Equação de Euler-Cauchy
Examinamos como a solução geral da equação de Euler-Cauchy assume diferentes formas dependendo do sinal do discriminante da equação auxiliar.
TL;DR
- Equação de Euler-Cauchy: $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$
- Equação auxiliar: $m^2 + (a-1)m + b = 0$
- A forma da solução geral pode ser dividida em três casos conforme o sinal do discriminante da equação auxiliar $(1-a)^2 - 4b$, como mostrado na tabela
Caso Raízes da equação auxiliar Base das soluções da equação de Euler-Cauchy Solução geral da equação de Euler-Cauchy I Raízes reais distintas
$m_1$, $m_2$$x^{m_1}$, $x^{m_2}$ $y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}$ II Raiz real dupla
$m = \cfrac{1-a}{2}$$x^{(1-a)/2}$, $x^{(1-a)/2}\ln{x}$ $y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m$ III Raízes complexas conjugadas
$m_1 = \cfrac{1}{2}(1-a) + i\omega$,
$m_2 = \cfrac{1}{2}(1-a) - i\omega$$x^{(1-a)/2}\cos{(\omega \ln{x})}$,
$x^{(1-a)/2}\sin{(\omega \ln{x})}$$y = x^{(1-a)/2}[A\cos{(\omega \ln{x})} + B\sin{(\omega \ln{x})}]$
Pré-requisitos
- Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de Segunda Ordem
- Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes
- Fórmula de Euler
Equação auxiliar
A equação de Euler-Cauchy é uma equação diferencial da forma
\[x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0 \label{eqn:euler_cauchy_eqn}\tag{1}\]onde $a$ e $b$ são constantes e $y(x)$ é a função desconhecida. Substituindo
\[y=x^m, \qquad y^{\prime}=mx^{m-1}, \qquad y^{\prime\prime}=m(m-1)x^{m-2}\]na equação ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$), obtemos
\[x^2m(m-1)x^{m-2} + axmx^{m-1} + bx^m = 0,\]ou seja,
\[[m(m-1) + am + b]x^m = 0\]Isso nos leva à equação auxiliar
\[m^2 + (a-1)m + b = 0 \label{eqn:auxiliary_eqn}\tag{2}\]A condição necessária e suficiente para que $y=x^m$ seja uma solução da equação de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) é que $m$ seja uma solução da equação auxiliar ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$).
Resolvendo a equação quadrática ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$), obtemos
\[\begin{align*} m_1 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) + \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right], \\ m_2 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) - \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right] \end{align*}\label{eqn:m1_and_m2}\tag{3}\]e, portanto, as duas funções
\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]são soluções da equação ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$).
Assim como nas Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes, podemos dividir em três casos dependendo do sinal do discriminante $(1-a)^2 - 4b$ da equação auxiliar ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$):
- $(1-a)^2 - 4b > 0$: duas raízes reais distintas
- $(1-a)^2 - 4b = 0$: uma raiz real dupla
- $(1-a)^2 - 4b < 0$: raízes complexas conjugadas
Forma da solução geral dependendo do sinal do discriminante da equação auxiliar
I. Duas raízes reais distintas $m_1$ e $m_2$
Neste caso, a base de soluções da equação ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) em qualquer intervalo é
\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]e a solução geral correspondente é
\[y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2} \label{eqn:general_sol_1}\tag{4}\]II. Raiz real dupla $m = \cfrac{1-a}{2}$
Quando $(1-a)^2 - 4b = 0$, ou seja, $b=\cfrac{(1-a)^2}{4}$, a equação quadrática ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) tem apenas uma solução $m = m_1 = m_2 = \cfrac{1-a}{2}$, e portanto obtemos uma solução da forma $y = x^m$:
\[y_1 = x^{(1-a)/2}\]e a equação de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) toma a forma
\[y^{\prime\prime} + \frac{a}{x}y^{\prime} + \frac{(1-a)^2}{4x^2}y = 0 \label{eqn:standard_form}\tag{5}\]Agora, vamos encontrar uma segunda solução linearmente independente $y_2$ usando o método de redução de ordem.
Definindo a segunda solução como $y_2=uy_1$, obtemos
\[u = \int U, \qquad U = \frac{1}{y_1^2}\exp\left(-\int \frac{a}{x}\ dx \right)\]Como $\exp \left(-\int \cfrac{a}{x}\ dx \right) = \exp (-a\ln x) = \exp(\ln{x^{-a}}) = x^{-a}$, temos
\[U = \frac{x^{-a}}{y_1^2} = \frac{x^{-a}}{x^{(1-a)}} = \frac{1}{x}\]Integrando, obtemos $u = \ln x$.
Portanto, $y_2 = uy_1 = y_1 \ln x$, e $y_1$ e $y_2$ são linearmente independentes, pois sua razão não é constante. A solução geral correspondente às bases $y_1$ e $y_2$ é
\[y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m \label{eqn:general_sol_2}\tag{6}\]III. Raízes complexas conjugadas
Neste caso, as soluções da equação auxiliar ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) são $m = \cfrac{1}{2}(1-a) \pm i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}$, e as duas soluções complexas correspondentes da equação ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) podem ser escritas usando $x=e^{\ln x}$ como:
\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2 + i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}, \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2 - i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{-i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(-\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}. \end{align*} \tag{7}\]Definindo $t=\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x$ e usando a fórmula de Euler $e^{it} = \cos{t} + i\sin{t}$, temos
\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right], \\ x^{m_1} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) - i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right] \end{align*} \tag{8}\]A partir disso, obtemos duas soluções reais:
\[\begin{align*} \frac{x^{m_1} + x^{m_2}}{2} &= x^{(1-a)/2}\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right), \\ \frac{x^{m_1} - x^{m_2}}{2i} &= x^{(1-a)/2}\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \end{align*} \tag{9}\]Como a razão $\cos\left(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right)$ não é constante, essas duas soluções são linearmente independentes e, portanto, pelo princípio da superposição, formam uma base para a equação de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$). Isso nos dá a seguinte solução geral real:
\[y = x^{(1-a)/2} \left[ A\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + B\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right]. \label{eqn:general_sol_3}\tag{10}\]No entanto, o caso em que a equação auxiliar da equação de Euler-Cauchy tem raízes complexas conjugadas não tem grande importância prática.