Método de Separação de Variáveis

Método de Separação de Variáveis

Equação separável: Uma equação que pode ser expressa na forma $g(y)y’=f(x)$ através de manipulação algébrica.

Integrando ambos os lados de uma equação separável $g(y)y’=f(x)$ em relação a $x$, obtemos:

\[\int g(y)y'dx = \int f(x)dx + c\]

Como $y’dx=dy$, temos:

\[\int g(y)dy = \int f(x)dx + c\]

Assim, podemos separar a expressão em termos de $x$ e a expressão em termos de $y$ nos lados direito e esquerdo, respectivamente. Se $f$ e $g$ forem funções contínuas, podemos calcular essas integrais para obter a solução geral da equação diferencial dada. Este método de resolução é chamado de método de separação de variáveis.

Exemplo de Modelagem: Datação por Radiocarbono

Oetzi é uma múmia do Neolítico descoberta nos Alpes de Oetztal em 1991. Se a proporção de carbono-14 em relação ao carbono-12 nesta múmia é 52,5% da de um organismo vivo, aproximadamente quando Oetzi viveu e morreu?

A proporção de carbono-14 radioativo em relação ao carbono-12 é constante na atmosfera e nos organismos vivos. Quando um organismo morre, a absorção de carbono-14 pela respiração e alimentação cessa, mas o decaimento do carbono-14 continua, reduzindo assim a proporção de carbono radioativo. Portanto, a idade de um fóssil pode ser estimada comparando a proporção de carbono radioativo no fóssil com a proporção na atmosfera. A meia-vida do carbono-14 é de 5715 anos.

Solução

Separando as variáveis e integrando a equação diferencial ordinária $y’=ky$, obtemos:

\[\frac {dy}{y}=k dt\] \[\log |y|=kt+c\] \[y=y_{0}e^{kt}\ (y_0=e^c)\]

Para determinar a constante $k$, usamos a meia-vida $H=5715$:

\[y_{0}e^{kH}=0.5y_0\] \[e^{kH}=0.5\] \[k=\frac {\log 0.5}{H}=-\frac {0.693}{5715}=-0.0001213.\]

Finalmente, para encontrar o tempo $t$ em que Oetzi morreu, substituímos a proporção de 52,5%:

\[e^{kt}=e^{-.0.0001213t}=0.525\] \[t=\frac {\log 0.525}{-0.0001213}=5312.\] \[\therefore \text{Aproximadamente 5300 anos atrás}.\]

Exemplo de Modelagem: Problema de Mistura

Inicialmente, um tanque contém 1000L de água com 10kg de sal dissolvido. Uma solução salina flui para o tanque a uma taxa de 10L por minuto, contendo 0,2kg de sal por litro. A solução no tanque é bem misturada e mantida uniforme, e esta solução salina flui para fora do tanque a uma taxa de 10L por minuto. Encontre a quantidade de sal $y(t)$ no tanque no tempo $t$.

1. Configuração do Modelo

\[y'=\text{taxa de entrada} - \text{taxa de saída}.\]

A taxa de entrada de sal é 2kg por minuto. A taxa de saída de solução salina por minuto é 0,01 do volume total da solução salina, então a taxa de saída de sal por minuto é $0.01 y(t)$. Portanto, o modelo é a equação diferencial ordinária:

\[y'=2-0.01y=-0.01(y-200)\]

2. Resolução do Modelo

A equação diferencial ordinária estabelecida anteriormente é separável. Vamos separar as variáveis, integrar e então aplicar a função exponencial em ambos os lados:

\[\frac {dy}{y-200}=-0.01 dt\] \[\log |y-200| = -0.01t+c^*\] \[y-200=ce^{-0.01t}.\]

Inicialmente, a quantidade de sal no tanque é 10kg, então a condição inicial é $y(0)=10$. Substituindo $y=10,\ t=0$ na equação acima, temos $10-200=ce^0=c$, portanto $c=-190$.

\[\therefore y(t)=200-190e^{-0.01t}\]

Isso significa que, na situação dada, a quantidade de sal no tanque se aproxima e converge exponencialmente para 200kg.

Exemplo de Modelagem: Lei de Resfriamento de Newton

Durante o inverno, a temperatura diurna de um edifício de escritórios é mantida a 20°C. O aquecimento é desligado às 22h e ligado novamente às 6h. Em uma determinada madrugada, às 2h, a temperatura interna do edifício era de 17,4°C. A temperatura externa era de 10°C às 22h e caiu para 4°C às 6h. Qual era a temperatura interna do edifício quando o aquecimento foi ligado às 6h?

Lei de Resfriamento de Newton
A taxa de variação da temperatura T de um objeto em relação ao tempo é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente ao seu redor.

1. Configuração do Modelo

Seja $T(t)$ a temperatura interna do edifício e $T_A$ a temperatura externa. Então, pela Lei de Resfriamento de Newton:

\[\frac {dT}{dt}=k(T-T_A)\]

2. Solução Geral

Como sabemos apenas que $T_A$ varia entre 10°C e 4°C, mas não sabemos exatamente que valores assume, não podemos resolver a equação estabelecida anteriormente. Nestes casos, pode ser útil tentar resolver simplificando a situação para um problema mais fácil. A média dos dois valores conhecidos é 7°C, então vamos assumir que a função desconhecida $T_A$ é uma função constante $T_A=7$. Mesmo que não seja exato, podemos esperar obter um valor aproximado da temperatura interna do edifício $T$ às 6h, que é o que queremos determinar.

Para a constante $T_A=7$, a equação diferencial ordinária estabelecida anteriormente é separável. Separando as variáveis, integrando e aplicando a função exponencial, podemos obter a solução geral:

\[\frac {dT}{T-7}=k dt\] \[\log |T-7|=kt+c^*\] \[T(t)=7+ce^{kt} \quad(c=e^{c^*}).\]

3. Solução Particular

Escolhendo 22h como $t=0$, a condição inicial dada é $T(0)=20$. Vamos chamar a solução particular obtida neste caso de $T_p$. Substituindo:

\[T(0)=7+ce^0=20\] \[c=20-7=13\] \[T_p(t)=7+13e^{kt}.\]

4. Determinação de $k$

Como a temperatura interna do edifício era 17,4°C às 2h, temos $T(4)=17.4$. Determinando algebricamente o valor de $k$ e inserindo-o em $T_p(t)$:

\[T_p(4)=7+13e^{4k}=17.4\] \[e^{4k}=0.8\] \[k=\frac {1}{4} \log 0.8=-0.056\] \[T_p(t)=7+13e^{-0.056t}.\]

5. Resposta e Interpretação

6h corresponde a $t=8$, então:

\[T_p(8)=7+13e^{-0.056\cdot8}=15.3\text{[°C]}.\]

Exemplo de Modelagem: Teorema de Torricelli

Um tanque tem um diâmetro de 2m e um orifício com diâmetro de 1cm. A altura inicial da água quando o orifício é aberto é de 2,25m. Determine a altura da água no tanque em qualquer momento e o tempo necessário para o tanque esvaziar completamente.

Teorema de Torricelli
A velocidade da água que escoa sob a influência da gravidade é:

\[v(t)=0.600\sqrt{2gh(t)}.\]

$h(t)$: altura da água acima do orifício no tempo $t$ $g=980\text{cm/s²}$: aceleração da gravidade na superfície terrestre

1. Configuração do Modelo

O volume $\Delta V$ que escoa durante um curto intervalo de tempo $\Delta t$ é:

\[\Delta V = Av\Delta t \qquad (A: \text{área do orifício})\]

$\Delta V$ deve ser igual à mudança de volume $\Delta V^*$ dentro do tanque. Além disso:

\[\Delta V^* = -B\Delta h \qquad (B: \text{área da seção transversal do tanque})\]

onde $\Delta h(>0)$ é a diminuição na altura da água $h(t)$. Igualando $\Delta V$ e $\Delta V^*$:

\[-B\Delta h = Av\Delta t\]

Agora, expressando $v$ de acordo com o Teorema de Torricelli e fazendo $\Delta t$ se aproximar de 0, obtemos o seguinte modelo expresso como uma equação diferencial ordinária de primeira ordem:

\[\frac {\Delta h}{\Delta t} = -\frac {A}{B}v = -\frac{A}{B}0.600\sqrt{2gh(t)}\] \[\frac {dh}{dt} = \lim_{t\to0}\frac {\Delta h}{\Delta t} = -26.56\frac {A}{B}\sqrt{h}.\]

2. Solução Geral

Esta equação diferencial ordinária é separável. Separando as variáveis e integrando:

\[\frac {dh}{\sqrt{h}} = -26.56\frac{A}{B}dt\] \[2\sqrt{h} = c^* - 26.56\frac{A}{B}t\]

Dividindo ambos os lados por 2 e elevando ao quadrado, obtemos $h=(c-13.28At/B)^2$. Substituindo $13.28A/B=13.28 \cdot 0.5^2 \pi /100^2 \pi = 0.000332$, obtemos a solução geral:

\[h(t)=(c-0.000332t)^2\]

3. Solução Particular

A condição inicial é $h(0)=225\text{cm}$. Substituindo $t=0$ e $h=225$ na solução geral, obtemos $c^2=225, c=15.00$, e portanto a solução particular:

\[h_p(t)=(15.00-0.000332t)^2\]

4. Tempo necessário para o tanque esvaziar

\[t = 15.00/0.000332 = 45181 \text{[s]} = 12.6 \text{[h]}.\]

Transformação para a Forma Separável

Em alguns casos, é possível transformar uma equação diferencial ordinária não separável em uma forma separável introduzindo uma nova função desconhecida de $y$.

\[y'=f\left(\frac {y}{x}\right).\]

Para resolver uma equação diferencial ordinária deste tipo, fazemos $y/x=u$, então:

\[y=ux,\quad y'=u'x+u\]

Substituindo em $y’=f(y/x)$, obtemos $u’x=f(u)-u$. Se $f(u)-u\neq0$, então:

\[\frac {du}{f(u)-u}=\frac {dx}{x}\]

que está na forma separada.