상대성 원리와 로런츠 변환

TL;DR

상대성 원리: 등속도로 운동하는 서로 다른 기준계에 대해 모든 물리 법칙이 동일해야 한다는 원리

로런츠 인자 $\gamma$

\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\]

로런츠 변환

\[\begin{pmatrix} \vec{x}^\prime \\ ct^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\vec{\beta} \\ -\gamma\vec{\beta} & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{x} \\ ct \end{pmatrix}.\]

• $ \vec{x^\prime} = \gamma\vec{x}-\gamma\vec{\beta}ct $
• $ ct^\prime = \gamma ct - \gamma \vec{\beta}\cdot\vec{x} $

역 로런츠 변환

\[\begin{pmatrix} \vec{x} \\ ct \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & \gamma\vec{\beta} \\ \gamma\vec{\beta} & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{x^\prime} \\ ct^\prime \end{pmatrix}.\]

• $ \vec{x} = \gamma\vec{x^\prime}+\gamma\vec{\beta}ct^\prime $
• $ ct = \gamma ct^\prime + \gamma \vec{\beta}\cdot\vec{x^\prime} $

기준계와 상대성 원리

기준계 (frame of reference)

• 기준계(frame of reference): 어떤 물체가 움직인다는 것은 그 위치가 다른 물체에 대하여 상대적으로 변한다는 것으로, 모든 운동은 상대적이기 때문에 어떤 운동을 기술하기 위해서는 그 기준이 되는 기준계를 설정해야 한다.
• 관성기준계(inertial frames of reference): 뉴턴(Newton)의 운동 제 1법칙(“물체에 작용하는 알짜힘이 0인 한 물체의 운동 상태는 불변한다.”)이 성립하는 계. 어느 한 관성계에 대해 등속도로 움직이는 임의의 기준계는 관성기준계이다.

상대성 원리 (Principle of Relativity)

물리학의 주요 개념 중 하나이자 기본 전제로, 등속도로 운동하는 서로 다른 기준계에 대해 모든 물리 법칙이 동일해야 한다는 원리이다. 만약 상대적으로 움직이는 관측자들에게 물리 법칙이 서로 다르다면 이 차이를 이용해 하나의 절대기준계를 설정하여 누가 정지해 있고 누가 움직이는지 알 수 있게 된다. 그러나 상대성 원리에 따르면 이러한 구별은 없으므로, 전 우주에 대한 절대기준계 또는 절대운동은 존재하지 않으며 모든 관성기준계는 동등하다.

갈릴레이 변환의 한계점

갈릴레이 변환 (Galilean transformation)

두 관성계 $S$와 $S^{\prime}$이 존재하고, $S^{\prime}$은 $S$에 대해 $+x$ 방향의 일정한 속도 $\vec{v}$로 움직이며, 동일한 한 사건을 $S$에서는 시각 $t$일 때 좌표 $(x, y, z)$에서 일어난 것으로, $S^{\prime}$에서는 시각 $t^{\prime}$일 때 좌표 $(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime})$에서 일어난 것으로 관찰했다고 하자.

이때, $S^{\prime}$에서 측정한 운동의 $x$ 방향 값은 $S$에서 측정한 값보다 $S^{\prime}$이 $S$에 대해 $x$방향으로 움직인 거리인 $\vec{v}t$만큼 더 클 것이므로

\[x^{\prime} = x - \vec{v}t \label{eqn:galilean_transform_x} \tag{1}\]

이고, $y$와 $z$ 방향으로는 상대적인 운동이 없으므로

\[\begin{align*} y^{\prime} = y \label{eqn:galilean_transform_y} \tag{2} \\ z^{\prime} = z \label{eqn:galilean_transform_z} \tag{3} \end{align*}\]

이며, 직관적으로

\[t^{\prime} = t \tag{4} \label{eqn:galilean_transform_t}\]

일 것이라 가정할 수 있다. 위의 식 ($\ref{eqn:galilean_transform_x}$)에서 ($\ref{eqn:galilean_transform_t}$)까지와 같이 물리학에서 고전적으로 사용하던 서로 다른 관성계 간의 좌표 변환을 갈릴레이 변환(Galilean transformation)이라고 하며, 이는 일상적인 상황에서 대부분 맞아떨어지기에 간단하면서도 직관적이다. 그러나 후술하겠지만 이는 맥스웰 방정식과 모순된다.

맥스웰 방정식

패러데이(Faraday), 앙페르(Ampere) 등의 다른 과학자들이 제안한 아이디어와 선행 연구 결과를 19세기 후반에 맥스웰(Maxwell)이 확장하여 전기와 자기는 사실 하나의 힘이라는 것을 밝혔으며, 전자기장을 기술하는 다음 4개의 방정식을 유도하였다.

1. \[\begin{gather*}\nabla\cdot{E}=\frac{q}{\epsilon_0} \\ \text{: 임의의 폐곡면을 통과하는 전기 선속은 내부의 알짜 전하량과 동일하다(가우스 법칙).} \end{gather*}\]
2. \[\begin{gather*}\nabla\cdot{B}=0 \\ \text{: 자기 홀극(자하)은 존재하지 않는다.} \end{gather*}\]
3. \[\begin{gather*}\nabla\times{E}=-\frac{\partial B}{\partial t} \\ \text{: 자기장의 변화는 전기장을 만든다(패러데이 법칙).} \end{gather*}\]
4. \[\begin{gather*}\nabla\times{B}=\mu_0\left(J+\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}\right) \\ \text{: 전기장의 변화와 전류는 자기장을 만든다.(앙페르-맥스웰 법칙)} \end{gather*}\]

맥스웰 방정식은 이전까지 알려진 전기와 자기 현상을 모두 성공적으로 설명할 수 있었으며, 전자기파의 존재를 예측하였고 또한 진공에서 전자기파의 속력 $c$는 불변하는 상수임을 도출해 내며 전자기학의 핵심 공식으로 자리하였다.

갈릴레이 변환과 맥스웰 방정식 사이의 모순

갈릴레이 변환을 활용하는 뉴턴 역학은 200년 넘게 물리학의 근간이 되어 왔고, 맥스웰 방정식은 상술하였듯 전기와 자기 현상을 기술하는 핵심 방정식이다. 그러나 이 둘 사이에는 다음과 같은 모순이 발생한다.

• 상대성 원리에 따라 맥스웰 방정식 역시 모든 관성계에서 동일한 형태를 지닐 것이 기대되지만, 한 관성계에서 측정한 값을 갈릴레이 변환을 적용하여 다른 관성계에서 측정한 값으로 전환할 경우 맥스웰 방정식은 매우 다른 형태를 갖게 된다.
• 맥스웰 방정식으로부터 광속 $c$의 크기를 계산할 수 있고 이는 불변하는 상수이나, 뉴턴 역학과 갈릴레이 변환에 따르면 광속 $c$는 관성계에 따라 다르게 측정된다.

따라서 맥스웰 방정식과 갈릴레이 변환은 서로 맞지 않으며, 둘 중에 적어도 하나는 수정해야만 했다. 이는 후술할 로런츠 변환(Lorentz transformation)의 등장 배경이 된다.

에테르(aether) 이론과 마이컬슨-몰리 실험

한편 19세기 물리학에서는 빛도 수면파나 음파와 같은 다른 파동과 마찬가지로 에테르(aether)라는 가상의 매질에 의해 전달된다고 여겼으며, 이 에테르의 존재를 발견하고자 노력하였다.

에테르 이론에 따르면 우주공간은 진공이라 할지라도 에테르로 가득 채워져 있으므로, 태양에 대해 약 30km/s의 속력으로 운동하는 지구의 공전에 의해 지구를 가로지르는 에테르 바람이 형성될 것이라 생각하였다.

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• 저작자: 위키미디어 유저 Cronholm144
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이러한 가설을 검증하기 위해, 1887년 마이컬슨(Michelson)은 몰리(Morley)와 협력하여 아래의 간섭계를 활용한 마이컬슨-몰리 실험(Michelson-Morley Experiment)을 수행했다.

이미지 출처

• 저작자: Albert Abraham Michelson with Edward Morley
• 라이선스: public domain

이 실험에서 광선은 반거울을 통과하며 2개로 나눠진 뒤 각각 간섭계의 직교하는 두 팔을 앞뒤로 왕복하며 총 11m 정도를 진행하고 중간 지점에서 만나며, 이때 두 광선의 위상차에 따라 보강간섭 또는 상쇄간섭 무늬가 나타난다. 에테르 이론에 따르면 에테르에 대한 상대속도에 따라 빛의 속도에 차이가 발생하므로 이 위상차도 변하여 간섭무늬의 변화를 관측할 수 있을 것이라고 기대하였으나, 실제로는 간섭무늬 변화를 관측할 수 없었다. 이러한 실험 결과를 설명하고자 여러 시도들이 있었는데, 그 중에서도 피츠제럴드(FitzGerald)와 로런츠(Lorentz)는 어떤 물체가 에테르에 대해 상대적으로 운동할 경우 길이가 수축한다는 로런츠-피츠제럴드 수축(Lorentz–FitzGerald contraction) 또는 길이 수축(length contraction)을 제안하였고 이는 로런츠 변환으로 이어진다.

로런츠는 이 당시에 에테르가 존재하리라 믿었으며, 길이 수축이 에테르에 대한 상대적 운동에 의해 일어난다고 생각하였다. 이후 아인슈타인(Einstein)이 특수상대성 이론(Theory of Special Relativity)으로 로런츠 변환이 갖는 진정한 물리적 의미를 해석함으로써 에테르가 아닌 시공간의 개념으로 길이 수축을 설명하였으며, 에테르는 존재하지 않는다는 것 또한 이후 밝혀진다.

로런츠 변환 (Lorentz transformation)

로런츠 변환의 유도

앞서 살펴본 갈릴레이 변환(식 [$\ref{eqn:galilean_transform_x}$]-[$\ref{eqn:galilean_transform_t}$])에서와 같은 상황에서, 맥스웰 방정식과 모순되지 않는 $x$와 $x^{\prime}$ 사이의 올바른 변환 관계가 다음과 같다고 가정하자.

\[x^{\prime} = \gamma(x-\vec{v}t). \label{eqn:lorentz_transform_x}\tag{5}\]

여기서 $\gamma$는 $x$와 $t$에는 무관하지만 $\vec{v}$의 함수일 수는 있다. 이와 같이 가정할 수 있는 이유는 다음과 같다.

• $S$에서 일어나는 사건과 $S^{\prime}$에서 일어나는 사건이 일대일 대응하기 위해 $x$와 $x^{\prime}$은 선형 관계이어야 한다.
• 갈릴레이 변환이 일상적인 상황의 역학에서는 옳다는 것이 알려져 있으므로, 식 ($\ref{eqn:galilean_transform_x}$)로 근사할 수 있어야 한다.
• 가급적이면 단순한 형태이어야 한다.

물리 공식들은 기준계 $S$와 $S^{\prime}$에서 같은 모양이어야 하므로 $x$를 $x^{\prime}$과 $t$로 나타내려면 $\vec{v}$의 부호(상대 운동의 방향)만 바꾸면 되며, 두 기준계 사이에는 $\vec{v}$의 부호 외에는 아무런 차이가 없어야 하므로 $\gamma$는 같아야 한다.

\[x = \gamma(x^{\prime}+\vec{v}t^{\prime}). \label{eqn:lorentz_transform_x_inverse}\tag{6}\]

갈릴레이 변환에서와 마찬가지로 $\vec{v}$의 방향에 수직인 성분인 $y$와 $y^{\prime}$, 그리고 $z$와 $z^{\prime}$은 다를 이유가 없으므로,

\[\begin{align*} y^{\prime} &= y \\ z^{\prime} &= z \end{align*} \label{eqn:lorentz_transform_yz} \tag{7}\]

로 놓는다. 이제 식 ($\ref{eqn:lorentz_transform_x}$)를 ($\ref{eqn:lorentz_transform_x_inverse}$)에 대입하면

\[x = \gamma^2 x - \gamma^2 \vec{v}t + \gamma \vec{v}t^{\prime}\]

이므로, $t^{\prime}$에 대해 정리하면

\[t^{\prime} = \gamma t + \left(\frac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)x \label{eqn:lorentz_transform_t} \tag{8}\]

이 성립한다.

또한 맥스웰 방정식과 모순되지 않기 위해 두 기준계에서 광속은 $c$로 같아야 하므로, 이를 이용하여 $\gamma$를 구할 수 있다. $t=0$일 때 두 기준계의 원점이 같은 장소에 있었다고 하면, 이 초기 조건에 의해 $t^\prime = 0$이다. 이제 $t=t^\prime=0$일 때 $S$와 $S^\prime$의 공통원점에서 섬광이 있었고, 각 기준계의 관측자가 이 빛의 속력을 측정하는 상황을 생각해 보자. 이 경우 기준계 $S$에서는

\[x = ct \label{eqn:ct_S}\tag{9}\]

이고, 기준계 $S^\prime$에서는

\[x^\prime = ct^\prime \label{eqn:ct_S_prime}\tag{10}\]

이다. 식 ($\ref{eqn:lorentz_transform_x}$)와 ($\ref{eqn:lorentz_transform_t}$)를 이용하여 위 식의 $x$와 $t$를 치환하면

\[\gamma (x-\vec{v}t) = c\gamma t + \left(\frac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)cx\]

가 된다. 이 식을 $x$에 대해 풀면

\[\left[\gamma-\left(\frac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)c \right]x = c\gamma t + \vec{v}\gamma t\] \[\begin{align*} x &= \cfrac{c\gamma t + \vec{v}\gamma}{\gamma-\left(\cfrac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)c} \\ &= ct\left[ \cfrac{\gamma + \cfrac{\vec{v}}{c}\gamma}{\gamma - \left( \cfrac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}} \right)c} \right] \\ &= ct\left[ \cfrac{1 + \cfrac{\vec{v}}{c}}{1 - \left( \cfrac{1}{\gamma^2}-1 \right)\cfrac{c}{\vec{v}}} \right] \end{align*}\]

이 된다. 그런데 앞서 식 ($\ref{eqn:ct_S}$)에서 $x=ct$이므로,

\[\cfrac{1 + \cfrac{\vec{v}}{c}}{1 - \left( \cfrac{1}{\gamma^2}-1 \right)\cfrac{c}{\vec{v}}} = 1\]

이고, 따라서

\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \label{lorentz_factor}\tag{11}\]

이다. 이 $\vec{v}$에 대한 $\gamma$의 식을 식 ($\ref{eqn:lorentz_transform_x}$), ($\ref{eqn:lorentz_transform_yz}$), ($\ref{eqn:lorentz_transform_t}$)에 대입하면 최종적으로 기준계 $S$에서 $S^\prime$으로의 변환식을 얻는다.

로런츠 변환의 변환 행렬

앞에서 최종적으로 얻은 변환식은 다음과 같다.

• \[x^\prime = \frac{x-\vec{v}t}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \label{eqn:lorentz_transform_x_fin}\tag{12}\]
• \[y^\prime = y \label{eqn:lorentz_transform_y_fin}\tag{13}\]
• \[z^\prime = z \label{eqn:lorentz_transform_z_fin}\tag{14}\]
• \[t^\prime = \frac{t-\cfrac{\vec{v}x}{c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \label{eqn:lorentz_transform_t_fin}\tag{15}\]

이 식들이 로런츠 변환(Lorentz transformation)이다. $\vec{\beta}=\vec{v}/c$로 놓으면 행렬로는 아래와 같이 표현할 수 있다.

\[\begin{pmatrix} x_1^\prime \\ x_2^\prime \\ x_3^\prime \\ ct^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & -\gamma\vec{\beta} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\gamma\vec{\beta} & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ ct \end{pmatrix}. \label{lorentz_transform_matrix}\tag{16}\]

로런츠(Lorentz)는 이 변환식을 사용할 때 모든 관성기준계에서 전자기의 기본 공식들이 같은 형태로 성립함을 보였다. 또한 속력 $v$가 광속 $c$에 비해 매우 작을 때는 $\gamma \to 1$이므로 갈릴레이 변환으로 근사할 수 있다는 것도 확인할 수 있다.

역 로런츠 변환 (inverse Lorentz transformation)

때로는 정지한 계 $S$에서의 측정을 움직이는 계 $S^\prime$에서의 측정으로 변환하는 것보다 역으로 움직이는 계 $S^\prime$에서의 측정을 $S$에서의 측정으로 변환시키는 것이 더 편리한 경우가 있다. 이런 경우에는 역 로런츠 변환(inverse Lorentz transformation)을 사용할 수 있다.
($\ref{lorentz_transform_matrix}$)의 역행렬을 구하면 다음과 같은 역 로런츠 변환 행렬을 얻는다.

\[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ ct \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & \gamma\vec{\beta} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \gamma\vec{\beta} & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1^\prime \\ x_2^\prime \\ x_3^\prime \\ ct^\prime \end{pmatrix}. \tag{17}\]

이는 식 ($\ref{eqn:lorentz_transform_x_fin}$)-($\ref{eqn:lorentz_transform_t_fin}$)의 프라임이 붙은 물리량과 붙지 않은 물리량을 서로 바꾸고 $v$를 $-v$로(즉, $\beta$를 $-\beta$로) 대체한 것과 같다.

• \[x = \frac{x^\prime+\vec{v}t^\prime}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \tag{18}\]
• \[y = y^\prime \tag{19}\]
• \[z = z^\prime \tag{20}\]
• \[t = \frac{t^\prime+\cfrac{\vec{v}x^\prime}{c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \tag{21}\]