Equação de Bernoulli (Bernoulli Equation)

Equação de Bernoulli (Bernoulli Equation)

\[y'+p(x)y=g(x)y^a\quad \text{(}a\text{ é um número real arbitrário)} \tag{1}\]

A equação de Bernoulli (1) é linear se $a=0$ ou $a=1$, e não linear nos outros casos. No entanto, pode ser transformada em linear através do seguinte processo.

Definindo \(u(x)=[y(x)]^{1-a}\)

e diferenciando, então substituindo $y’$ da equação (1), obtemos:

\[\begin{align*} u'&=(1-a)y^{-a}y' \\&=(1-a)y^{-a}(gy^a-py) \\&=(1-a)(g-py^{1-a}) \end{align*}\]

No lado direito, $y^{1-a}=u$, então obtemos a seguinte equação diferencial ordinária linear:

\[u'+(1-a)pu=(1-a)g \tag{2}\]

Exemplo: Equação Logística (Logistic Equation)

Resolva a equação logística (uma forma especial da equação de Bernoulli).

\[y'=Ay-By^2 \tag{3}\]

Solução

Escrevendo a equação (3) na forma da equação (1):

\[y'-Ay=-By^2\]

Aqui, $a=2$, então $u=y^{1-a}=y^{-1}$. Diferenciando este u e substituindo $y’$ da equação (3):

\[u'=-y^{-2}y'=-y^{-2}(Ay-By^2)=B-Ay^{-1}\]

O último termo é $-Ay^{-1}=-Au$, então obtemos a seguinte equação diferencial ordinária linear:

\[u'+Au=B\]

Pela fórmula de solução para equações diferenciais ordinárias lineares não homogêneas, podemos obter a seguinte solução geral:

\[u=ce^{-At}+B/A\]

Como $u=1/y$, a partir disso obtemos a solução geral da equação (3):

\[y=\frac{1}{u}=\frac{1}{ce^{-At}+B/A} \tag{4}\]