급수의 수렴/발산 판정(Testing for Convergence or Divergence of a Series)
급수의 수렴/발산을 판정하는 여러 방법들을 종합하여 살펴본다.
TL;DR
- 일반항 판정법($n$th-term test for divergence): $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{급수 }\sum a_n \text{은 발산}$
- 기하급수의 수렴/발산: 기하급수 $\sum ar^{n-1}$은
- $|r| < 1$이면 수렴
- $|r| \geq 1$이면 발산
- $p$-급수의 수렴/발산: $p$-급수 $\sum \cfrac{1}{n^p}$은
- $p>1$이면 수렴
- $p\leq 1$이면 발산
- 비교판정법(Comparison Test): $0 \leq a_n \leq b_n$일 때,
- $\sum b_n < \infty \ \Rightarrow \ \sum a_n < \infty$
- $\sum a_n = \infty \ \Rightarrow \ \sum b_n = \infty$
- 극한비교판정법(Limit Comparison Test): 만약 $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \text{ (}c\text{는 유한한 양수)}$라면, 두 급수 $\sum a_n$과 $\sum b_n$은 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산
- 양항급수 $\sum a_n$과 양수 $\epsilon < 1$에 대하여
- 모든 $n$에 대하여 $\sqrt[n]{a_n}< 1-\epsilon$이면 급수 $\sum a_n$은 수렴
- 모든 $n$에 대하여 $\sqrt[n]{a_n}> 1+\epsilon$이면 급수 $\sum a_n$은 발산
- 거듭제곱근 판정법(Root Test): 양항급수 $\sum a_n$에서 극한값 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: r$이 존재할 경우,
- $r<1$이면 급수 $\sum a_n$은 수렴
- $r>1$이면 급수 $\sum a_n$은 발산
- 비율판정법(Ratio Test): 양수의 수열 $(a_n)$과 $0 < r < 1$에 대하여
- 모든 $n$에 대하여 $a_{n+1}/a_n \leq r$이면, 급수 $\sum a_n$은 수렴
- 모든 $n$에 대하여 $a_{n+1}/a_n \geq 1$이면, 급수 $\sum a_n$은 발산
- 양수의 수열 $(a_n)$에서 극한값 $\rho := \lim_{n\to\infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}$이 존재한다고 하면,
- $\rho < 1$이면 급수 $\sum a_n$은 수렴
- $\rho > 1$이면 급수 $\sum a_n$은 발산
- 적분판정법(Integral Test): 연속함수 $f: \left[1,\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}$이 감소함수이고 항상 $f(x)>0$일 때, 급수 $\sum f(n)$이 수렴할 필요충분조건은 적분 $\int_1^\infty f(x)\ dx := \lim_{b\to\infty} \int_1^b f(x)\ dx$가 수렴하는 것
- 교대급수 판정법(Alternating Series Test): 다음 조건을 만족하는 경우 교대급수 $\sum a_n$은 수렴
- 모든 $n$에 대하여 $a_n$과 $a_{n+1}$의 부호가 다름
- 모든 $n$에 대하여 $|a_n| \geq |a_{n+1}|$
- $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$
- 절대수렴하는 급수는 수렴함. 역은 성립하지 않음.
Prerequisites
들어가며
앞서 수열과 급수에서 급수의 수렴과 발산에 대한 정의를 알아보았다. 이 글에서는 급수의 수렴/발산을 판정할 때 사용할 수 있는 여러 가지 방법들을 정리한다. 일반적으로 급수의 수렴/발산 판정은 급수의 합을 정확하게 구하는 것보다는 훨씬 쉽다.
일반항 판정법
급수 $\sum a_n$에 대하여, $a_n$을 해당 급수의 일반항이라고 한다.
다음 정리에 의해 어떤 급수는 명백하게 발산함을 쉽게 알 수 있으며, 따라서 어떤 급수의 수렴/발산을 판정할 때는 이를 제일 먼저 확인해 보는 것이 시간 낭비를 막을 수 있는 현명한 방법이다.
일반항 판정법($n$th-term test for divergence)
\[\lim_{n\to\infty} a_n=0\]
급수 $\sum a_n$이 수렴하면,이다. 즉,
\[\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \text{급수 }\sum a_n \text{은 발산}\]이다.
증명
수렴하는 어떤 급수 $\sum a_n$의 합을 $l$이라 하고 처음 $n$항까지의 합을
\[s_n := a_1 + a_2 + \cdots + a_n\]으로 두면,
\[\forall \epsilon > 0,\, \exists N \in \mathbb{N}\ (n > N \Rightarrow |s_n - l| < \epsilon).\]따라서 충분히 큰($>N$) $n$에 대하여
\[|a_n| = |s_n - s_{n-1}| = |(s_n - l) - (s_{n-1} - l)| \leq |s_n - l| + |s_{n-1} - l| \leq \epsilon + \epsilon = 2\epsilon\]이므로, 수열의 수렴의 정의로부터
\[\lim_{n\to\infty} |a_n| = 0. \quad \blacksquare\]주의사항
이 정리의 역은 일반적으로 참이 아니다. 이를 보여주는 대표적인 예시는 조화급수(harmonic series)이다.
조화급수는 각 항이 등차수열의 역수로 주어진 수열, 즉 조화수열에서 얻은 급수이다. 대표적인 조화급수는
\[H_n := 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \quad (n=1,2,3,\dots)\]이다. 이 급수는 발산함을 다음과 같이 보일 수 있다.
\[\begin{align*} \lim_{n\to\infty} H_n &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{16} + \cdots \\ &> 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{16} + \cdots \\ &= 1 + \frac{1}{2} \qquad\, + \frac{1}{2} \qquad\qquad\qquad\ \ + \frac{1}{2} \qquad\qquad\quad + \frac{1}{2} + \cdots \\ &= \infty. \end{align*}\]이처럼 급수 $H_n$이 발산함에도 불구하고, 일반항 $1/n$은 $0$에 수렴함을 알 수 있다.
$\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$이면 급수 $\sum a_n$은 반드시 발산하지만, $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$이라고 해서 급수 $\sum a_n$이 수렴할 거라고 생각하는 것은 위험하며 이 경우 다른 방법들을 사용하여 수렴/발산을 판정해야 한다.
기하급수
첫항이 1이고 공비가 $r$인 등비수열에서 얻은 기하급수(geometric series)
\[1 + r + r^2 + r^3 + \cdots \label{eqn:geometric_series}\tag{5}\]는 가장 중요하고, 기본적인 급수이다. 이때 등식
\[(1-r)(1+r+\cdots + r^{n-1}) = 1 - r^n\]에서
\[1 + r + \cdots + r^{n-1} = \frac{1-r^n}{1-r} = \frac{1}{1-r} - \frac{r^n}{1-r} \qquad (r \neq 1) \label{eqn:sum_of_geometric_series}\tag{6}\]을 얻는다. 한편
\[\lim_{n\to\infty} r^n = 0 \quad \Leftrightarrow \quad |r| < 1\]이므로, 기하급수 ($\ref{eqn:geometric_series}$)가 수렴할 필요충분조건은 $|r| < 1$임을 안다.
기하급수의 수렴/발산
기하급수 $\sum ar^{n-1}$은
- $|r| < 1$이면 수렴
- $|r| \geq 1$이면 발산
이로부터
\[1 + r + r^2 + r^3 + \cdots = \frac{1}{1-r} \qquad (|r| < 1) \label{eqn:sum_of_inf_geometric_series}\tag{7}\]을 얻는다.
기하급수와 근삿값
항등식 ($\ref{eqn:sum_of_geometric_series}$)은 $|r| < 1$일 때 $\cfrac{1}{1-r}$의 근삿값을 구하는 데에 유용하게 쓰인다.
이 식에 $r=-\epsilon$, $n=2$를 대입하면
\[\frac{1}{1+\epsilon} - (1 - \epsilon) = \frac{\epsilon^2}{1 + \epsilon}\]을 얻는다. 따라서 $0 < \epsilon < 1$이면
\[0 < \frac{1}{1 + \epsilon} - (1 - \epsilon) < \epsilon^2\]이므로
\[\frac{1}{1 + \epsilon} \approx (1 - \epsilon) \pm \epsilon^2 \qquad (0 < \epsilon < 1)\]을 얻는다. 이로부터, 충분히 작은 양수 $\epsilon$에 대하여 $\cfrac{1}{1 + \epsilon}$은 $1 - \epsilon$으로 근사할 수 있음을 알 수 있다.
$p$-급수 판정법 ($p$-Series Test)
양의 실수 $p$에 대하여, 다음과 같은 형태의 급수를 $p$-급수라고 한다.
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\]$p$-급수의 수렴/발산
$p$-급수 $\sum \cfrac{1}{n^p}$은
- $p>1$이면 수렴
- $p\leq 1$이면 발산
$p$-급수에서 $p=1$인 경우 조화급수가 되며, 이는 발산함을 앞서 보였다.
$p=2$인 경우의 $p$-급수, 즉 $\sum \cfrac{1}{n^2}$의 값을 구하는 문제는, 이 급수가 수렴함을 처음 보였으며 여러 대에 걸쳐 유명한 수학자 여럿을 배출해 낸 가문이기도 한 베르누이 집안의 근거지 이름을 따서 ‘바젤(Basel) 문제’라고 부른다. 이 문제의 답은 $\cfrac{\pi^2}{6}$임이 알려져 있다.
또한 더 일반적으로는, $p$-급수에서 $p>1$인 경우를 제타 함수(zeta function)라고 한다. 이는 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 인류력 11740년에 도입하고 이후 리만이 이름을 지은 특수함수의 하나로,
\[\zeta(s) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \qquad (s>1)\]로 정의한다.
이 글의 주제에서 다소 벗어나는 데다, 솔직히 말해서 난 공대생이지 수학자는 아니므로 나도 잘 모르기 때문에 여기서 다루진 않으나, 레온하르트 오일러는 오일러 곱(Euler Product)이라는 소수(prime number)의 무한곱 형태로도 제타 함수를 표현할 수 있음을 보였으며 이후 제타 함수는 해석적 정수론 하위의 여러 분야에서 핵심적인 위치를 차지한다. 제타 함수의 정의역을 복소수로 확장한 리만 제타 함수(Riemann zeta function)와 그에 관한 중요한 미해결 난제인 리만 가설(Riemann hypothesis)도 그 중 하나이다.
원래의 주제로 돌아와서, $p$-급수 판정법의 증명을 위해서는 후술할 비교판정법과 적분판정법이 필요하다. 그러나 $p$-급수의 수렴/발산은 기하급수와 함께 바로 뒤에 다룰 비교판정법에서 유용하게 쓰일 수 있기 때문에 의도적으로 앞쪽에 배치하였다.
증명
i) $p>1$일 때
적분
\[\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\ dx = \left[\frac{1}{-p+1}\frac{1}{x^{p-1}} \right]^\infty_1 = \frac{1}{p-1}\]이 수렴하므로, 적분판정법에 의해 급수 $\sum \cfrac{1}{n^p}$도 수렴함을 알 수 있다.
ii) $p\leq 1$일 때
이 경우
\[0 \leq \frac{1}{n} \leq \frac{1}{n^p}\]이다. 여기서 조화급수 $\sum \cfrac{1}{n}$은 발산함을 알고 있으므로, 비교판정법에 의해 $\sum \cfrac{1}{n^p}$ 또한 발산함을 알 수 있다.
결론
i), ii)에 의하여, $p$-급수 $\sum \cfrac{1}{n^p}$은 $p>1$이면 수렴, $p \leq 1$이면 발산한다. $\blacksquare$
비교판정법
일반항이 $0$ 이상의 실수로 이루어진 급수인 양항급수(series of positive terms)의 수렴/발산을 판정할 때는 야코프 베르누이(Jakob Bernoulli)의 비교판정법(Comparison Test)이 유용하다.
양항급수 $\sum a_n$은 증가하는 수열이므로, 무한대로 발산하는 경우($\sum a_n = \infty$)가 아니라면 반드시 수렴하는 것이다. 그러므로 양항급수에서
\[\sum a_n < \infty\]와 같은 표현은 수렴한다는 의미이다.
비교판정법(Comparison Test)
$0 \leq a_n \leq b_n$일 때,
- $\sum b_n < \infty \ \Rightarrow \ \sum a_n < \infty$
- $\sum a_n = \infty \ \Rightarrow \ \sum b_n = \infty$
특히, 양항급수 중에서도 $\sum \cfrac{1}{n^2 + n}$, $\sum \cfrac{\log n}{n^3}$, $\sum \cfrac{1}{2^n + 3^n}$, $\sum \cfrac{1}{\sqrt{n}}$, $\sum \sin{\cfrac{1}{n}}$ 등과 같이 앞서 살펴본 등비급수 $\sum ar^{n-1}$이나 $p$-급수 $\sum \cfrac{1}{n^p}$과 유사한 형태를 가진 급수의 수렴/발산을 판정할 때는 비교판정법을 적극적으로 시도해 보는 것이 좋다.
후술하는 다른 여러 수렴/발산 판정법들은 모두 이 비교판정법으로부터 유도할 수 있으며, 그런 의미에서 비교판정법이 가장 중요하다고 할 수 있다.
극한비교판정법
양항급수 $\sum a_n$과 $\sum b_n$에 대하여, 두 급수의 일반항의 비 $a_n/b_n$에서 분자와 분모의 우세한 항(dominant term)이 상쇄되어 $\lim_{n\to\infty} \cfrac{a_n}{b_n}=c \text{ (}c\text{는 유한한 양수)}$라고 하자. 이때 급수 $\sum b_n$의 수렴/발산 여부를 알고 있다면 다음의 극한비교판정법(Limit Comparison Test)을 활용할 수 있다.
극한비교판정법(Limit Comparison Test)
\[\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c \text{ (}c\text{는 유한한 양수)}\]
만약라면, 두 급수 $\sum a_n$과 $\sum b_n$은 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다. 즉, $ \sum a_n < \infty \ \Leftrightarrow \ \sum b_n < \infty$이다.
거듭제곱근 판정법
정리
양항급수 $\sum a_n$과 양수 $\epsilon < 1$에 대하여
- 모든 $n$에 대하여 $\sqrt[n]{a_n}< 1-\epsilon$이면 급수 $\sum a_n$은 수렴
- 모든 $n$에 대하여 $\sqrt[n]{a_n}> 1+\epsilon$이면 급수 $\sum a_n$은 발산
따름정리: 거듭제곱근 판정법(Root Test)
\[\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: r\]
양항급수 $\sum a_n$에서 극한값이 존재한다고 하자. 이때
- $r<1$이면 급수 $\sum a_n$은 수렴
- $r>1$이면 급수 $\sum a_n$은 발산
위의 따름정리에서 $r=1$일 경우에는 수렴/발산을 판정할 수 없으므로 다른 방법을 사용해야 한다.
비율판정법
비율판정법(Ratio Test)
양수의 수열 $(a_n)$과 $0 < r < 1$에 대하여
- 모든 $n$에 대하여 $a_{n+1}/a_n \leq r$이면, 급수 $\sum a_n$은 수렴
- 모든 $n$에 대하여 $a_{n+1}/a_n \geq 1$이면, 급수 $\sum a_n$은 발산
따름정리
양수의 수열 $(a_n)$에서 극한값 $\rho := \lim_{n\to\infty} \cfrac{a_{n+1}}{a_n}$이 존재한다고 하자. 이때
- $\rho < 1$이면 급수 $\sum a_n$은 수렴
- $\rho > 1$이면 급수 $\sum a_n$은 발산
적분판정법
적분법을 이용하면 감소하는 양의 수열로 이루어진 급수의 수렴/발산을 판정할 수 있다.
적분판정법(Integral Test)
\[\int_1^\infty f(x)\ dx := \lim_{b\to\infty} \int_1^b f(x)\ dx\]
연속함수 $f: \left[1,\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}$이 감소함수이고 항상 $f(x)>0$일 때, 급수 $\sum f(n)$이 수렴할 필요충분조건은 적분가 수렴하는 것이다.
증명
함수 $f(x)$가 연속이고 감소함수이면서 부호는 항상 양수이므로, 부등식
\[f(n+1) \leq \int_n^{n+1} f(x)\ dx \leq f(n)\]가 성립한다. 이 부등식을 $n=1$부터 일반항까지 변끼리 더하면 부등식
\[f(2) + \cdots + f(n+1) \leq \int_1^{n+1} f(x)\ dx \leq f(1) + \cdots + f(n)\]을 얻는다. 이제 비교판정법을 쓰면 원하는 결과를 얻는다. $\blacksquare$
교대급수
일반항이 $0$이 아니면서 각 항 $a_n$의 부호가 그 다음 항 $a_{n+1}$의 부호와 다른, 즉 양항과 음항이 번갈아 가며 나타나는 급수 $\sum a_n$을 교대급수(alternating series)라고 한다.
교대급수에 대하여, 독일의 수학자 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)가 발견한 다음 정리를 수렴/발산 판정에 유용하게 활용할 수 있다.
교대급수 판정법(Alternating Series Test)
- 모든 $n$에 대하여 $a_n$과 $a_{n+1}$의 부호가 다르고,
- 모든 $n$에 대하여 $|a_n| \geq |a_{n+1}|$이며,
- $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$이면,
교대급수 $\sum a_n$은 수렴한다.
절대수렴급수
급수 $\sum a_n$에 대하여 급수 $\sum |a_n|$이 수렴하면, “급수 $\sum a_n$은 절대수렴한다(converge absolutely)”라고 한다.
이때 다음 정리가 성립한다.
정리
절대수렴하는 급수는 수렴한다.
위 정리의 역은 성립하지 않는다.
급수가 수렴하지만 절대수렴하지는 않는 경우 “조건수렴한다(converge conditionally)”라고 한다.
증명
실수 $a$에 대하여
\[\begin{align*} a^+ &:= \max\{a,0\} = \frac{1}{2}(|a| + a), \\ a^- &:= -\min\{a,0\} = \frac{1}{2}(|a| - a) \end{align*}\]로 두면,
\[a = a^+ - a^-, \qquad |a| = a^+ + a^-\]를 얻는다. 그러면 $0 \leq a^\pm \leq |a|$이므로, 비교판정법에 의하여 급수 $\sum |a_n|$이 수렴할 경우 급수 $\sum a_n^+$와 $\sum a_n^-$도 모두 수렴하고, 따라서 수렴하는 급수의 기본 성질에 의해
\[\sum a_n = \sum (a_n^+ - a_n^-) = \sum a_n^+ - \sum a_n^-\]도 수렴한다. $\blacksquare$