Equação Diferencial Exata e Fator Integrante

TL;DR

flowchart TD
	ODE[Dada uma equação diferencial ordinária que pode ser exata]
	IsExact{Verificar se é exata}

	ODE --> IsExact

	Solve[Aplicar o método de resolução para equações diferenciais exatas]
	CheckR{Verificar R e R*}

	IsExact -->|Se for exata| Solve
	IsExact -->|Se não for exata| CheckR

	DetermineFactor[Determinar o fator integrante]
	fail[Tentar outro método de resolução]

	CheckR -->|"Se existir uma função de uma variável R(x) ou R*(y)"| DetermineFactor
	CheckR --->|Se não for possível encontrar um fator integrante de uma variável| fail
	DetermineFactor --> Solve

Equação Diferencial Exata

Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem $M(x,y)+N(x,y)y’=0$ pode ser escrita como:

\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \tag{1}\]

Se existir

\[\exists u(x,y): \frac{\partial u}{\partial x}=M(x,y) \land \frac{\partial u}{\partial y}=N(x,y) \tag{2}\]

então

\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy=du \tag{3}\]

e neste caso, a equação diferencial ordinária $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ é chamada de equação diferencial exata. Então, esta equação diferencial pode ser escrita como:

\[du=0\]

e, integrando, obtemos a solução geral na forma:

\[u(x,y)=c \tag{4}\]

Verificação de uma Equação Diferencial Exata

Considerando uma região fechada no plano $xy$ com uma curva fechada que não se cruza como fronteira, onde $M$ e $N$ e suas derivadas parciais de primeira ordem são contínuas. Revisitando a condição (2), temos:

\[\begin{align*} \frac {\partial u}{\partial x}&=M(x,y) \tag{2a} \\ \frac {\partial u}{\partial y}&=N(x,y) \tag{2b} \end{align*}\]

Derivando parcialmente estas equações, obtemos:

\[\begin{align*} \frac {\partial M}{\partial y} &= \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} \\ \frac {\partial N}{\partial x} &= \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \end{align*}\]

Assumindo a continuidade, as duas derivadas parciais de segunda ordem são iguais.

\[\therefore \frac {\partial M}{\partial y}=\frac {\partial N}{\partial x} \tag{5}\]

Portanto, a condição (5) é uma condição necessária para que a equação diferencial (1) seja exata, e de fato, embora não provado aqui, é também uma condição suficiente. Ou seja, podemos verificar se uma equação diferencial é exata verificando se esta condição é satisfeita.

Resolução de Equações Diferenciais Exatas

Integrando a equação (2a) em relação a $x$, considerando $y$ como constante, temos:

\[u = \int M(x,y) dx + k(y) \tag{6}\]

Aqui, $k(y)$ atua como uma constante de integração. Agora, derivamos a equação (6) em relação a $y$, considerando $x$ como constante, para obter $\partial u/\partial y$:

\[\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y) dx + \frac{dk}{dy}\]

Comparando esta equação com (2b), podemos determinar $dk/dy$:

\[\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y) dx + \frac{dk}{dy} = N(x,y)\] \[\frac{dk}{dy} = N(x,y) - \frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y) dx\]

Finalmente, integrando esta equação para determinar $k(y)$ e substituindo em (6), obtemos a solução implícita $u(x,y)=c$:

\[k(y) = \int N(x,y)dy - \int \left(\frac{\partial}{\partial y}\int Mdx\right)dy + c^*\] \[\int M(x,y)dx + \int N(x,y)dy - \int \left(\frac{\partial}{\partial y}\int Mdx\right)dy = c\]

É mais importante entender o processo de resolução do que memorizar esta forma geral da solução como uma fórmula.

Fator Integrante

Considere uma equação diferencial inexata:

\[P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0 \quad \left( \frac {\partial P}{\partial y} \neq \frac {\partial Q}{\partial x} \right) \tag{7}\]

Se existir

\[\exists F(x,y): \frac {\partial}{\partial y}(FP) = \frac {\partial}{\partial x}(FQ) \tag{8}\]

então, multiplicando a equação diferencial (7) pela função $F$, obtemos a seguinte equação diferencial exata:

\[FP\ dx+FQ\ dy = 0 \tag{9}\]

Neste caso, a função $F(x,y)$ é chamada de fator integrante da equação (7).

Método para Encontrar o Fator Integrante

Aplicando a regra do produto à equação (8) e usando a notação de subíndice para derivadas parciais, temos:

\[F_y P + FP_y = F_x Q + FQ_x\]

Em muitos casos práticos, existe um fator integrante que depende de apenas uma variável. Se $F=F(x)$, então $F_y=0$ e $F_x=F’=dF/dx$, resultando em:

\[FP_y = F'Q + FQ_x\]

Dividindo ambos os lados por $FQ$ e reorganizando os termos, obtemos:

\[\begin{align*} \frac{1}{F} \frac{dF}{dx} &= \frac{P_y}{Q} - \frac{Q_x}{Q} \\ &= \frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x} \right) \end{align*} \tag{10}\]

Portanto, temos o seguinte:

Para a equação diferencial (7), se o lado direito da equação (10), $R$, for uma função apenas de $x$, então (7) tem um fator integrante $F=F(x)$.

\[F(x)=e^{\int R(x)dx}, \quad \text{onde }R=\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x} \right) \tag{11}\]

Da mesma forma, se $F^*=F^*(y)$, obtemos em vez da equação (10):

\[\frac{1}{F^*} \frac{dF^*}{dy} = \frac{1}{P}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \tag{12}\]

Portanto, temos:

Para a equação diferencial (7), se o lado direito da equação (12), $R^*$, for uma função apenas de $y$, então (7) tem um fator integrante $F^*=F^*(y)$.

\[F^*(y)=e^{\int R^*(y)dy}, \quad \text{onde }R^*=\frac{1}{P}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \tag{13}\]