자유입자(The Free Particle)

TL;DR

• 자유 입자: $V(x)=0$, 경계조건 없음(임의의 에너지)
• 변수분리한 해 $\Psi_k(x,t) = Ae^{i\left(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t \right)}$는 제곱적분했을 때 무한대로 발산하므로 규격화할 수 없으며, 이는 다음을 시사함
  • 자유입자는 정상상태로 존재할 수 없음
  • 자유입자는 에너지를 정확한 하나의 값으로 정의할 수 없음(에너지 불확실성 존재)
• 그럼에도 불구하고, 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식의 일반해는 변수분리한 해의 선형결합이므로 변수분리한 해는 여전히 수학적으로는 중요한 의미 가짐. 단 이 경우 제한조건이 없으므로 일반해는 불연속변수 $n$에 대한 합($\sum$)이 아닌 연속변수 $k$에 대한 적분($\int$) 형태임.
• 슈뢰딩거 방정식의 일반해:

\[\begin{gather*} \Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}dk, \\ \text{이때 }\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x,0)e^{-ikx}dx \end{gather*}\]

• 위치 불확실성과 운동량 불확실성의 관계:
  • 위치 불확실성이 작아지면 운동량 불확실성은 커지며, 역으로 운동량 불확실성이 작아지면 위치 불확실성이 커짐
  • 즉, 양자역학적으로 자유 입자의 위치와 운동량을 동시에 정확하게 아는 것은 불가능함
• 파동함수 $\Psi(x,t)$의 위상속도와 무리속도:
  • 위상속도: $v_\text{phase} = \cfrac{\omega}{k} = \cfrac{\hbar k}{2m}$
  • 무리속도: $v_\text{group} = \cfrac{d\omega}{dk} = \cfrac{\hbar k}{m}$
• 무리속도의 물리적 의미 및 고전역학과의 비교:
  • 물리적으로 무리속도는 곧 해당 입자의 운동 속력을 의미함
  • $\phi(k)$가 어떤 값 $k_0$ 근처에서 매우 뾰족한 형태라고 가정할 때(운동량 불확실성이 충분히 작을 때),

\[v_\text{group} = v_\text{classical} = \sqrt{\cfrac{2E}{m}}\]

Prerequisites

• 오일러 공식
• 푸리에 변환(Fourier transform) & 플랑쉐렐 정리(Plancherel’s theorem)
• 슈뢰딩거 방정식과 파동함수
• 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식
• 1차원 무한 사각 우물

모델 설정

가장 단순한 경우인 자유입자($V(x)=0$)를 살펴보자. 고전적으로 이는 단지 등속도 운동일 뿐이지만, 양자역학에서 이 문제는 좀 더 흥미롭다.
자유 입자에 대한 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi \tag{1}\]

즉

\[\frac{d^2\psi}{dx^2} = -k^2\psi \text{, 여기서 }k\equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \label{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}\tag{2}\]

이다. 여기까지는 퍼텐셜이 $0$인 무한 사각 우물 내부와 같다. 다만 이번에는 일반해를 다음의 지수함수 형태로 쓰자.

\[\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}. \tag{3}\]

$Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$와 $C\cos{kx}+D\sin{kx}$는 같은 $x$의 함수를 쓰는 동등한 방법이다. 오일러 공식 $e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$에 의해

\[\begin{align*} Ae^{ikx}+Be^{-ikx} &= A[\cos{kx}+i\sin{kx}] + B[\cos{(-kx)}+i\sin{(-kx)}] \\ &= A(\cos{kx}+i\sin{kx}) + B(\cos{kx}-i\sin{kx}) \\ &= (A+B)\cos{kx} + i(A-B)\sin{kx}. \end{align*}\]

즉, $C=A+B$, $D=i(A-B)$로 놓으면

\[Ae^{ikx} + Be^{-ikx} = C\cos{kx}+D\sin{kx}. \blacksquare\]

역으로 $A$와 $B$를 $C$와 $D$로 나타내면 $A=\cfrac{C-iD}{2}$, $B=\cfrac{C+iD}{2}$이다.

양자역학에서 $V=0$일 때 지수함수는 움직이는 파동을 나타내며, 자유입자를 다룰 때 가장 편리하다. 반면 사인과 코사인 함수는 정상파를 나타내기 용이하며, 무한 사각 우물의 경우에 자연스럽게 나타난다.

무한한 사각형 우물과는 달리 이번에는 $k$와 $E$를 제한하는 경계조건이 없다. 즉 자유입자는 임의의 양의 에너지를 가질 수 있다.

변수분리한 해와 위상속도

$\psi(x)$에 시간 의존성 $e^{-iEt/\hbar}$을 붙이면

\[\Psi(x,t) = Ae^{ik\left(x-\frac{\hbar k}{2m}t \right)} + Be^{-ik\left(x+\frac{\hbar k}{2m}t \right)} \label{eqn:Psi_seperated_solution}\tag{4}\]

를 얻는다.

이처럼 특별한 형태 $(x\pm vt)$에 의존하는 $x$와 $t$에 대한 임의의 함수는, 모양이 변하지 않고 속력 $v$로 $\mp x$ 방향으로 움직이는 파동을 나타낸다. 따라서 식 ($\ref{eqn:Psi_seperated_solution}$)의 첫 항은 오른쪽으로 움직이는 파동을 나타내고, 두 번째 항은 같은 파장과 진행속력을 갖고 진폭만 다른 파동이 왼쪽으로 움직이는 것을 나타낸다. 이들은 $k$ 앞의 부호만 다르므로

\[\Psi_k(x,t) = Ae^{i\left(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t \right)} \tag{5}\]

로 쓸 수 있고, 이때 $k$의 부호에 따른 파동의 진행 방향은 다음과 같다.

\[k \equiv \pm\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar},\quad \begin{cases} k>0 \Rightarrow & \text{오른쪽으로 이동}, \\ k<0 \Rightarrow & \text{왼쪽으로 이동}. \end{cases} \tag{6}\]

자유입자의 ‘정상상태’는 명백히 진행하는 파동으로*, 그 파장은 $\lambda = 2\pi/|k|$이고 드보로이 공식(de Broglie formula)에 의해

\[p = \frac{2\pi\hbar}{\lambda} = \hbar k \label{eqn:de_broglie_formula}\tag{7}\]

의 운동량을 가진다.

*‘정상상태’인데 진행하는 파동이라니 물리적으로는 당연히 모순이다. 이유는 곧 나온다.

또한 이 파동의 속력은 다음과 같다.

\[v_{\text{phase}} = \left|\frac{\omega}{k}\right| = \frac{\hbar|k|}{2m} = \sqrt{\frac{E}{2m}}. \label{eqn:phase_velocity}\tag{8}\]

(여기서 $\omega$는 $t$ 앞의 계수 $\cfrac{\hbar k^2}{2m}$이다.)

그러나, 이 파동함수는 제곱적분했을 때 무한대로 발산하기에 규격화할 수 없다.

\[\int_{-\infty}^{\infty}\Psi_k^*\Psi_k dx = |A|^2\int_{-\infty}^{\infty}dx = \infty. \tag{9}\]

즉, 자유입자의 경우 변수분리한 해는 물리적으로 가능한 상태가 아니다. 자유입자는 정상상태로 존재할 수 없으며, 어떤 특정한 에너지 값을 가질 수도 없다. 사실 직관적으로 생각해 봐도 양쪽 끝에 경계조건이 전혀 없는데 정상파가 형성되는 게 더 이상하다.

시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식의 일반해 $\Psi(x,t)$ 구하기

그럼에도 불구하고 이 변수분리한 해는 여전히 중요한 의미를 갖는데, 물리적인 해석과 별개로 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식의 일반해는 변수분리한 해의 선형결합이라는 수학적인 의미를 가지기 때문이다. 다만 이 경우 제한조건이 없기 때문에 일반해는 불연속변수 $n$에 대한 합($\sum$) 대신 연속변수 $k$에 대한 적분($\int$)의 형태를 가진다.

\[\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}dk. \label{eqn:Psi_general_solution}\tag{10}\]

여기서는 $\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\phi(k)dk$가 ‘시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식’ 포스트의 식 (21)에서의 $c_n$과 같은 역할을 한다.

이 파동함수는 적절한 $\phi(k)$에 대해 규격화할 수 있지만, 반드시 $k$의 영역이 있어야 하고 따라서 에너지와 속력의 범위를 가진다. 이것을 파동묶음(wave packet)이라고 한다.

사인함수는 공간적으로 무한히 퍼져 있기에 규격화할 수 없다. 그러나 이러한 파동을 여러 개 중첩시키면 간섭에 의해 국소화되고 규격화할 수 있다.

플랑쉐렐 정리(Plancherel theorem)를 이용한 $\phi(k)$ 구하기

이제 $\Psi(x,t)$의 형태(식 [$\ref{eqn:Psi_general_solution}$])를 알고 있으므로, 처음 파동함수

\[\Psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{ikx}dk \label{eqn:Psi_at_t_0}\tag{11}\]

를 만족하는 $\phi(k)$를 결정하기만 하면 된다. 이는 푸리에 분석(Fourier analysis)의 전형적인 문제인데, 플랑쉐렐 정리(Plancherel’s theorem)로 답을 얻을 수 있다.

\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} F(k)e^{ikx}dk \Longleftrightarrow F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}dx. \label{eqn:plancherel_theorem}\tag{12}\]

$F(k)$를 $f(x)$의 푸리에 변환(Fourier transform)이라고 하고, $f(x)$는 $F(k)$의 역 푸리에 변환(inverse Fourier transform)이라고 한다. 둘의 차이는 지수의 부호뿐임을 식 ($\ref{eqn:plancherel_theorem}$)에서 쉽게 확인할 수 있다. 물론 적분이 존재하는 함수만 허용된다는 제한 조건이 존재한다.

$f(x)$가 존재하기 위한 필요충분조건은 $\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx$가 유한해야 한다는 것이다. 이 경우 $\int_{-\infty}^{\infty}|F(k)|^2dk$도 유한하며,

\[\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2 dx = \int_{-\infty}^{\infty}|F(k)|^2 dk\]

이다. 사람에 따라서는 식 ($\ref{eqn:plancherel_theorem}$)가 아니라 위 식을 플랑쉐렐 정리(Plancherel’s theorem)라고 하기도 한다(위키피디아에서도 이렇게 기술하고 있다.).

지금 이 경우에는 $\Psi(x,0)$이 규격화되어야 한다는 물리적인 조건에 의해 반드시 적분이 존재한다. 따라서 자유입자에 대한 양자역학적 해는 식 ($\ref{eqn:Psi_general_solution}$)이고, 여기서

\[\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x,0)e^{-ikx}dx \label{eqn:phi}\tag{13}\]

이다.

다만, 실제로는 식 ($\ref{eqn:Psi_general_solution}$)의 적분을 해석적으로 풀 수 있는 경우는 거의 없다. 보통은 컴퓨터로 수치분석을 이용하여 값을 구한다.

파동묶음의 무리속도 계산 및 물리적 해석

본질적으로 파동묶음은 $\phi$에 의해 진폭이 결정되는 수많은 사인함수들의 중첩이다. 즉, 파동묶음을 이루는 ‘포락선(envelope)’ 안에 ‘잔물결(ripples)’이 있다.

이미지 라이선스 및 원작 출처 고지

• 이미지 생성 소스코드(gnuplot): yunseo-kim/physics-visualization
• 라이선스: Mozilla Public License 2.0
• 원작자: Ph.D. Youjun Hu
• 원 라이선스 고지: MIT License

물리적으로 입자의 속도에 해당하는 것은 앞서 식 ($\ref{eqn:phase_velocity}$)로 구한 개별 잔물결의 속도(위상속도, phase velocity)가 아니라 바깥쪽 포락선의 속도(무리속도, group velocity)이다.

위치 불확실성과 운동량 불확실성의 관계

식 ($\ref{eqn:Psi_at_t_0}$)의 피적분항 $\int\phi(k)e^{ikx}dk$와, 식 ($\ref{eqn:phi}$)의 피적분항 $\int\Psi(x,0)e^{-ikx}dx$ 부분만을 따로 떼어 위치 불확실성과 운동량 불확실성 사이의 관계를 살펴보자.

위치 불확실성이 작을 때

위치 공간에서 $\Psi$가 어떤 값 $x_0$ 주변의 매우 좁은 영역 $[x_0-\delta, x_0+\delta]$에 분포하고 그 밖의 영역에서는 0에 가까운 형태일 때(위치 불확실성이 작을 때), $e^{-ikx} \approx e^{-ikx_0}$로 $x$에 대해 거의 상수이므로

\[\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} \Psi(x,0)e^{-ikx}dx &\approx \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \Psi(x,0)e^{-ikx_0}dx \\ &= e^{-ikx_0}\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \Psi(x,0)dx \\ &= e^{-ipx_0/\hbar}\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \Psi(x,0)dx \quad (\because \text{eqn. }\ref{eqn:de_broglie_formula}) \end{align*}\tag{14}\]

이다. 정적분 항은 $p$에 대해 상수이므로 앞의 $e^{-ipx_0/\hbar}$ 항에 의해 $\phi$는 운동량 공간에서 $p$에 대한 사인파 형태를 갖게 되며, 즉 넓은 운동량 구간에 분포한다(운동량 불확실성이 크다).

운동량 불확실성이 작을 때

마찬가지로 운동량 공간에서 $\phi$가 어떤 값 $p_0$ 주변의 매우 좁은 영역 $[p_0-\delta, p_0+\delta]$에 분포하고 그 밖의 영역에서는 0에 가까운 형태일 때(운동량 불확실성이 작을 때), 식 ($\ref{eqn:de_broglie_formula}$)에 의해 $e^{ikx}=e^{ipx/\hbar} \approx e^{ip_0x/\hbar}$로 $p$에 대해 거의 상수이고 $dk=\frac{1}{\hbar}dp$이므로

\[\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{ikx}dk &= \frac{1}{\hbar}\int_{p_0-\delta}^{p_0+\delta} \phi(p)e^{ip_0x/\hbar}dp \\ &= \frac{1}{\hbar}e^{ip_0x/\hbar}\int_{p_0-\delta}^{p_0+\delta} \phi(p)dp \end{align*}\tag{15}\]

이다. 앞의 $e^{ip_0x/\hbar}$ 항에 의해 $\Psi$는 위치 공간에서 $x$에 대한 사인파 형태를 갖게 되며, 즉 넓은 위치 구간에 분포한다(위치 불확실성이 크다).

결론

위치 불확실성이 작아지면 운동량 불확실성은 커지며, 역으로 운동량 불확실성이 작아지면 위치 불확실성이 커진다. 따라서 양자역학적으로 자유 입자의 위치와 운동량을 동시에 정확하게 아는 것은 불가능하다.

이미지 출처

• 저작자: 영문 위키피디아 유저 Maschen
• 라이선스: public domain

사실, 불확정성 원리(uncertainty principle)에 의해 이는 자유 입자뿐만 아니라 모든 경우에 적용된다. 불확정성 원리는 추후 별도의 포스트로 다루도록 하겠다.

파동묶음의 무리속도

식 ($\ref{eqn:Psi_general_solution}$)의 일반해를 식 ($\ref{eqn:phase_velocity}$)에서와 같이 $\omega \equiv \cfrac{\hbar k^2}{2m}$으로 다시 쓰면

\[\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)e^{i(kx-\omega t)}dk \tag{16}\]

이다.

$\omega = \cfrac{\hbar k^2}{2m}$와 같이 $\omega$를 $k$에 대한 함수로 나타낸 식을 분산관계(dispersion relation)라고 한다. 후술할 내용은 분산관계에 상관없이 모든 파동묶음에 대해 일반적으로 적용된다.

이제 $\phi(k)$가 적절한 값 $k_0$ 근처에서 매우 뾰족한 형태라고 가정하자. ($k$에 대해 넓게 퍼져도 괜찮긴 하지만, 이러한 파동묶음의 형태는 매우 빠르게 어그러지며 다른 형태로 바뀐다. 서로 다른 $k$에 대한 성분들은 제각기 다른 속력으로 움직이기 때문에, 잘 정의된 속도를 갖는 전체 ‘무리’라는 의미를 잃는다. 즉, 운동량의 불확실성이 커진다.)
적분되는 함수는 $k_0$ 근처를 제외하고 무시할 수 있으므로 이 점 근처에서 함수 $\omega(k)$를 테일러 전개할 수 있으며, 일차항까지만 쓰면

\[\omega(k) \approx \omega_0 + \omega_0^\prime(k-k_0)\]

를 얻는다. 이제 $s=k-k_0$로 치환하여 $k_0$을 중심으로 적분하면

\[\begin{align*} \Psi(x,t) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(k_0+s)e^{i[(k_0+s)x-(\omega_0+\omega_0^\prime s)t]}ds \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i(k_0x-\omega_0t)}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(k_0+s)e^{is(x-\omega_0^\prime t)}ds. \end{align*}\tag{17}\]

앞에 있는 항 $e^{i(k_0x-\omega_0t)}$은 속력 $\omega_0/k_0$로 움직이는 사인파동(‘잔물결’)을 의미하고, 이 사인파동의 진폭을 결정하는 적분항(‘포락선’)은 $e^{is(x-\omega_0^\prime t)}$ 부분에 의해 속력 $\omega_0^\prime$으로 움직인다. 따라서 $k=k_0$에서의 위상속도는

\[v_\text{phase} = \frac{\omega_0}{k_0} = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m} \tag{18}\]

로 식 ($\ref{eqn:phase_velocity}$)에서의 값과 같음을 다시 한 번 확인할 수 있으며, 무리속도는

\[v_\text{group} = \omega_0^\prime = \frac{d\omega}{dk} = \frac{\hbar k}{m} \label{eqn:group_velocity}\tag{19}\]

로 위상속도의 2배가 된다.

고전역학과의 비교

거시적인 규모에서 고전역학이 성립함을 알고 있으므로, 양자역학을 통해 얻은 결과는 양자론적인 불확정성이 충분히 작을 때 고전역학에서의 계산 결과로 근사할 수 있어야 한다. 지금 다루고 있는 자유 입자의 경우에는, 앞서 가정한 것과 같이 $\phi(k)$가 적절한 값 $k_0$ 근처에서 매우 뾰족한 형태일 때(즉, 운동량 불확실성이 충분히 작을 때) 양자역학에서 입자의 속력에 해당하는 무리속도 $v_\text{group}$가 동일한 $k$와 그에 따른 에너지 값 $E$에 대하여 고전역학에서 구한 입자의 속력 $v_\text{classical}$와 같아야 한다.

방금 구한 무리속도(식 [$\ref{eqn:group_velocity}$])에 식 ($\ref{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}$)의 $k\equiv \cfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$를 대입하면

\[v_\text{quantum} = \sqrt{\frac{2E}{m}} \tag{20}\]

이고, 고전역학에서 운동에너지 $E$를 갖는 자유 입자의 속력은 마찬가지로

\[v_\text{classical} = \sqrt{\frac{2E}{m}} \tag{21}\]

이다. 따라서 $v_\text{quantum}=v_\text{classical}$이므로 양자역학을 적용하여 얻은 결과가 물리적으로 타당한 해임을 확인할 수 있다.