뉴턴의 운동 법칙

TL;DR

뉴턴의 운동 법칙(Newton’s laws of motion)

1. 외부에서 힘이 작용하지 않는 한, 물체는 정지 또는 등속 직선 운동을 계속한다.
2. 물체의 운동량의 시간적 변화율은 그 물체가 받은 힘과 같다.
   • $\vec{F} = \cfrac{d\vec{p}}{dt} = \cfrac{d}{dt}(m\vec{v}) = m\vec{a}$
3. 두 물체가 서로 힘을 미칠 때 이 두 힘은 크기가 같고 방향이 반대이다.
   • $\vec{F_1} = -\vec{F_2}$

등가의 원리(principle of equivalence)

• 관성 질량: 주어진 힘이 작용한 경우에 물체의 가속도를 결정하는 질량
• 중력 질량: 어떤 물체와 다른 물체 사이에 작용하는 중력을 결정하는 질량
• 현재 관성 질량과 중력 질량은 $10^{-12}$ 정도의 오차 범위로 명백히 일치함이 알려져 있음
• 관성 질량과 중력 질량은 정확하게 같다는 주장을 등가의 원리라고 함

뉴턴의 운동 법칙

뉴턴의 운동 법칙은 아이작 뉴턴(Issac Newton)이 1687년 저서 Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica(자연철학의 수학적 원리, 약칭 ‘프린키피아’)를 통해 발표한 3가지 법칙으로, 뉴턴 역학(Newtonian mechanics)의 근간을 이룬다.

1. 외부에서 힘이 작용하지 않는 한, 물체는 정지 또는 등속 직선 운동을 계속한다.
2. 물체의 운동량의 시간적 변화율은 그 물체가 받은 힘과 같다.
3. 두 물체가 서로 힘을 미칠 때 이 두 힘은 크기가 같고 방향이 반대이다.

뉴턴의 제1법칙

I. 외부에서 힘이 작용하지 않는 한, 물체는 정지 또는 등속 직선 운동을 계속한다.

이처럼 외부에서 힘이 작용하지 않는 상태의 물체를 자유 물체(free body) 또는 자유 입자(free particle)라고 한다. 다만, 제1법칙 단독으로는 힘에 대한 정성적인 개념밖에 주지 않는다.

뉴턴의 제2법칙

II. 물체의 운동량의 시간적 변화율은 그 물체가 받은 힘과 같다.

뉴턴은 운동량(momentum)을 질량과 속도의 곱

\[\vec{p} \equiv m\vec{v} \label{eqn:momentum}\tag{1}\]

로 정의하였다. 이로부터 뉴턴의 제2법칙은 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(m\vec{v}) = m\vec{a}. \label{eqn:2nd_law}\tag{2}\]

뉴턴의 제1법칙과 제2법칙은, 이름과는 달리 사실 ‘법칙’보다는 오히려 힘에 대한 ‘정의’에 가깝다. 또한 힘의 정의는 ‘질량’의 정의에 의존한다는 점을 알 수 있다.

뉴턴의 제3법칙

III. 두 물체가 서로 힘을 미칠 때 이 두 힘은 크기가 같고 방향이 반대이다.

‘작용과 반작용의 법칙’으로도 알려져 있는 물리 법칙이며, 한 물체가 다른 물체에 미치는 힘이 두 작용점 사이를 잇는 직선의 방향을 향하는 경우에 적용된다. 이와 같은 힘을 중심력(central force)이라 하며, 제3법칙은 중심력이 인력이든 척력이든 상관없이 성립한다. 정지한 두 물체 사이의 중력 또는 정전기력, 그리고 탄성력 등이 이러한 중심력에 해당한다. 반면 움직이는 전하 사이의 힘, 움직이는 물체 사이의 중력 등 상호작용하는 두 물체의 속도에 의존하는 힘은 비중심력에 속하며, 이러한 경우 제3법칙은 적용할 수 없다.

앞서 살펴본 질량의 정의를 반영하면 제3법칙을 다음과 같이 바꿔 표현할 수 있다.

III$^\prime$. 두 물체가 이상적인 고립계를 구성할 경우, 이 두 물체의 가속도는 방향이 반대이고 그 크기의 비는 두 물체의 질량의 역 비와 같다.

뉴턴의 제3법칙에 의해서

\[\vec{F_1} = -\vec{F_2} \label{eqn:3rd_law}\tag{3}\]

이고, 여기에 앞서 살펴본 제2법칙 ($\ref{eqn:2nd_law}$)를 대입하면

\[\frac{d\vec{p_1}}{dt} = -\frac{d\vec{p_2}}{dt} \label{eqn:3rd-1_law}\tag{4}\]

이다. 이로부터 두 입자의 고립된 상호작용에서 운동량은 보존됨을 알 수 있다.

\[\frac{d}{dt}(\vec{p_1}+\vec{p_2}) = 0 \label{eqn:conservation_of_momentum}\tag{5}\]

또한 식 ($\ref{eqn:3rd-1_law}$)에서 $\vec{p}=m\vec{v}$이고 질량 $m$은 상수이기 때문에,

\[m_1\left(\frac{d\vec{v_1}}{dt} \right) = m_2\left(-\frac{d\vec{v_2}}{dt} \right) \tag{6a}\] \[m_1(\vec{a_1}) = m_2(-\vec{a_2}) \tag{6b}\]

이 되어 다음을 얻는다.

\[\frac{m_2}{m_1} = -\frac{a_1}{a_2}. \tag{7}\]

그런데 뉴턴의 제3법칙은 두 물체가 고립계를 구성할 경우에 대해 기술하고 있으나, 실제로는 그러한 이상적인 조건을 실현하는 것은 불가능하기에 제3법칙에서의 뉴턴의 주장은 어찌 보면 꽤 무모했다고도 볼 수 있다. 이처럼 제한된 관찰로부터 얻은 결론임에도 불구하고 뉴턴의 깊이 있는 물리적 통찰력 덕에 뉴턴 역학은 거의 300년 동안 각종 실험을 통한 검증에서 오류가 발견되지 않고 굳건한 지위를 차지하였으며, 20세기에 들어서야 뉴턴 이론의 예측과 실제와의 차이를 보일 수 있을 정도의 정밀한 측정이 가능해져 이로부터 상대성 이론과 양자역학이 태동하였다.

관성 질량과 중력 질량

물체의 질량을 정하는 방법 중 하나는, 천칭과 같은 도구를 사용하여 해당 물체의 무게를 표준 무게와 비교하는 것이다. 이 방법은 중력장에서의 물체의 무게가 그 물체에 작용하는 중력의 크기와 같다는 사실을 이용하는 것으로, 이 경우 제2법칙 $\vec{F}=m\vec{a}$는 $\vec{W}=m\vec{g}$의 형태가 된다. 이 방법은 III$^\prime$에서 정의하는 질량 $m$이 중력 방정식에 나타나는 질량 $m$과 같다는 기본 가정에 의한다. 이 두 질량을 각각 관성 질량(inertial mass)과 중력 질량(gravitational mass)이라 하고, 다음과 같이 정의한다.

• 관성 질량: 주어진 힘이 작용한 경우에 물체의 가속도를 결정하는 질량
• 중력 질량: 어떤 물체와 다른 물체 사이에 작용하는 중력을 결정하는 질량

비록 갈릴레오 갈릴레이(Galileo Galilei)와는 무관한 후대에 지어낸 이야기이긴 하나, 피사의 사탑 낙하 실험은 최초로 관성 질량과 중력 질량이 같을 것임을 보인 사고실험이다. 뉴턴 또한 길이가 같고 추의 질량이 다른 진자들의 주기를 측정하여 두 질량 사이에 차이는 발견되지 않음을 보이고자 했으나, 실험 방법과 정확도는 조잡한 수준이었기에 정확한 입증에는 실패하였다.

이후 19세기 말, 헝가리의 물리학자 외트뵈시 로란드 아고슈톤(Eötvös Loránd Ágoston)이 관성 질량과 중력 질량 사이의 차이를 정확하게 측정하기 위한 외트뵈시 실험을 수행하여 관성 질량과 중력 질량이 동일함을 상당한 정확도(2000만 분의 1 이내의 오차)로 입증하였다.

이후 로버트 헨리 딕(Robert Henry Dicke) 등이 수행한 더욱 최근의 실험에서는 정확도를 더욱 높였으며, 현재 관성 질량과 중력 질량은 $10^{-12}$ 정도의 오차 범위로 명백히 일치함이 알려져 있다. 이러한 결과는 일반 상대성 이론에서 대단히 중요한 의미를 가지며, 관성 질량과 중력 질량이 정확하게 같다는 주장을 등가의 원리(principle of equivalence)라고 한다.