Conceitos Básicos de Modelagem

Modelagem

• Modelo: A formalização de um problema de engenharia em uma expressão matemática usando variáveis, funções, equações, etc.
• Modelagem matemática ou Modelagem: O processo de criar um modelo, resolvê-lo matematicamente e interpretar os resultados

flowchart LR
	title([Modelagem])
	A[Sistema físico] --> B[Modelo matemático]
	B[Modelo matemático] --> C[Solução matemática]
	C[Solução matemática] --> D[Interpretação física]

Como muitos conceitos físicos, como velocidade ou aceleração, são derivadas, os modelos frequentemente tomam a forma de equações que incluem derivadas de funções desconhecidas, ou seja, equações diferenciais.

Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) e Equações Diferenciais Parciais (EDP)

Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

Equação Diferencial Ordinária (EDO): Uma equação que inclui a derivada de n-ésima ordem de uma função desconhecida

Exemplos:

\[y' = \cos x\] \[y'' + 9y = e^{-2x}\] \[y'y''' - \frac{3}{2}y'^{2} = 0\]

Equações Diferenciais Parciais (EDP)

Equação Diferencial Parcial (EDP): Uma equação que inclui derivadas parciais de uma função desconhecida com duas ou mais variáveis

Exemplo:

\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\]

Solução

Se uma função $h(x)$ é definida e diferenciável em um intervalo aberto $(a, b)$, e quando $y$ e $y’$ são substituídos por $h$ e $h’$ respectivamente, a equação diferencial ordinária dada se torna uma identidade, então a função

\[y = h(x)\]

é chamada de solução da equação diferencial ordinária dada no intervalo $(a, b)$, e a curva de $h$ é chamada de curva solução.

Exemplos:

\[y'=\cos x \Leftrightarrow y=\sin x+c\] \[y'=0.2y \Leftrightarrow y=ce^{0.2t}\]

Uma solução que inclui uma constante arbitrária $c$ como esta é chamada de solução geral da equação diferencial ordinária.

Geometricamente, a solução geral de uma equação diferencial ordinária é uma coleção de infinitas curvas solução, com uma curva correspondendo a cada valor da constante $c$. Ao escolher um valor específico para a constante $c$, obtemos uma solução particular da equação diferencial ordinária.

Problema de Valor Inicial

Para obter uma solução particular do problema dado, é necessário determinar o valor da constante arbitrária $c$, que em muitos casos pode ser encontrado através de uma condição inicial da forma $y(x_{0})=y_{0}$ ou $y(t_{0})=y_{0}$ (é chamada de condição inicial mesmo que a variável independente não seja o tempo ou $t_{0}\neq0$). Uma equação diferencial ordinária com uma condição inicial é chamada de problema de valor inicial.

Exemplo:

\[y'=f(x,y),\qquad y(x_{0})=y_{0}\]

Exemplo de Modelagem: Decaimento Exponencial de Material Radioativo

Determine a quantidade restante de material radioativo ao longo do tempo, dado que a quantidade inicial é de 0,5g.

Experimentos mostram que o material radioativo se decompõe a uma taxa proporcional à quantidade de material restante, resultando em um decaimento ao longo do tempo.

1. Estabelecendo o Modelo Matemático

Vamos denotar a quantidade de material restante no tempo $t$ como $y(t)$. Como $y’(t)$ é proporcional a $y(t)$, obtemos a equação diferencial ordinária de primeira ordem:

\[\frac {dy}{dt} = -ky\]

onde $k>0$ é uma constante.

Também conhecemos a condição inicial $y(0)=0.5$. Portanto, podemos estabelecer o modelo matemático como o seguinte problema de valor inicial:

\[\frac {dy}{dt} = -ky, \qquad y(0)=0.5\]

2. Solução Matemática

A solução geral da equação diferencial ordinária que estabelecemos é (veja Método de Separação de Variáveis):

\[y(t)=ce^{-kt}\]

Como $y(0)=c$, da condição inicial obtemos $y(0)=c=0.5$. Portanto, a solução particular que estamos buscando é:

\[y(t)=0.5e^{-kt} \quad(k>0)\]

3. Interpretação Física da Solução

A solução que encontramos representa a quantidade de material radioativo em qualquer tempo $t$. A quantidade de material radioativo começa no valor inicial de 0,5(g) e diminui com o tempo, com o valor limite de $y$ tendendo a $0$ quando $t \to \infty$.