Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de Segunda Ordem
Entenda a definição e características das equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem, especialmente o princípio da superposição e o conceito de base que se aplicam às equações homogêneas.
TL;DR
- Forma padrão de uma EDO linear de segunda ordem: $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x)$
- Coeficientes: funções $p$, $q$
- Entrada: $r(x)$
- Saída ou resposta: $y(x)$
- Homogênea e não-homogênea
- Homogênea: quando $r(x)\equiv0$ na forma padrão
- Não-homogênea: quando $r(x)\not\equiv 0$ na forma padrão
- Princípio da superposição: Para uma EDO linear homogênea $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0$, qualquer combinação linear de duas soluções em um intervalo aberto $I$ também é uma solução da equação dada. Ou seja, a soma e o produto por constante de quaisquer soluções da EDO linear homogênea dada também são soluções da mesma equação.
- Base ou sistema fundamental: Um par de soluções $(y_1, y_2)$ linearmente independentes da EDO linear homogênea no intervalo $I$
- Redução de ordem: Se uma solução de uma EDO homogênea de segunda ordem é conhecida, uma segunda solução linearmente independente, ou seja, uma base, pode ser encontrada resolvendo uma EDO de primeira ordem; este método é chamado de redução de ordem
- Aplicações da redução de ordem: Uma EDO geral de segunda ordem $F(x, y, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$, seja linear ou não-linear, pode ser reduzida a primeira ordem usando redução de ordem nos seguintes casos:
- Quando $y$ não aparece explicitamente
- Quando $x$ não aparece explicitamente
- Quando é linear homogênea e uma solução já é conhecida
Pré-requisitos
Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda Ordem
Uma equação diferencial de segunda ordem é chamada linear se pode ser escrita na forma
\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:standard_form}\tag{1}\]e não-linear caso contrário.
Quando $p$, $q$, e $r$ são funções de $x$, esta equação é linear em $y$ e suas derivadas.
A forma ($\ref{eqn:standard_form}$) é chamada de forma padrão de uma EDO linear de segunda ordem. Se o primeiro termo de uma EDO linear de segunda ordem dada for $f(x)y^{\prime\prime}$, podemos obter a forma padrão dividindo ambos os lados da equação por $f(x)$.
As funções $p$ e $q$ são chamadas de coeficientes, $r(x)$ é chamada de entrada, e $y(x)$ é chamada de saída ou resposta à entrada e às condições iniciais.
EDO Linear Homogênea de Segunda Ordem
Seja $J$ o intervalo $a<x<b$ onde queremos resolver a equação ($\ref{eqn:standard_form}$). Se $r(x)\equiv 0$ no intervalo $J$ na equação ($\ref{eqn:standard_form}$), temos
\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]e esta é chamada de homogênea.
EDO Linear Não-Homogênea
Se $r(x)\not\equiv 0$ no intervalo $J$, a equação é chamada de não-homogênea.
Princípio da Superposição
Uma função da forma
\[y = c_1y_1 + c_2y_2 \quad \text{(}c_1, c_2\text{ são constantes arbitrárias)}\tag{3}\]é chamada de combinação linear de $y_1$ e $y_2$.
Neste caso, o seguinte princípio se aplica:
Princípio da Superposição Para uma EDO linear homogênea ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$), qualquer combinação linear de duas soluções em um intervalo aberto $I$ também é uma solução da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$). Ou seja, a soma e o produto por constante de quaisquer soluções da EDO linear homogênea dada também são soluções da mesma equação.
Prova
Sejam $y_1$ e $y_2$ soluções da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$. Substituindo $y=c_1y_1+c_2y_2$ na equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$), temos
\[\begin{align*} y^{\prime\prime} + py^{\prime} + qy &= (c_1y_1+c_2y_2)^{\prime\prime} + p(c_1y_1+c_2y_2)^{\prime} + q(c_1y_1+c_2y_2) \\ &= c_1y_1^{\prime\prime} + c_2y_2^{\prime\prime} + p(c_1y_1^{\prime} + c_2y_2^{\prime}) + q(c_1y_1+c_2y_2) \\ &= c_1(y_1^{\prime\prime} + py_1^{\prime} + qy_1) + c_2(y_2^{\prime\prime} + py_2^{\prime} + qy_2) \\ &= 0 \end{align*}\]que é uma identidade. Portanto, $y$ é uma solução da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$. $\blacksquare$
Note que o princípio da superposição se aplica apenas a EDOs lineares homogêneas e não se aplica a EDOs lineares não-homogêneas ou EDOs não-lineares.
Base e Solução Geral
Revisão de Conceitos Principais de EDOs de Primeira Ordem
Como vimos anteriormente em Conceitos Básicos de Modelagem, um problema de valor inicial (PVI) para uma EDO de primeira ordem consiste na EDO e na condição inicial (CI) $y(x_0)=y_0$. A CI é necessária para determinar a constante arbitrária $c$ na solução geral da EDO dada, e a solução assim determinada é chamada de solução particular. Agora, vamos estender esses conceitos para EDOs de segunda ordem.
Problema de Valor Inicial e Condições Iniciais
Um problema de valor inicial para a EDO linear homogênea de segunda ordem ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) consiste na EDO dada ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) e em duas condições iniciais
\[y(x_0) = K_0, \quad y^{\prime}(x_0)=K_1 \label{eqn:init_conditions}\tag{4}\]Estas condições são necessárias para determinar as duas constantes arbitrárias $c_1$ e $c_2$ na solução geral
\[y = c_1y_1 + c_2y_2 \label{eqn:general_sol}\tag{5}\]Independência Linear e Dependência Linear
Vamos revisar brevemente os conceitos de independência linear e dependência linear. Isso é necessário para definir a base mais adiante.
Duas funções $y_1$ e $y_2$ são ditas linearmente independentes em um intervalo $I$ se, para todos os pontos nesse intervalo,
Caso contrário, $y_1$ e $y_2$ são ditas linearmente dependentes.
Se $y_1$ e $y_2$ são linearmente dependentes (ou seja, se a proposição ($\ref{eqn:linearly_independent}$) não é verdadeira), podemos dividir ambos os lados da equação em ($\ref{eqn:linearly_independent}$) por $k_1 \neq 0$ ou $k_2 \neq 0$, obtendo
\[y_1 = - \frac{k_2}{k_1}y_2 \quad \text{ou} \quad y_2 = - \frac{k_1}{k_2}y_2\]o que mostra que $y_1$ e $y_2$ são proporcionais.
Base, Solução Geral e Solução Particular
Voltando ao nosso tema, para que ($\ref{eqn:general_sol}$) seja a solução geral, $y_1$ e $y_2$ devem ser soluções da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) e, ao mesmo tempo, devem ser linearmente independentes (não proporcionais) no intervalo $I$. Um par $(y_1, y_2)$ de soluções da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) que satisfaz essas condições e é linearmente independente no intervalo $I$ é chamado de base ou sistema fundamental de soluções da equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) no intervalo $I$.
Ao usar as condições iniciais para determinar as duas constantes $c_1$ e $c_2$ na solução geral ($\ref{eqn:general_sol}$), obtemos uma única solução que passa pelo ponto $(x_0, K_0)$ e tem inclinação $K_1$ nesse ponto. Esta é chamada de solução particular da EDO ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$).
Se a equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) é contínua em um intervalo aberto $I$, ela sempre tem uma solução geral, e esta solução geral inclui todas as soluções particulares possíveis. Ou seja, neste caso, a equação ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$) não tem soluções singulares que não possam ser obtidas da solução geral.
Redução de Ordem
Se uma solução de uma EDO homogênea de segunda ordem é conhecida, uma segunda solução linearmente independente, ou seja, uma base, pode ser encontrada resolvendo uma EDO de primeira ordem da seguinte maneira. Este método é chamado de redução de ordem.
Considere uma EDO linear homogênea de segunda ordem na forma padrão (ou seja, com $y^{\prime\prime}$ em vez de $f(x)y^{\prime\prime}$):
\[y^{\prime\prime} + p(x)y^\prime + q(x)y = 0\]Suponha que conhecemos uma solução $y_1$ desta equação em um intervalo aberto $I$.
Agora, vamos procurar uma segunda solução na forma $y_2 = uy_1$, e substituir
\[\begin{align*} y &= y_2 = uy_1, \\ y^{\prime} &= y_2^{\prime} = u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}, \\ y^{\prime\prime} &= y_2^{\prime\prime} = u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime} \end{align*}\]na equação, obtendo
\[(u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime}) + p(u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}) + quy_1 = 0 \tag{7}\]Agrupando os termos com $u^{\prime\prime}$, $u^{\prime}$, e $u$, temos
\[y_1u^{\prime\prime} + (py_1+2y_1^{\prime})u^{\prime} + (y_1^{\prime\prime} + py_1^{\prime} + qy_1)u = 0\]Como $y_1$ é uma solução da equação dada, a expressão entre parênteses no último termo é zero, então o termo com $u$ desaparece, deixando uma EDO em $u^{\prime}$ e $u^{\prime\prime}$. Dividindo ambos os lados desta EDO restante por $y_1$ e fazendo $u^{\prime}=U$, $u^{\prime\prime}=U^{\prime}$, obtemos a seguinte EDO de primeira ordem:
\[U^{\prime} + \left(\frac{2y_1^{\prime}}{y_1} + p \right) U = 0.\]Separando as variáveis e integrando, temos
\[\begin{align*} \frac{dU}{U} &= - \left(\frac{2y_1^{\prime}}{y_1} + p \right) dx \\ \ln|U| &= -2\ln|y_1| - \int p dx \end{align*}\]e aplicando a função exponencial em ambos os lados, obtemos finalmente
\[U = \frac{1}{y_1^2}e^{-\int p dx} \tag{8}\]Como definimos $U=u^{\prime}$, temos $u=\int U dx$, então a segunda solução $y_2$ que estamos procurando é
\[y_2 = uy_1 = y_1 \int U dx\]Como $\cfrac{y_2}{y_1} = u = \int U dx$ não pode ser constante desde que $U>0$, $y_1$ e $y_2$ formam uma base de soluções.
Aplicações da Redução de Ordem
Uma EDO geral de segunda ordem $F(x, y, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$, seja linear ou não-linear, pode ser reduzida a primeira ordem usando redução de ordem quando $y$ não aparece explicitamente, quando $x$ não aparece explicitamente, ou quando é linear homogênea e uma solução já é conhecida, como vimos anteriormente.
Quando $y$ não aparece explicitamente
Em $F(x, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$, fazendo $z=y^{\prime}$, podemos reduzir a uma EDO de primeira ordem em $z$: $F(x, z, z^{\prime})$.
Quando $x$ não aparece explicitamente
Em $F(y, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$, fazendo $z=y^{\prime}$, temos $y^{\prime\prime} = \cfrac{d y^{\prime}}{dx} = \cfrac{d y^{\prime}}{dy}\cfrac{dy}{dx} = \cfrac{dz}{dy}z$, então podemos reduzir a uma EDO de primeira ordem em $z$ com $y$ desempenhando o papel de variável independente no lugar de $x$: $F(y,z,z^\prime)$.