Equação de Euler-Cauchy

TL;DR

• Equação de Euler-Cauchy: $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$
• Equação auxiliar: $m^2 + (a-1)m + b = 0$
• A forma da solução geral pode ser dividida em três casos de acordo com o sinal do discriminante $(1-a)^2 - 4b$ da equação auxiliar, como mostrado na tabela

Caso	Raízes da equação auxiliar	Base de soluções da equação de Euler-Cauchy	Solução geral da equação de Euler-Cauchy
I	Raízes reais distintas $m_1$, $m_2$	$x^{m_1}$, $x^{m_2}$	$y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}$
II	Raiz real dupla $m = \cfrac{1-a}{2}$	$x^{(1-a)/2}$, $x^{(1-a)/2}\ln{x}$	$y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m$
III	Raízes complexas conjugadas $m_1 = \cfrac{1}{2}(1-a) + i\omega$, $m_2 = \cfrac{1}{2}(1-a) - i\omega$	$x^{(1-a)/2}\cos{(\omega \ln{x})}$, $x^{(1-a)/2}\sin{(\omega \ln{x})}$	$y = x^{(1-a)/2}[A\cos{(\omega \ln{x})} + B\sin{(\omega \ln{x})}]$

Pré-requisitos

• Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de Segunda Ordem
• Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes
• Fórmula de Euler

Equação auxiliar

A equação de Euler-Cauchy é uma equação diferencial ordinária da forma

\[x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0 \label{eqn:euler_cauchy_eqn}\tag{1}\]

onde $a$ e $b$ são constantes e $y(x)$ é a função desconhecida. Substituindo na equação ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$)

\[y=x^m, \qquad y^{\prime}=mx^{m-1}, \qquad y^{\prime\prime}=m(m-1)x^{m-2}\]

obtemos

\[x^2m(m-1)x^{m-2} + axmx^{m-1} + bx^m = 0,\]

ou seja

\[[m(m-1) + am + b]x^m = 0\]

Isso nos leva à equação auxiliar

\[m^2 + (a-1)m + b = 0 \label{eqn:auxiliary_eqn}\tag{2}\]

e a condição necessária e suficiente para que $y=x^m$ seja uma solução da equação de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) é que $m$ seja uma raiz da equação auxiliar ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$).

Resolvendo a equação quadrática ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$), obtemos

\[\begin{align*} m_1 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) + \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right], \\ m_2 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) - \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right] \end{align*}\label{eqn:m1_and_m2}\tag{3}\]

e, portanto, as duas funções

\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]

são soluções da equação ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$).

Assim como nas Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes, podemos dividir os casos de acordo com o sinal do discriminante $(1-a)^2 - 4b$ da equação auxiliar ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$):

• $(1-a)^2 - 4b > 0$: duas raízes reais distintas
• $(1-a)^2 - 4b = 0$: uma raiz real dupla
• $(1-a)^2 - 4b < 0$: raízes complexas conjugadas

Forma da solução geral de acordo com o sinal do discriminante da equação auxiliar

I. Duas raízes reais distintas $m_1$ e $m_2$

Neste caso, a base de soluções da equação ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) em qualquer intervalo é

\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]

e a solução geral correspondente é

\[y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2} \label{eqn:general_sol_1}\tag{4}\]

II. Raiz real dupla $m = \cfrac{1-a}{2}$

Quando $(1-a)^2 - 4b = 0$, ou seja, $b=\cfrac{(1-a)^2}{4}$, a equação quadrática ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) tem apenas uma raiz $m = m_1 = m_2 = \cfrac{1-a}{2}$, e portanto obtemos apenas uma solução da forma $y = x^m$:

\[y_1 = x^{(1-a)/2}\]

e a equação de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) torna-se

\[y^{\prime\prime} + \frac{a}{x}y^{\prime} + \frac{(1-a)^2}{4x^2}y = 0 \label{eqn:standard_form}\tag{5}\]

Agora, vamos encontrar uma segunda solução linearmente independente $y_2$ usando o método de redução de ordem.

Fazendo $y_2=uy_1$, obtemos

\[u = \int U, \qquad U = \frac{1}{y_1^2}\exp\left(-\int \frac{a}{x}\ dx \right)\]

Como $\exp \left(-\int \cfrac{a}{x}\ dx \right) = \exp (-a\ln x) = \exp(\ln{x^{-a}}) = x^{-a}$, temos

\[U = \frac{x^{-a}}{y_1^2} = \frac{x^{-a}}{x^{(1-a)}} = \frac{1}{x}\]

e integrando, obtemos $u = \ln x$.

Portanto, $y_2 = uy_1 = y_1 \ln x$, e $y_1$ e $y_2$ são linearmente independentes, pois sua razão não é constante. A solução geral correspondente à base $y_1$ e $y_2$ é

\[y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m \label{eqn:general_sol_2}\tag{6}\]

III. Raízes complexas conjugadas

Neste caso, as raízes da equação auxiliar ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) são $m = \cfrac{1}{2}(1-a) \pm i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}$, e as duas soluções complexas correspondentes da equação ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) podem ser escritas, usando $x=e^{\ln x}$, como:

\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2 + i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}, \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2 - i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{-i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(-\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}. \end{align*} \tag{7}\]

Fazendo $t=\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x$ e usando a fórmula de Euler $e^{it} = \cos{t} + i\sin{t}$, obtemos

\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right], \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) - i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right] \end{align*} \tag{8}\]

e a partir disso, obtemos as duas soluções reais

\[\begin{align*} \frac{x^{m_1} + x^{m_2}}{2} &= x^{(1-a)/2}\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right), \\ \frac{x^{m_1} - x^{m_2}}{2i} &= x^{(1-a)/2}\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \end{align*} \tag{9}\]

Como a razão $\cos\left(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right)$ não é constante, essas duas soluções são linearmente independentes e, portanto, pelo princípio da superposição, formam uma base de soluções da equação de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$). Isso nos dá a seguinte solução geral real:

\[y = x^{(1-a)/2} \left[ A\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + B\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right]. \label{eqn:general_sol_3}\tag{10}\]

No entanto, o caso em que a equação auxiliar da equação de Euler-Cauchy tem raízes complexas conjugadas não tem grande importância prática.

Transformação para uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes

A equação de Euler-Cauchy pode ser transformada em uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes através de uma substituição de variável.

Fazendo $x = e^t$, temos

\[\frac{d}{dx} = \frac{1}{x}\frac{d}{dt}, \quad \frac{d^2}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2}{dt^2} - \frac{d}{dt} \right)\]

e a equação de Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) se transforma na seguinte equação diferencial ordinária linear homogênea com coeficientes constantes em termos de $t$:

\[y^{\prime\prime}(t) + (a-1)y^{\prime}(t) + by(t) = 0. \label{eqn:substituted}\tag{11}\]

Resolvendo a equação ($\ref{eqn:substituted}$) em termos de $t$ usando o método para equações diferenciais ordinárias lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes e depois substituindo $t = \ln{x}$, obtemos os mesmos resultados que vimos anteriormente.