브론스키언(Wronskian), 해의 존재와 유일성

TL;DR

구간 $I$에서 연속인 임의의 변수계수 $p$와 $q$를 갖는 2계 동차 선형 상미분방정식

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0\]

과 초기조건

\[y(x_0)=K_0, \qquad y^{\prime}(x_0)=K_1\]

에 대하여, 다음 4개의 정리가 성립한다.

1. 초기값 문제의 해의 존재성과 유일성의 정리: 주어진 방정식 및 초기조건으로 구성되는 초기값 문제는 구간 $I$에서 유일한 해 $y(x)$를 갖는다.
2. 브론스키언(Wronskian)을 이용한 해의 선형종속/선형독립 판별: 방정식의 두 해 $y_1$과 $y_2$에 대하여, 구간 $I$ 내에 브론스키언(Wronskian) $W(y_1, y_2) = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime}$의 값이 $0$이 되는 $x_0$가 존재한다면 두 해는 선형종속이다. 또한, 구간 $I$ 내에 $W\neq 0$이 되는 $x_1$이 존재한다면 두 해는 선형독립이다.
3. 일반해의 존재: 주어진 방정식은 구간 $I$에서 일반해를 가진다.
4. 특이해의 부존재: 이 일반해는 방정식의 모든 해를 포함한다(즉, 특이해가 존재하지 않는다).

Prerequisites

• 1계 선형 상미분방정식의 풀이
• 2계 동차 선형 상미분방정식 (Homogeneous Linear ODEs of Second Order)
• 상수계수를 갖는 2계 동차 선형 상미분방정식
• 오일러-코시 방정식
• 역행렬과 특이행렬, 행렬식

연속인 임의의 변수계수를 갖는 동차 선형 상미분방정식

앞서 상수계수를 갖는 2계 동차 선형 상미분방정식과 오일러-코시 방정식의 일반해를 알아보았다. 이 글에서는 논의를 보다 일반적인 경우로 확장하여, 연속인 임의의 변수계수(variable coefficient) $p$와 $q$를 갖는 2계 동차 선형 상미분방정식

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}\tag{1}\]

의 일반해의 존재성과 형태를 알아본다. 또한 이에 더하여, 상미분방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)과 다음의 두 가지 초기조건

\[y(x_0)=K_0, \qquad y^{\prime}(x_0)=K_1 \label{eqn:initial_conditions}\tag{2}\]

로 구성된 초기값 문제의 유일성도 알아볼 것이다.

미리 결론부터 이야기하자면, 연속인 계수를 갖는 선형상미분방정식은 특이해(singular solution)(일반해로부터 얻을 수 없는 해)를 갖지 않는다는 것이 여기서 다루는 내용의 핵심이다.

초기값 문제의 해의 존재성과 유일성의 정리

초기값 문제의 해의 존재성과 유일성의 정리(Existence and Uniqueness Theorem for Initial Value Problems)
만약 $p(x)$와 $q(x)$가 어떤 열린 구간 $I$에서 연속함수이고, $x_0$가 구간 $I$ 내에 있다면, 식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)과 ($\ref{eqn:initial_conditions}$)로 구성되는 초기값 문제는 구간 $I$에서 유일한 해 $y(x)$를 갖는다.

존재성에 대한 증명은 여기서는 다루지 않으며, 유일성의 증명만 살펴볼 것이다. 통상적으로 유일성을 증명하는 것이 존재성을 증명하는 것보다 간단하다.
증명에 관심이 없다면 이 부분은 건너뛰고 해의 선형종속과 선형독립으로 넘어가도 좋다.

유일성의 증명

상미분방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)과 초기조건 ($\ref{eqn:initial_conditions}$)로 구성된 초기값 문제가 구간 $I$에서 두 개의 해 $y_1(x)$와 $y_2(x)$를 가진다고 가정하자. 이 두 해의 차

\[y(x) = y_1(x) - y_2(x)\]

가 구간 $I$에서 항등적으로 $0$이 됨을 보일 수 있다면, 이는 곧 구간 $I$에서 $y_1 \equiv y_2$라는 것이므로 해의 유일성을 의미한다.

방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)이 동차 선형 상미분방정식이므로, $y_1$과 $y_2$의 선형결합인 $y$는 $I$에서 방정식의 해가 된다. $y_1$과 $y_2$가 동일한 초기조건 ($\ref{eqn:initial_conditions}$)를 만족하므로, $y$는 조건

\[\begin{align*} & y(x_0) = y_1(x_0) - y_1(x_0) = 0, \\ & y^{\prime}(x_0) = y_1^{\prime}(x_0) - y_2^{\prime}(x_0) = 0 \end{align*} \label{eqn:initial_conditions_*}\tag{3}\]

을 만족한다. 이제 함수

\[z(x) = y(x)^2 + y^{\prime}(x)^2\]

과 그 도함수

\[z^{\prime} = 2yy^{\prime} + 2y^{\prime}y^{\prime\prime}\]

을 생각하자. 상미분방정식으로부터

\[y^{\prime\prime} = -py^{\prime} - qy\]

를 얻으며, 이를 $z^{\prime}$에 대한 식에 대입하면

\[z^{\prime} = 2yy^{\prime} - 2p{y^{\prime}}^2 - 2qyy^{\prime} \label{eqn:z_prime}\tag{4}\]

을 얻는다. 이제 $y$와 $y^{\prime}$이 실수이므로

\[(y\pm y^{\prime})^2 = y^2 \pm 2yy^{\prime} + {y^{\prime}}^2 \geq 0\]

이 된다. 이것과 $z$의 정의로부터 두 개의 부등식

\[(a)\ 2yy^{\prime} \leq y^2 + {y^{\prime}}^2 = z, \qquad (b)\ 2yy^{\prime} \geq -(y^2 + {y^{\prime}}^2) = -z \label{eqn:inequalities}\tag{5}\]

를 얻을 수 있다. 이 두 부등식으로부터 $|2yy^{\prime}|\leq z$임을 알 수 있고, 그렇다면 식 ($\ref{eqn:z_prime}$)의 마지막 항에 대해서는 다음 부등식이 성립한다.

\[\pm2qyy^{\prime} \leq |\pm 2qyy^{\prime}| = |q||2yy^{\prime}| \leq |q|z.\]

이 결과와 함께 $-p \leq |p|$임을 이용하고, 식 ($\ref{eqn:z_prime}$)의 항 $2yy^{\prime}$에 식 ($\ref{eqn:inequalities}$a)를 적용하면

\[z^{\prime} \leq z + 2|p|{y^{\prime}}^2 + |q|z\]

가 된다. ${y^{\prime}}^2 \leq y^2 + {y^{\prime}}^2 = z$이므로 이로부터

\[z^{\prime} \leq (1 + 2|p| + |q|)z\]

를 얻으며, 괄호 안의 함수를 $h = 1 + 2|p| + |q|$로 놓으면

\[z^{\prime} \leq hz \quad \forall x \in I \label{eqn:inequality_6a}\tag{6a}\]

이다. 같은 방법으로, 식 ($\ref{eqn:z_prime}$)와 ($\ref{eqn:inequalities}$)로부터

\[\begin{align*} -z^{\prime} &= -2yy^{\prime} + 2p{y^{\prime}}^2 + 2qyy^{\prime} \\ &\leq z + 2|p|z + |q|z = hz \end{align*} \label{eqn:inequality_6b}\tag{6b}\]

를 얻는다. 이 두 부등식 ($\ref{eqn:inequality_6a}$), ($\ref{eqn:inequality_6b}$)는 다음 부등식

\[z^{\prime} - hz \leq 0, \qquad z^{\prime} + hz \geq 0 \label{eqn:inequalities_7}\tag{7}\]

과 동등하며, 두 식의 좌변에 대한 적분인자는

\[F_1 = e^{-\int h(x)\ dx} \qquad \text{와} \qquad F_2 = e^{\int h(x)\ dx}\]

이다. $h$가 연속이므로 부정적분 $\int h(x)\ dx$는 존재하며, $F_1$과 $F_2$가 양수이므로 식 ($\ref{eqn:inequalities_7}$)로부터

\[F_1(z^{\prime} - hz) = (F_1 z)^{\prime} \leq 0, \qquad F_2(z^{\prime} + hz) = (F_2 z)^{\prime} \geq 0\]

을 얻는다. 이는 구간 $I$에서 $F_1 z$가 증가하지 않으며 $F_2 z$가 감소하지 않음을 의미한다. 식 ($\ref{eqn:initial_conditions_*}$)에 의해 $z(x_0) = 0$이므로,

\[\begin{cases} \left(F_1 z \geq (F_1 z)_{x_0} = 0\right)\ \& \ \left(F_2 z \leq (F_2 z)_{x_0} = 0\right) & (x \leq x_0) \\ \left(F_1 z \leq (F_1 z)_{x_0} = 0\right)\ \& \ \left(F_2 z \geq (F_2 z)_{x_0} = 0\right) & (x \geq x_0) \end{cases}\]

이다. 마지막으로 부등식의 양변을 양수 $F_1$과 $F_2$로 나누면 다음과 같이 해의 유일성을 보일 수 있다.

\[(z \leq 0) \ \& \ (z \geq 0) \quad \forall x \in I\] \[z = y^2 + {y^{\prime}}^2 = 0 \quad \forall x \in I\] \[\therefore y \equiv y_1 - y_2 \equiv 0 \quad \forall x \in I. \ \blacksquare\]

해의 선형종속과 선형독립

2계 동차 선형 상미분방정식에서 다뤘던 내용을 잠시 다시 떠올려보자. 열린 구간 $I$에서의 일반해는 $I$에서의 기저(basis) $y_1$, $y_2$, 즉 선형독립인 해들의 쌍으로부터 만들어진다. 여기서 $y_1$과 $y_2$가 구간 $I$에서 선형 독립(linearly independent)이라는 것은 곧 구간 내 모든 $x$에 대하여 다음을 만족함을 의미한다.

\[k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0 \Leftrightarrow k_1=0\text{이고 }k_2=0 \label{eqn:linearly_independent}\tag{8}\]

만약 위를 만족하지 않고, 적어도 하나의 $0$이 아닌 $k_1$, $k_2$에 대하여 $k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0$이 성립할 경우 $y_1$과 $y_2$는 구간 $I$에서 선형 종속(linearly dependent)이다. 이 경우 구간 $I$의 모든 $x$에 대해

\[\text{(a) } y_1 = ky_2 \quad \text{또는} \quad \text{(b) } y_2 = ly_1 \label{eqn:linearly_dependent}\tag{9}\]

이 되어 $y_1$과 $y_2$는 비례한다.

이제 다음의 해의 선형독립/선형종속 판별법을 알아보자.

브론스키언(Wronskian)을 이용한 해의 선형종속/선형독립 판별
i. 상미분방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)이 열린 구간 $I$에서 연속인 계수 $p(x)$와 $q(x)$를 갖는다면, 구간 $I$에서 방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)의 두 해 $y_1$과 $y_2$가 선형종속이 되기 위한 필요충분조건은 이 해들의 브론스키 행렬식(Wronski determinant), 줄여서 브론스키언(Wronskian)이라고 부르는 다음의 행렬식

\[W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1^{\prime} & y_2^{\prime} \\ \end{vmatrix} = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime} \label{eqn:wronskian}\tag{10}\]

이 구간 $I$ 내의 어떤 $x_0$에서 $0$이 되는 것이다.

\[\exists x_0 \in I: W(x_0)=0 \iff y_1 \text{과 } y_2 \text{는 선형종속}\]

ii. 구간 $I$ 내의 한 점 $x=x_0$에서 $W=0$이라면 구간 $I$ 안의 모든 $x$에서 $W=0$이다.

\[\exists x_0 \in I: W(x_0)=0 \implies \forall x \in I: W(x)=0\]

다시 말해, $W\neq 0$인 $x_1$이 구간 $I$에 존재한다면 해당 구간 $I$에서는 $y_1$, $y_2$는 선형독립이다.

\[\begin{align*} \exists x_1 \in I: W(x_0)\neq 0 &\implies \forall x \in I: W(x)\neq 0 \\ &\implies y_1 \text{과 } y_2 \text{는 선형독립} \end{align*}\]

브론스키언은 폴란드의 수학자 유제프 마리아 호에네-브론스키(Józef Maria Hoene-Wroński)가 처음 도입하였고, 그의 사후인 11882 HE에 스코틀랜드 수학자 토머스 뮤어(Sir Thomas Muir)에 의해 지금의 이름이 붙었다.

증명

i. (a)

구간 $I$에서 $y_1$과 $y_2$가 선형종속이라 하자. 그러면 구간 $I$에서 식 ($\ref{eqn:linearly_dependent}$a) 또는 ($\ref{eqn:linearly_dependent}$b)가 성립한다. 만약 식 ($\ref{eqn:linearly_dependent}$a)가 성립한다면

\[W(y_1, y_2) = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime} = ky_2ky_2^{\prime} - y_2ky_2^{\prime} = 0\]

이며, 마찬가지로 식 ($\ref{eqn:linearly_dependent}$b)가 성립하는 경우에도

\[W(y_1, y_2) = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime} = y_1ly_1^{\prime} - ly_1y_1^{\prime} = 0\]

이므로 구간 $I$ 내의 모든 $x$에 대해 브론스키언 $W(y_1, y_2)=0$임을 확인할 수 있다.

i. (b)

역으로 어떤 $x = x_0$에 대해 $W(y_1, y_2)=0$이라 할 때, 구간 $I$에서 $y_1$과 $y_2$가 선형종속이 됨을 보일 것이다. 미지수 $k_1$, $k_2$에 대한 선형연립방정식

\[\begin{gather*} k_1y_1(x_0) + k_2y_2(x_0) = 0 \\ k_1y_1^{\prime}(x_0) + k_2y_2^{\prime}(x_0) = 0 \end{gather*} \label{eqn:linear_system}\tag{11}\]

을 생각하자. 이는 다음과 같은 벡터방정식 꼴로 표현할 수 있다.

\[\left[\begin{matrix} y_1(x_0) & y_2(x_0) \\ y_1^{\prime}(x_0) & y_2^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} k_1 \\ k_2 \end{matrix}\right] = 0 \label{eqn:vector_equation}\tag{12}\]

이 벡터방정식의 계수행렬은

\[A = \left[\begin{matrix} y_1(x_0) & y_2(x_0) \\ y_1^{\prime}(x_0) & y_2^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right]\]

이고, 이 행렬의 행렬식은 곧 $W(y_1(x_0), y_2(x_0))$이다. $\det(A) = W=0$이므로 $A$는 역행렬(inverse matrix)이 존재하지 않는 특이행렬(singular matrix)이고, 따라서 연립방정식 ($\ref{eqn:linear_system}$)은 $k_1$과 $k_2$ 중 적어도 하나는 $0$이 아닌 영벡터 $(0,0)$ 이외의 해 $(c_1, c_2)$를 가진다. 이제 함수

\[y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)\]

를 도입하자. 방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)이 동차 선형이므로 중첩의 원리에 의해 이 함수는 구간 $I$에서 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)의 해가 된다. 식 ($\ref{eqn:linear_system}$)로부터 이 해는 초기조건 $y(x_0)=0$, $y^{\prime}(x_0)=0$을 만족함을 알 수 있다.

한편, 동일한 초기조건 $y^*(x_0)=0$, ${y^*}^{\prime}(x_0)=0$을 만족하는 자명해 $y^* \equiv 0$이 존재한다. 방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)의 계수 $p$와 $q$가 연속이기 때문에 초기값 문제의 해의 존재성과 유일성의 정리에 의해 해의 유일성이 보장되며, 따라서 $y \equiv y^*$이다. 즉, 구간 $I$에서

\[c_1y_1 + c_2y_2 \equiv 0\]

이다. $c_1$과 $c_2$ 둘 중 적어도 하나는 $0$이 아니기 때문에 ($\ref{eqn:linearly_independent}$)을 만족하지 않으므로, 이는 구간 $I$에서 $y_1$, $y_2$가 선형종속임을 의미한다.

ii.

만약 구간 $I$ 내의 어떤 한 점 $x_0$에서 $W(x_0)=0$라면, i.(b)에 의해 구간 $I$에서 $y_1$, $y_2$는 선형종속이고, 그러면 i.(a)에 의해 $W\equiv 0$이다. 그러므로 $W(x_1)\neq 0$인 $x_1$이 구간 $I$ 내에 하나라도 존재한다면 $y_1$과 $y_2$는 선형독립이다. $\blacksquare$

일반해는 모든 해를 포함한다

일반해의 존재

만약 $p(x)$와 $q(x)$가 열린 구간 $I$에서 연속이라면, 방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)은 구간 $I$에서 일반해를 가진다.

증명

초기값 문제의 해의 존재성과 유일성의 정리에 의해, 상미분방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)은 구간 $I$에서 초기조건

\[y_1(x_0) = 1, \qquad y_1^{\prime}(x_0) = 0\]

을 만족하는 해 $y_1(x)$와 구간 $I$에서 초기조건

\[y_2(x_0) = 0, \qquad y_2^{\prime}(x_0) = 1\]

을 만족하는 해 $y_2(x)$를 가진다. 이 두 해의 브론스키언은 $x=x_0$에서 0이 아닌 값

\[W(y_1(x_0), y_2(x_0)) = y_1(x_0)y_2^{\prime}(x_0) - y_2(x_0)y_1^{\prime}(x_0) = 1\cdot 1 - 0\cdot 0 = 1\]

을 가지므로, 브론스키언(Wronskian)을 이용한 해의 선형종속/선형독립 판별에 의해 구간 $I$에서 $y_1$과 $y_2$는 선형독립이다. 따라서 이 두 해는 구간 $I$에서 방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)의 해의 기저를 형성하며, 임의의 상수 $c_1$, $c_2$를 갖는 일반해 $y = c_1y_1 + c_2y_2$가 구간 $I$에서 반드시 존재한다. $\blacksquare$

특이해의 부존재

상미분방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)이 어떤 열린 구간 $I$에서 연속인 계수 $p(x)$와 $q(x)$를 갖는다면, 구간 $I$에서 방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)의 모든 해 $y=Y(x)$는

\[Y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) \label{eqn:particular_solution}\tag{13}\]

의 형태이며, 여기서 $y_1$, $y_2$는 구간 $I$에서 방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)의 해의 기저이고 $C_1$, $C_2$는 적당한 상수이다.
즉, 방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)은 일반해로부터 얻을 수 없는 해인 특이해(singular solution)를 갖지 않는다.

증명

$y=Y(x)$를 구간 $I$에서 방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)의 어떤 해라고 하자. 이제 일반해의 존재 정리에 의해서 상미분방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)은 구간 $I$에서 일반해

\[y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x) \label{eqn:general_solution}\tag{14}\]

를 갖는다. 이제 임의의 $Y(x)$에 대하여 구간 $I$에서 $y(x)=Y(x)$가 되게 하는 상수 $c_1$, $c_2$가 존재함을 보여야 한다. 구간 $I$에서 임의의 $x_0$를 선택했을 때 $y(x_0)=Y(x_0)$이고 $y^{\prime}(x_0)=Y^{\prime}(x_0)$가 되게 하는 $c_1$, $c_2$의 값을 찾을 수 있음을 먼저 보이자. 식 ($\ref{eqn:general_solution}$)로부터

\[\begin{gather*} \left[\begin{matrix} y_1(x_0) & y_2(x_0) \\ y_1^{\prime}(x_0) & y_2^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} Y(x_0) \\ Y^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right] \end{gather*} \label{eqn:vector_equation_2}\tag{15}\]

가 된다. $y_1$과 $y_2$가 기저이므로 계수행렬의 행렬식인 $W(y_1(x_0), y_2(x_0))\neq 0$이고, 따라서 방정식 ($\ref{eqn:vector_equation_2}$)는 $c_1$과 $c_2$에 대해 풀 수 있다. 그 해를 $(c_1, c_2) = (C_1, C_2)$라고 하자. 이를 식 ($\ref{eqn:general_solution}$)에 대입하면 다음의 특수해를 얻는다.

\[y^*(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x).\]

$C_1$, $C_2$가 방정식 ($\ref{eqn:vector_equation_2}$)의 해이므로,

\[y^*(x_0) = Y(x_0), \qquad {y^*}^{\prime}(x_0) = Y^{\prime}(x_0)\]

이다. 초기값 문제의 해의 존재성과 유일성의 정리의 유일성에 의헤, 구간 $I$ 내의 모든 $x$에 대하여 $y^* \equiv Y$이다. $\blacksquare$