2계 비동차 선형 상미분방정식 (Nonhomogeneous Linear ODEs of Second Order)

TL;DR

• 2계 비동차 선형 상미분방정식 $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x)$의 일반해:
  • $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$
  • $y_h$: 동차 상미분방정식 $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0$의 일반해 $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$
  • $y_p$: 해당 비동차 상미분방정식의 특수해
• 응답 항 $y_p$는 입력 $r(x)$에 의해서만 결정되며, 동일한 비동차 상미분방정식에 대해서는 초기조건이 달라져도 $y_p$는 달라지지 않음. 비동차 상미분방정식의 두 특수해의 차는 대응하는 동차 상미분방정식의 해가 됨.
• 일반해의 존재: 비동차 상미분방정식의 계수 $p(x)$, $q(x)$와 입력 함수 $r(x)$가 연속이면 일반해가 항상 존재함
• 특이해의 비존재: 일반해는 방정식의 모든 해를 포함함(즉, 특이해가 존재하지 않음)

Prerequisites

• 2계 동차 선형 상미분방정식 (Homogeneous Linear ODEs of Second Order)
• 브론스키언(Wronskian), 해의 존재와 유일성

2계 비동차 선형 상미분방정식의 일반해와 특수해

2계 비동차 선형 상미분방정식

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}\tag{1}\]

를 생각하자. 여기서 $r(x) \not\equiv 0$이다. 열린 구간 $I$에서 방정식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)의 일반해는 이 비동차 상미분방정식에 대응하는 동차 상미분방정식

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]

의 일반해 $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$와 식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)의 특수해 $y_p$의 합

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) \label{eqn:general_sol}\tag{3}\]

의 형태이다. 또한 구간 $I$에서 방정식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)의 특수해는 $y_h$의 임의의 상수 $c_1$과 $c_2$에 특정한 값을 지정하여 식 ($\ref{eqn:general_sol}$)으로부터 얻는 해이다.

즉, 동차 상미분방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)에 독립변수 $x$에만 의존하는 입력 $r(x)$를 추가하면 그에 대응하는 항 $y_p$가 응답에 추가되며, 이 추가된 응답 항 $y_p$는 초기조건과 무관하게 오직 입력 $r(x)$에 의해 결정된다. 뒤에서 보겠지만 식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)의 임의의 두 해 $y_1$과 $y_2$의 차를 구하면(즉, 서로 다른 두 초기조건에 대한 각각의 특수해의 차를 구하면) 초기조건에 무관한 $y_p$ 부분은 지워져 ${y_h}_1$과 ${y_h}_2$의 차만 남으며, 이는 중첩의 원리에 의해 식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)의 해가 된다.

비동차 상미분방정식의 해와, 그에 대응하는 동차 상미분방정식의 해의 관계

정리 1: 비동차 상미분방정식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)의 해와 동차 상미분방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)의 해의 관계
(a) 어떤 열린 구간 $I$에서 비동차 상미분방정식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)의 해 $y$와 동차 상미분방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)의 해 $\tilde{y}$의 합은 구간 $I$에서 방정식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)의 해이다. 특히 식 ($\ref{eqn:general_sol}$)은 구간 $I$에서 방정식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)의 해이다.
(b) 구간 $I$에서 비동차 상미분방정식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)의 두 해의 차는 구간 $I$에서 동차 상미분방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)의 해이다.

증명

(a)

방정식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)과 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)의 좌변을 $L[y]$라고 표기하자. 그러면 구간 $I$에서 식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)의 임의의 해 $y$와 식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)의 임의의 해 $\tilde{y}$에 대해서도 다음을 만족한다.

\[L[y + \tilde{y}] = L[y] + L[\tilde{y}] = r + 0 = r.\]

(b)

구간 $I$에서 식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)의 임의의 두 해 $y$와 $y^*$에 대하여 다음을 만족한다.

\[L[y - y^*] = L[y] - L[y^*] = r - r = 0.\ \blacksquare\]

비동차 상미분방정식의 일반해는 모든 해를 포함한다

동차 상미분방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)에 대하여 일반해가 모든 해를 포함한다는 것을 알고 있다. 비동차 상미분방정식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)에 대해서도 같은 것이 성립함을 보이자.

정리 2: 비동차 상미분방정식의 일반해는 모든 해를 포함한다
방정식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)의 계수 $p(x)$, $q(x)$와 입력 함수 $r(x)$가 어떤 열린 구간 $I$에서 연속이라면, 구간 $I$에서 식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)의 모든 해는 구간 $I$에서 식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)의 일반해 ($\ref{eqn:general_sol}$)의 $y_h$의 임의의 상수 $c_1$과 $c_2$에 적당한 값을 지정함으로써 얻을 수 있다.

증명

$y^*$을 $I$에서 방정식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)의 어떤 해라고 하고, $x_0$를 구간 $I$ 내의 어떤 $x$라 하자. 연속인 변수계수를 갖는 동차 상미분방정식의 일반해의 존재 정리에 의해 $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$가 존재하고, 추후 알아볼 매개변수변환법(method of variation of parameters)에 의해 $y_p$ 또한 존재하기에 구간 $I$에서 방정식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)의 일반해 ($\ref{eqn:general_sol}$)은 존재한다. 이제 앞서 증명한 정리 1(b)에 의해 $Y = y^* - y_p$는 구간 $I$에서 동차 상미분방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)의 해이며, $x_0$에서

\[\begin{gather*} Y(x_0) = y^*(x_0) - y_p(x_0) \\ Y^{\prime}(x_0) = {y^*}^{\prime}(x_0) - y_p^{\prime}(x_0) \end{gather*}\]

이다. 초기값 문제의 해의 존재성과 유일성의 정리에 의하면 구간 $I$에서 위의 초기조건에 대하여 $y_h$의 $c_1$, $c_2$에 적당한 값을 지정하여 얻을 수 있는 동차 상미분방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)의 특수해 $Y$가 유일하게 존재한다. $y^* = Y + y_p$이므로 비동차 상미분방정식 ($\ref{eqn:nonhomogeneous_linear_ode}$)의 임의의 특수해 $y^*$을 일반해 ($\ref{eqn:general_sol}$)으로부터 얻을 수 있음을 보였다. $\blacksquare$