상수계수를 갖는 2계 동차 선형 상미분방정식
특성방정식의 판별식의 부호에 따라, 각각의 경우에 상수계수 동차 선형 상미분방정식의 일반해가 어떤 형태를 띄는지 살펴본다.
TL;DR
- 상수계수를 갖는 2계 동차 선형 상미분방정식: $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$
- 특성방정식(characteristic equation): $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$
- 특성방정식의 판별식 $a^2 - 4b$의 부호에 따라 일반해의 형태를 표와 같이 세 가지 경우로 나눌 수 있음
경우 특성방정식의 해 상미분방정식의 해의 기저 상미분방정식의 일반해 I 서로 다른 실근
$\lambda_1$, $\lambda_2$$e^{\lambda_1 x}$, $e^{\lambda_2 x}$ $y = c_1e^{\lambda_1 x} + c_2e^{\lambda_2 x}$ II 실이중근
$\lambda = -\cfrac{1}{2}a$$e^{-ax/2}$, $xe^{-ax/2}$ $y = (c_1 + c_2 x)e^{-ax/2}$ III 켤레복소근
$\lambda_1 = -\cfrac{1}{2}a + i\omega$,
$\lambda_2 = -\cfrac{1}{2}a - i\omega$$e^{-ax/2}\cos{\omega x}$
$e^{-ax/2}\sin{\omega x}$$y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x})$
Prerequisites
특성방정식 (characteristic equation)
계수 $a$와 $b$가 상수인 2계 동차 선형 상미분방정식
\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0 \label{eqn:ode_with_constant_coefficients}\tag{1}\]을 살펴보자. 이러한 형태의 방정식은 기계적, 전기적 진동에서 중요하게 응용된다.
앞서 베르누이 방정식(Bernoulli Equation)에서 로지스틱 방정식의 일반해를 구한 바 있으며, 그에 따르면 상수계수 $k$를 갖는 1계 선형 상미분방정식
\[y^\prime + ky = 0\]의 해는 지수함수 $y = ce^{-kx}$이다. (해당 글의 식 (4)에서 $A=-k$, $B=0$인 경우)
따라서, 비슷한 형태의 방정식인 ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$)에 대해서도
\[y=e^{\lambda x}\label{eqn:general_sol}\tag{2}\]형태의 해를 우선 시도해 볼 수 있다.
물론 이는 어디까지나 추측에 불과하며, 정말로 일반해가 이런 형태일 거라는 보장은 전혀 없다. 하지만 뭐가 되었든 선형 독립인 두 해를 일단 구하기만 한다면, 2계 동차 선형 상미분방정식에서 살펴봤다시피 중첩의 원리에 의해 일반해를 구할 수 있다.
잠시 뒤에 보겠지만, 다른 형태의 해를 구해야 하는 경우도 있다.
식 ($\ref{eqn:general_sol}$)와 그 도함수
\[y^\prime = \lambda e^{\lambda x}, \quad y^{\prime\prime} = \lambda^2 e^{\lambda x}\]을 식 ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$)에 대입하면
\[(\lambda^2 + a\lambda + b)e^{\lambda x} = 0\]을 얻는다. 따라서, 만약 $\lambda$가 특성방정식(characteristic equation)
\[\lambda^2 + a\lambda + b = 0 \label{eqn:characteristic_eqn}\tag{3}\]의 해라면 지수함수 ($\ref{eqn:general_sol}$)는 상미분방정식 ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$)의 해이다. 이차방정식 ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$)의 해를 구하면
\[\begin{align*} \lambda_1 &= \frac{1}{2}\left(-a + \sqrt{a^2 - 4b}\right), \\ \lambda_2 &= \frac{1}{2}\left(-a + \sqrt{a^2 + 4b}\right) \end{align*}\label{eqn:lambdas}\tag{4}\]이고, 이로부터 두 함수
\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x} \tag{5}\]이 방정식 ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$)의 해가 된다.
이제, 특성방정식 ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$)의 판별식 $a^2 - 4b$의 부호에 따라 경우를 세 가지로 나눌 수 있다.
- $a^2 - 4b > 0$: 서로 다른 두 실근
- $a^2 - 4b = 0$: 실이중근
- $a^2 - 4b < 0$: 켤레복소근
특성방정식의 판별식의 부호에 따른 일반해의 형태
I. 서로 다른 두 실근 $\lambda_1$과 $\lambda_2$
이 경우 임의의 구간에서 방정식 ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$)의 해의 기저는
\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x}\]이며, 이에 따른 일반해는
\[y = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} \label{eqn:general_sol_1}\tag{6}\]이다.
II. 실이중근 $\lambda = -\cfrac{a}{2}$
$a^2 - 4b = 0$일 경우 이차방정식 ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$)은 한 개의 해 $\lambda = \lambda_1 = \lambda_2 = -\cfrac{a}{2}$만을 얻게 되며, 따라서 이로부터 얻을 수 있는 $y = e^{\lambda x}$ 형태의 해는
\[y_1 = e^{-(a/2)x}\]의 한 개뿐이다. 기저를 얻기 위해서는 $y_1$과 독립적인 다른 형태의 두 번째 해 $y_2$를 알아내야 한다.
이러한 상황에서 활용할 수 있는 것이 앞서 알아보았던 계수내림이다. 찾고자 하는 두 번째 해를 $y_2=uy_1$으로 놓고,
\[\begin{align*} y_2 &= uy_1, \\ y_2^{\prime} &= u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}, \\ y_2^{\prime\prime} &= u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime} \end{align*}\]을 방정식 ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$)에 대입하면
\[(u^{\prime\prime}y_1 + 2u^\prime y_1^\prime + uy_1^{\prime\prime}) + a(u^\prime y_1 + uy_1^\prime) + buy_1 = 0\]을 얻는다. $u^{\prime\prime}$, $u^\prime$, $u$ 각 항끼리 모아서 정리하면
\[y_1u^{\prime\prime} + (2y_1^\prime + ay_1)u^\prime + (y_1^{\prime\prime} + ay_1^\prime + by_1)u = 0\]이다. 여기서 $y_1$이 방정식 ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$)의 해이기 때문에 마지막 괄호 안의 식은 $0$이며,
\[2y_1^\prime = -ae^{-ax/2} = -ay_1\]이므로 첫 번째 괄호 안의 식 역시 $0$이다. 따라서 $u^{\prime\prime}y_1 = 0$만 남게 되며, 이로부터 $u^{\prime\prime}=0$이다. 두 번 적분하면 $u = c_1x + c_2$가 되며, 적분상수 $c_1$과 $c_2$는 어떤 값이든 될 수 있으므로 단순히 $c_1=1$, $c_2=0$을 선택하여 $u=x$로 놓을 수 있다. 그러면 $y_2 = uy_1 = xy_1$이 되며, $y_1$과 $y_2$는 선형 독립이므로 이 둘은 기저를 형성한다. 따라서 특성방정식 ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$)이 중근을 갖는 경우에 임의의 구간에서의 방정식 ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$)의 해의 기저는
\[e^{-ax/2}, \quad xe^{-ax/2}\]이고, 이에 대응하는 일반해는
\[y = (c_1 + c_2x)e^{-ax/2} \label{eqn:general_sol_2}\tag{7}\]이다.
III. 켤레복소근 $-\cfrac{1}{2}a + i\omega$와 $-\cfrac{1}{2}a - i\omega$
이 경우 $a^2 - 4b < 0$이고 $\sqrt{-1} = i$이므로 식 ($\ref{eqn:lambdas}$)에서
\[\cfrac{1}{2}\sqrt{a^2 - 4b} = \cfrac{1}{2}\sqrt{-(4b - a^2)} = \sqrt{-(b-\frac{1}{4}a^2)} = i\sqrt{b - \frac{1}{4}a^2}\]이며, 여기서 실수 $\sqrt{b-\cfrac{1}{4}a^2} = \omega$로 정의하자.
$\omega$를 위와 같이 정의하면 특성방정식 ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$)의 해는 켤레복소근 $\lambda = -\cfrac{1}{2}a \pm i\omega$가 되며, 이에 대응하는 방정식 ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$)의 두 복소해
\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x}, \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} \end{align*}\]를 얻는다. 다만 이 경우에도 허수가 아닌 실수해의 기저를 다음과 같이 얻을 수 있다.
오일러 공식(Euler formula)
\[e^{it} = \cos t + i\sin t \label{eqn:euler_formula}\tag{8}\]와, 위 식에서 $t$ 자리에 $-t$를 대입하여 얻는
\[e^{-it} = \cos t - i\sin t\]의 두 식을 변끼리 더하고 빼면 다음을 얻는다.
\[\begin{align*} \cos t &= \frac{1}{2}(e^{it} + e^{-it}), \\ \sin t &= \frac{1}{2i}(e^{it} - e^{-it}). \end{align*} \label{eqn:cos_and_sin}\tag{9}\]실수부 $r$과 허수부 $it$를 갖는 복소변수 $z = r + it$의 복소지수함수 $e^z$는 실함수 $e^r$, $\cos t$와 $\sin t$를 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.
\[e^z = e^{r + it} = e^r e^{it} = e^r(\cos t + \sin t) \label{eqn:complex_exp}\tag{10}\]여기서 $r=-\cfrac{1}{2}ax$, $t=\omega x$로 놓으면 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} + i\sin{\omega x}) \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} - i\sin{\omega x}) \end{align*}\]중첩의 원리에 의해 위의 복소해들의 합과 상수곱 또한 해가 된다. 따라서 두 등식을 변끼리 더하고 양변에 $\cfrac{1}{2}$을 곱하면 첫 번째 실수해 $y_1$을 다음과 같이 얻을 수 있다.
\[y_1 = e^{-(a/2)x} \cos{\omega x}. \label{eqn:basis_1}\tag{11}\]같은 방법으로, 첫 번째 등식에서 두 번째 등식을 변끼리 빼고 양변에 $\cfrac{1}{2i}$를 곱하여 두 번째 실수해 $y_2$를 얻을 수 있다.
\[y_2 = e^{-(a/2)x} \sin{\omega x}. \label{eqn:basis_2}\tag{12}\]$\cfrac{y_1}{y_2} = \cot{\omega x}$이고 이는 상수가 아니므로, $y_1$과 $y_2$는 모든 구간에서 선형 독립이며 따라서 방정식 ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$)의 실수해의 기저를 이룬다. 이로부터 일반해
\[y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x}) \quad \text{(}A,\, B\text{는 임의의 상수)} \label{eqn:general_sol_3}\tag{13}\]를 얻는다.