Equação característica: $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$
• A forma da solução geral pode ser dividida em três casos, conforme a tabela, dependendo do sinal do discriminante $a^2 - 4b$ da equação característica

Caso	Raízes da equação característica	Base das soluções da EDO	Solução geral da EDO
I	Raízes reais distintas $\lambda_1$, $\lambda_2$	$e^{\lambda_1 x}$, $e^{\lambda_2 x}$	$y = c_1e^{\lambda_1 x} + c_2e^{\lambda_2 x}$
II	Raiz real dupla $\lambda = -\cfrac{1}{2}a$	$e^{-ax/2}$, $xe^{-ax/2}$	$y = (c_1 + c_2 x)e^{-ax/2}$
III	Raízes complexas conjugadas $\lambda_1 = -\cfrac{1}{2}a + i\omega$, $\lambda_2 = -\cfrac{1}{2}a - i\omega$	$e^{-ax/2}\cos{\omega x}$ $e^{-ax/2}\sin{\omega x}$	$y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x})$

Pré-requisitos

• Equação de Bernoulli
• Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de Segunda Ordem
• Fórmula de Euler

Equação característica

Vamos examinar a equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes $a$ e $b$

\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0 \label{eqn:ode_with_constant_coefficients}\tag{1}\]

Esse tipo de equação tem aplicações importantes em vibrações mecânicas e elétricas.

Anteriormente, na Equação de Bernoulli, encontramos a solução geral para a equação logística, e de acordo com isso, a solução para uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem com coeficiente constante $k$

\[y^\prime + ky = 0\]

é a função exponencial $y = ce^{-kx}$. (No caso onde $A=-k$, $B=0$ na equação (4) daquele post)

Portanto, para uma equação de forma similar ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), podemos tentar primeiro uma solução da forma

\[y=e^{\lambda x}\label{eqn:general_sol}\tag{2}\]

Claro, isso é apenas uma suposição, e não há garantia alguma de que a solução geral realmente terá essa forma. No entanto, se conseguirmos encontrar duas soluções linearmente independentes, seja qual for a forma, poderemos obter a solução geral pelo princípio da superposição, como vimos em Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de Segunda Ordem.
Como veremos em breve, há casos em que precisamos encontrar soluções de outras formas.

Substituindo a equação ($\ref{eqn:general_sol}$) e suas derivadas

\[y^\prime = \lambda e^{\lambda x}, \quad y^{\prime\prime} = \lambda^2 e^{\lambda x}\]

na equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), obtemos

\[(\lambda^2 + a\lambda + b)e^{\lambda x} = 0\]

Portanto, se $\lambda$ for uma solução da equação característica

\[\lambda^2 + a\lambda + b = 0 \label{eqn:characteristic_eqn}\tag{3}\]

então a função exponencial ($\ref{eqn:general_sol}$) é uma solução da equação diferencial ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$). Resolvendo a equação quadrática ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$), obtemos

\[\begin{align*} \lambda_1 &= \frac{1}{2}\left(-a + \sqrt{a^2 - 4b}\right), \\ \lambda_2 &= \frac{1}{2}\left(-a + \sqrt{a^2 + 4b}\right) \end{align*}\label{eqn:lambdas}\tag{4}\]

e a partir disso, as duas funções

\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x} \tag{5}\]

são soluções da equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$).

Agora, podemos dividir em três casos dependendo do sinal do discriminante $a^2 - 4b$ da equação característica ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$):

• $a^2 - 4b > 0$: Duas raízes reais distintas
• $a^2 - 4b = 0$: Uma raiz real dupla
• $a^2 - 4b < 0$: Raízes complexas conjugadas

Forma da solução geral dependendo do sinal do discriminante da equação característica

I. Duas raízes reais distintas $\lambda_1$ e $\lambda_2$

Neste caso, a base das soluções da equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) em qualquer intervalo é

\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x}\]

e a solução geral correspondente é

\[y = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} \label{eqn:general_sol_1}\tag{6}\]

II. Raiz real dupla $\lambda = -\cfrac{a}{2}$

Quando $a^2 - 4b = 0$, a equação quadrática ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) tem apenas uma solução $\lambda = \lambda_1 = \lambda_2 = -\cfrac{a}{2}$, e portanto, a única solução da forma $y = e^{\lambda x}$ que podemos obter é

\[y_1 = e^{-(a/2)x}\]

Para obter uma base, precisamos encontrar uma segunda solução $y_2$ independente de $y_1$ e de forma diferente.

Nessa situação, podemos usar a redução de ordem que vimos anteriormente. Definimos a segunda solução que estamos procurando como $y_2=uy_1$, e

\[\begin{align*} y_2 &= uy_1, \\ y_2^{\prime} &= u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}, \\ y_2^{\prime\prime} &= u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime} \end{align*}\]

Substituindo na equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), obtemos

\[(u^{\prime\prime}y_1 + 2u^\prime y_1^\prime + uy_1^{\prime\prime}) + a(u^\prime y_1 + uy_1^\prime) + buy_1 = 0\]

Agrupando os termos com $u^{\prime\prime}$, $u^\prime$, e $u$, temos

\[y_1u^{\prime\prime} + (2y_1^\prime + ay_1)u^\prime + (y_1^{\prime\prime} + ay_1^\prime + by_1)u = 0\]

Aqui, como $y_1$ é uma solução da equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), a expressão dentro do último parênteses é 0, e

\[2y_1^\prime = -ae^{-ax/2} = -ay_1\]

então a expressão dentro do primeiro parênteses também é 0. Portanto, resta apenas $u^{\prime\prime}y_1 = 0$, do qual obtemos $u^{\prime\prime}=0$. Integrando duas vezes, temos $u = c_1x + c_2$, e como as constantes de integração $c_1$ e $c_2$ podem ser quaisquer valores, podemos simplesmente escolher $c_1=1$ e $c_2=0$, resultando em $u=x$. Então $y_2 = uy_1 = xy_1$, e como $y_1$ e $y_2$ são linearmente independentes, eles formam uma base. Portanto, quando a equação característica ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) tem uma raiz dupla, a base das soluções da equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) em qualquer intervalo é

\[e^{-ax/2}, \quad xe^{-ax/2}\]

e a solução geral correspondente é

\[y = (c_1 + c_2x)e^{-ax/2} \label{eqn:general_sol_2}\tag{7}\]

III. Raízes complexas conjugadas $-\cfrac{1}{2}a + i\omega$ e $-\cfrac{1}{2}a - i\omega$

Neste caso, $a^2 - 4b < 0$ e $\sqrt{-1} = i$, então da equação ($\ref{eqn:lambdas}$) temos

\[\cfrac{1}{2}\sqrt{a^2 - 4b} = \cfrac{1}{2}\sqrt{-(4b - a^2)} = \sqrt{-(b-\frac{1}{4}a^2)} = i\sqrt{b - \frac{1}{4}a^2}\]

onde definimos o número real $\sqrt{b-\cfrac{1}{4}a^2} = \omega$.

Com $\omega$ definido dessa forma, as soluções da equação característica ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) são as raízes complexas conjugadas $\lambda = -\cfrac{1}{2}a \pm i\omega$, e as duas soluções complexas correspondentes da equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) são

\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x}, \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} \end{align*}\]

No entanto, mesmo neste caso, podemos obter uma base de soluções reais da seguinte maneira.

A fórmula de Euler

\[e^{it} = \cos t + i\sin t \label{eqn:euler_formula}\tag{8}\]

e a equação obtida substituindo $t$ por $-t$ na equação acima

\[e^{-it} = \cos t - i\sin t\]

podem ser somadas e subtraídas para obter:

\[\begin{align*} \cos t &= \frac{1}{2}(e^{it} + e^{-it}), \\ \sin t &= \frac{1}{2i}(e^{it} - e^{-it}). \end{align*} \label{eqn:cos_and_sin}\tag{9}\]

A função exponencial complexa $e^z$ de uma variável complexa $z = r + it$ com parte real $r$ e parte imaginária $it$ pode ser definida usando as funções reais $e^r$, $\cos t$ e $\sin t$ da seguinte forma:

\[e^z = e^{r + it} = e^r e^{it} = e^r(\cos t + \sin t) \label{eqn:complex_exp}\tag{10}\]

Se fizermos $r=-\cfrac{1}{2}ax$ e $t=\omega x$, podemos escrever:

\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} + i\sin{\omega x}) \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} - i\sin{\omega x}) \end{align*}\]

Pelo princípio da superposição, a soma e o produto por constante dessas soluções complexas também são soluções. Portanto, somando as duas equações e multiplicando ambos os lados por $\cfrac{1}{2}$, obtemos a primeira solução real $y_1$:

\[y_1 = e^{-(a/2)x} \cos{\omega x}. \label{eqn:basis_1}\tag{11}\]

Da mesma forma, subtraindo a segunda equação da primeira e multiplicando ambos os lados por $\cfrac{1}{2i}$, obtemos a segunda solução real $y_2$:

\[y_2 = e^{-(a/2)x} \sin{\omega x}. \label{eqn:basis_2}\tag{12}\]

Como $\cfrac{y_1}{y_2} = \cot{\omega x}$ não é constante, $y_1$ e $y_2$ são linearmente independentes em todos os intervalos e, portanto, formam uma base para as soluções reais da equação ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$). A partir disso, obtemos a solução geral

\[y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x}) \quad \text{(}A,\, B\text{ são constantes arbitrárias)} \label{eqn:general_sol_3}\tag{13}\]