Cálculo do Equilíbrio Radioativo

TL;DR

Atividade em um tempo t arbitrário

\[\begin{align*} \alpha (t) &= \lambda n(t) \\ &= \alpha_0 e^{-\lambda t} \\ &= \alpha_0 e^{-0,693t/T_{1/2}} \end{align*}\]

Relação entre constante de decaimento, meia-vida e vida média

\[\begin{align*} T_{1/2}&=\frac {\ln 2}{\lambda} = \frac {0,693}{\lambda} \\ \\ \overline{t}&=\frac {1}{\lambda} \\ &=\frac {T_{1/2}}{0,693}=1,44T_{1/2} \end{align*}\]

Constante de Decaimento (Decay Constant)

• Probabilidade de um núcleo decair por unidade de tempo
• Constante independente do tempo, determinada apenas pelo tipo de núcleo
• Representada pelo símbolo $\lambda$

Radioatividade (Radioactivity)

Se o número de núcleos que ainda não decaíram no tempo $t$ for n(t), então, em média, $\lambda n(t)$ núcleos decairão durante o intervalo $dt$ entre os tempos $t$ e $t+dt$. Esta taxa de decaimento é chamada de radioatividade da amostra e é representada pelo símbolo $\alpha$. Portanto, a radioatividade em um tempo $t$ é:

\[\alpha (t)=\lambda n(t) \tag{1}\]

Unidades de Radioatividade

Curie (Ci)

• Unidade tradicionalmente usada antes da adoção do becquerel
• Radioatividade de 1g de rádio-226
• $3,7\times 10^{10}$ decaimentos nucleares por segundo ($3,7\times 10^{10}\text{Bq}$)

Becquerel (Bq)

• Unidade padrão internacional (SI)
• Um decaimento nuclear por segundo
• $1 \text{Bq} = 2,703\times 10^{-11}\text{Ci} = 27\text{pCi}$

Cálculo da Variação da Radioatividade com o Tempo

Como $\lambda n(t)$ núcleos decaem durante o tempo $dt$, a diminuição no número de núcleos que permanecem sem decair na amostra durante $dt$ pode ser expressa como:

\[-dn(t)=\lambda n(t)dt\]

Integrando, obtemos:

\[n(t)=n_0e^{-\lambda t} \tag{2}\]

Multiplicando ambos os lados por $\lambda$, a radioatividade é:

\[\alpha (t)=\alpha_0e^{-\lambda t} \tag{3}\]

Como a radioatividade é reduzida pela metade durante a meia-vida (half-life):

\[\alpha (T_{1/2})=\alpha_0/2\]

Substituindo na equação (3):

\[\alpha_0/2=\alpha_0e^{-\lambda T_{1/2}}\]

Tomando o logaritmo de ambos os lados e resolvendo para a meia-vida $T_{1/2}$:

\[T_{1/2}=\frac {\ln 2}{\lambda}=\frac {0,693}{\lambda} \tag{4}\]

Resolvendo esta equação para $\lambda$ e substituindo na equação (3):

\[\alpha (t)=\alpha_0e^{-0,693t/T_{1/2}} \tag{5}\]

A equação (5) é frequentemente mais útil para cálculos de decaimento radioativo do que a equação (3), pois os valores de meia-vida são mais comumente fornecidos do que as constantes de decaimento.

A vida média (mean-life) $\overline{t}$ de um núcleo radioativo é o inverso da constante de decaimento:

\[\overline{t}=1/\lambda\]

Da equação (3), podemos ver que durante uma vida média, a radioatividade cai para $1/e$ do seu valor inicial. Da equação (4), podemos estabelecer a seguinte relação entre a vida média e a meia-vida:

\[\overline{t}=\frac {T_{1/2}}{0,693}=1,44T_{1/2} \tag{6}\]

※ Derivação da vida média $\overline{t}$

\[\begin{align*} \overline{t}&=\frac {\int_0^\infty t\alpha(t)}{\int_0^\infty t} = \frac {\int_0^\infty t\alpha(t)}{n_0} \\ &= \frac {\int_0^\infty n_0 \lambda te^{-\lambda t}}{n_0} \\ &= \int_0^\infty \lambda te^{-\lambda t} \\ &= \left[-te^{-\lambda t}\right]_0^\infty +\int_0^\infty e^{-\lambda t} \\ &=\left[-\frac {1}{\lambda} e^{-\lambda t}\right]_0^\infty \\ &=\frac {1}{\lambda} \end{align*}\]

Exemplo: Cadeia de Decaimento Radioativo 1

Suponha que um radionuclídeo seja produzido a uma taxa de $R$ átomos/s. Esses núcleos começam a decair radioativamente assim que são formados. Calcule a radioatividade deste nuclídeo em um tempo t arbitrário.

flowchart LR
	Start[?] -- R --> A[Modelo Matemático]
	A -- α --> End[?]

1. Configuração do Modelo

\[\text{Taxa de variação do nuclídeo} = \text{Taxa de produção} - \text{Taxa de perda}\]

Em notação matemática:

\[dn/dt = -\lambda n + R\]

2. Solução Geral

Movendo todos os termos em n para o lado esquerdo e multiplicando ambos os lados por $e^{\lambda t}$:

\[\frac {dn}{dt} + \lambda n = R\] \[e^{\lambda t}\frac {dn}{dt} + \lambda e^{\lambda t}n = Re^{\lambda t}\]

Como $\lambda e^{\lambda t}=\frac {d}{dt} e^{\lambda t}$, podemos reorganizar como:

\[e^{\lambda t}\frac {dn}{dt}+\left(\frac {d}{dt} e^{\lambda t}\right)n = Re^{\lambda t}\]

Integrando ambos os lados, obtemos a solução geral:

\[e^{\lambda t}n=\frac {R}{\lambda}e^{\lambda t}+c\] \[n=ce^{-\lambda t}+\frac {R}{\lambda}\]

3. Solução Particular

Suponha que o número deste nuclídeo seja $n_0$ quando $t=0$, e encontre o valor da constante $c$:

\[n(0)=c+\frac {R}{\lambda}=n_0\] \[c=n_0-\frac {R}{\lambda}\]

Portanto, a solução particular para a situação dada é:

\[n = n_0e^{-\lambda t}+\frac {R}{\lambda}(1-e^{-\lambda t}) \tag{7}\]

Multiplicando ambos os lados por $\lambda$, podemos obter a radioatividade deste nuclídeo:

\[\alpha = \alpha_0e^{-\lambda t}+R(1-e^{-\lambda t}) \tag{8}\]

Ou seja, quando $t\to\infty$, converge para $\alpha_{\text{max}}=R$, $n_{\text{max}}=R/\lambda$.

Exemplo: Cadeia de Decaimento Radioativo 2

Calcule a radioatividade do radionuclídeo B na seguinte cadeia de decaimento:

flowchart LR
	A --> B
	B --> C

1. Configuração do Modelo

\[\text{Taxa de variação do núcleo B} = \text{Taxa de produção pelo decaimento de A} - \text{Taxa de decaimento de B para C}\] \[\frac {dn_B}{dt} = -\lambda_B n_B + \lambda_A n_A\]

Substituindo a equação (2) para $n_A$, obtemos a seguinte equação diferencial para $n_B$:

\[\frac {dn_B}{dt} = -\lambda_B n_B + \lambda_A n_{A0}e^{-\lambda_A t} \tag{9}\]

2. Solução Geral

Para resolver a equação diferencial, movemos todos os termos em $n_B$ para o lado esquerdo e multiplicamos ambos os lados por $e^{\lambda_B t}$:

\[\frac {dn_B}{dt} + \lambda_B n_B = n_{A0}\lambda_A e^{-\lambda_A t}\] \[e^{\lambda_B t}\frac {dn_B}{dt} + \lambda_B e^{\lambda_B t}n_B = n_{A0}\lambda_A e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}\]

Como $\lambda_B e^{\lambda_B t}=\frac {d}{dt} e^{\lambda_b t}$, podemos reorganizar como:

\[e^{\lambda_B t}\frac {dn_B}{dt} + \left(\frac {d}{dt} e^{\lambda_B t}\right)n_B = n_{A0}\lambda_A e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}\]

Integrando ambos os lados:

\[e^{\lambda_B t}n_B = \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}+c\]

Dividindo ambos os lados por $e^{\lambda_B t}$, obtemos a solução geral:

\[n_B = \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}e^{-\lambda_A t}+ce^{-\lambda_B t}\]

3. Solução Particular

Suponha que o número de elementos B seja $n_{B0}$ quando $t=0$, e encontre o valor da constante $c$:

\[n_B(0)=\frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}+c=n_{B0}\] \[c=n_{B0}-\frac{n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}\]

Portanto, a solução particular para a situação dada é:

\[n_B = n_{B0}e^{-\lambda_B t} + \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} (e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t}) \tag{10}\] \[\therefore \alpha_B = \alpha_{B0} e^{-\lambda_B t} + \frac {\alpha_{A0}\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} (e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t}) \tag{11}\]