2계 동차 선형 상미분방정식 (Homogeneous Linear ODEs of Second Order)

TL;DR

• 2계 선형 상미분방정식의 표준형: $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x)$
  • 계수(coefficients): 함수 $p$, $q$
  • 입력(input): $r(x)$
  • 출력(output) 또는 응답(response): $y(x)$
• 동차와 비동차
  • 동차(homogeneous): 표준형으로 나타냈을 때 $r(x)\equiv0$인 경우
  • 비동차(nonhomogeneous): 표준형으로 나타냈을 때 $r(x)\not\equiv 0$인 경우
• 중첩의 원리(superposition principle): 동차 선형 상미분방정식 $y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0$에 대하여, 열린 구간 $I$에서 임의의 두 해의 선형 결합은 마찬가지로 주어진 방정식의 해가 된다. 즉, 주어진 동차 선형 상미분방정식에 대한 임의의 해들의 합과 상수곱 역시 해당 방정식의 해가 된다.
• 기저(basis) 또는 기본계(fundamental system): 구간 $I$에서 선형 독립인 동차 선형 상미분방정식의 해의 쌍 $(y_1, y_2)$
• 계수내림(reduction of order): 2계 동차 상미분방정식에 대하여 어떤 한 해를 찾을 수 있다면, 이 해와 선형독립인 두 번째 해, 즉 기저를 1계 상미분방정식을 풀어서 알아낼 수 있으며 이러한 방법을 계수내림이라고 함
• 계수내림의 응용: 일반적인 2계 상미분방정식 $F(x, y, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$은 선형이든 비선형이든 상관없이 다음의 경우에 계수내림을 이용하여 1계로 내릴 수 있음
  • $y$가 명시적으로 나타나지 않는 경우
  • $x$가 명시적으로 나타나지 않는 경우
  • 동차 선형이고 한 개의 해를 이미 알고 있을 경우

Prerequisites

• 모델링(Modeling) 기본 개념
• 변수분리법(Separation of Variables)
• 1계 선형 상미분방정식의 풀이

2계 선형 상미분방정식

2계 상미분방정식을

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = r(x) \label{eqn:standard_form}\tag{1}\]

의 형태로 쓸 수 있으면 선형(linear)이라고 하고, 그렇지 않으면 비선형(nonlinear)이라고 한다.

$p$, $q$, $r$이 임의의 $x$에 대한 함수일 때, 이 방정식은 $y$와 그 도함수들에 대하여 선형이다.

식 ($\ref{eqn:standard_form}$)과 같은 형태를 2계 선형 상미분방정식의 표준형(standard form)이라고 하며, 만약 주어진 2계 선형 상미분방정식의 첫 항이 $f(x)y^{\prime\prime}$이면 방정식의 양변을 $f(x)$로 나누어 표준형을 얻을 수 있다.

함수 $p$, $q$를 계수(coefficients), $r(x)$를 입력(input), $y(x)$를 출력(output) 또는 입력과 초기조건에 대한 응답(response)이라고 한다.

동차 2계 선형 상미분방정식

식 ($\ref{eqn:standard_form}$)을 풀고자 하는 어떤 구간 $a<x<b$를 $J$ 라고 하자. 식 ($\ref{eqn:standard_form}$)에서 구간 $J$에 대해 $r(x)\equiv 0$이면

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode}\tag{2}\]

이고, 이를 동차(homogeneous)라 한다.

비동차 선형 상미분방정식

구간 $J$에서 $r(x)\not\equiv 0$인 경우 비동차(nonhomogeneous) 라고 한다.

중첩의 원리

\[y = c_1y_1 + c_2y_2 \quad \text{(}c_1, c_2\text{는 임의의 상수)}\tag{3}\]

형태의 함수를 $y_1$과 $y_2$의 선형 결합(linear combination)이라고 부른다.

이때 다음이 성립한다.

중첩의 원리(superposition principle) 동차 선형 상미분방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)에 대하여 열린 구간 $I$에서 임의의 두 해의 선형 결합은 마찬가지로 식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)의 해가 된다. 즉, 주어진 동차 선형 상미분방정식에 대한 임의의 해들의 합과 상수곱 역시 해당 방정식의 해가 된다.

증명

$y_1$과 $y_2$가 구간 $I$에서 방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)의 해라 하자. $y=c_1y_1+c_2y_2$를 식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)에 대입하면

\[\begin{align*} y^{\prime\prime} + py^{\prime} + qy &= (c_1y_1+c_2y_2)^{\prime\prime} + p(c_1y_1+c_2y_2)^{\prime} + q(c_1y_1+c_2y_2) \\ &= c_1y_1^{\prime\prime} + c_2y_2^{\prime\prime} + p(c_1y_1^{\prime} + c_2y_2^{\prime}) + q(c_1y_1+c_2y_2) \\ &= c_1(y_1^{\prime\prime} + py_1^{\prime} + qy_1) + c_2(y_2^{\prime\prime} + py_2^{\prime} + qy_2) \\ &= 0 \end{align*}\]

으로 항등식이 된다. 따라서 $y$는 구간 $I$에서 방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)의 해이다. $\blacksquare$

중첩의 원리는 동차 선형 상미분방정식에 대해서만 성립하며, 비동차 선형 상미분방정식 또는 비선형 상미분방정식에서는 성립하지 않음에 유의한다.

기저와 일반해

1계 상미분방정식에서의 주요 개념 복기

이전에 모델링(Modeling) 기본 개념에서 살펴본 것처럼, 1계 상미분방정식에 대한 초기값 문제(Initial Value Problem)는 상미분방정식과 초기조건(initial condition) $y(x_0)=y_0$로 구성된다. 초기조건은 주어진 상미분방정식의 일반해의 임의의 상수 $c$를 결정하기 위하여 필요하며, 이렇게 결정한 해를 특수해라고 한다. 이제 이 개념들을 2계 상미분방정식으로 확장하자.

초기값 문제와 초기조건

2계 동차 상미분방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)에 대한 초기값 문제(initial value problem)는, 주어진 상미분방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)와 2개의 초기조건(initial conditions)

\[y(x_0) = K_0, \quad y^{\prime}(x_0)=K_1 \label{eqn:init_conditions}\tag{4}\]

으로 구성된다. 이 조건은 상미분방정식의 일반해(general solution)

\[y = c_1y_1 + c_2y_2 \label{eqn:general_sol}\tag{5}\]

의 2개의 임의의 상수 $c_1$과 $c_2$를 결정하기 위해 필요하다.

선형 독립과 선형 종속

여기서 잠시 선형 독립과 선형 종속의 개념을 알아보자. 뒤에서 기저를 정의하려면 이를 이해할 필요가 있다.
두 함수 $y_1$과 $y_2$가 정의된 구간 $I$의 모든 점에서

\[k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0 \Leftrightarrow k_1=0\text{이고 }k_2=0 \label{eqn:linearly_independent}\tag{6}\]

이면 이 두 함수 $y_1$과 $y_2$는 구간 $I$에서 선형 독립(linearly independent)이라고 하며, 그렇지 않은 경우 $y_1$과 $y_2$는 선형 종속(linearly dependent)이라고 한다.

만약 $y_1$과 $y_2$가 선형 종속이라면(즉, 명제 ($\ref{eqn:linearly_independent}$)이 참이 아니라면), $k_1 \neq 0$ 또는 $k_2 \neq 0$으로 ($\ref{eqn:linearly_independent}$)의 방정식의 양변을 나누어

\[y_1 = - \frac{k_2}{k_1}y_2 \quad \text{또는} \quad y_2 = - \frac{k_1}{k_2}y_2\]

와 같이 쓸 수 있으므로 $y_1$과 $y_2$가 비례함을 알 수 있다.

기저, 일반해, 특수해

다시 돌아와서, 식 ($\ref{eqn:general_sol}$)가 일반해가 되려면 $y_1$과 $y_2$는 방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)의 해이면서 동시에 구간 $I$에서 서로 비례하지 않고 선형 독립(linearly independent)이어야 한다. 이러한 조건을 만족하는, 구간 $I$에서 선형 독립인 방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)의 해의 쌍(pair) $(y_1, y_2)$를 구간 $I$에서 식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)의 해의 기저(basis) 또는 기본계(fundamental system)라고 한다.

초기조건을 활용하여 일반해 ($\ref{eqn:general_sol}$)의 두 상수 $c_1$과 $c_2$를 결정함으로써, 점 $(x_0, K_0)$를 지나고 그 점에서의 접선의 기울기는 $K_1$인 유일한 해를 얻는다. 이를 상미분방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)의 특수해(particular solution)라고 한다.

식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)가 열린 구간 $I$에서 연속이라면 반드시 일반해를 가지며, 이 일반해는 가능한 모든 특수해를 포함한다. 즉, 이 경우 방정식 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode}$)는 일반해로부터 얻을 수 없는 특이해(singular solution)를 갖지 않는다.

계수내림 (reduction of order)

2계 동차 상미분방정식에 대하여 어떤 한 해를 찾을 수 있다면, 이 해와 선형독립인 두 번째 해, 즉 기저를 다음과 같이 1계 상미분방정식을 풀어서 알아낼 수 있다. 이러한 방법을 계수내림(reduction of order)이라고 한다.

$f(x)y^{\prime\prime}$이 아닌 $y^{\prime\prime}$을 갖는 표준형의 2계 동차 상미분방정식

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^\prime + q(x)y = 0\]

에 대하여, 열린 구간 $I$에서 이 방정식의 한 해 $y_1$을 알고 있다고 하자.

이제 찾고자 하는 두 번째 해를 $y_2 = uy_1$으로 놓고,

\[\begin{align*} y &= y_2 = uy_1, \\ y^{\prime} &= y_2^{\prime} = u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}, \\ y^{\prime\prime} &= y_2^{\prime\prime} = u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime} \end{align*}\]

을 방정식에 대입하면

\[(u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime}) + p(u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}) + quy_1 = 0 \tag{7}\]

을 얻는다. $u^{\prime\prime}$, $u^{\prime}$, $u$ 각 항끼리 모아서 정리하면

\[y_1u^{\prime\prime} + (py_1+2y_1^{\prime})u^{\prime} + (y_1^{\prime\prime} + py_1^{\prime} + qy_1)u = 0\]

이 된다. 그런데 $y_1$은 주어진 방정식의 해이기 때문에, 마지막 괄호 안의 식은 $0$이므로 $u$의 항이 사라지고 $u^{\prime}$과 $u^{\prime\prime}$에 대한 상미분방정식이 남는다. 이 남은 상미분방정식의 양변을 $y_1$으로 나누고, $u^{\prime}=U$, $u^{\prime\prime}=U^{\prime}$으로 놓으면 다음과 같은 1계 상미분방정식을 얻는다.

\[U^{\prime} + \left(\frac{2y_1^{\prime}}{y_1} + p \right) U = 0.\]

변수분리하고 적분하면

\[\begin{align*} \frac{dU}{U} &= - \left(\frac{2y_1^{\prime}}{y_1} + p \right) dx \\ \ln|U| &= -2\ln|y_1| - \int p dx \end{align*}\]

이고, 양변에 지수함수를 취하면 최종적으로

\[U = \frac{1}{y_1^2}e^{-\int p dx} \tag{8}\]

를 얻는다. 앞서 $U=u^{\prime}$으로 놓았으므로 $u=\int U dx$가 되어, 구하고자 하는 두 번째 해 $y_2$는

\[y_2 = uy_1 = y_1 \int U dx\]

이다. $\cfrac{y_2}{y_1} = u = \int U dx$는 $U>0$인 이상 상수가 될 수 없으므로, $y_1$과 $y_2$는 해의 기저를 형성한다.

계수내림의 응용

일반적인 2계 상미분방정식 $F(x, y, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$은, 선형이든 비선형이든 상관없이 $y$가 명시적으로 나타나지 않거나, $x$가 명시적으로 나타나지 않거나, 또는 앞서 본 것과 같이 동차 선형이고 한 개의 해를 이미 알고 있을 때 계수내림을 이용하여 1계로 내릴 수 있다.

$y$가 명시적으로 나타나지 않을 경우

$F(x, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$에서 $z=y^{\prime}$으로 놓으면, $z$에 대한 1계 상미분방정식 $F(x, z, z^{\prime})$으로 내릴 수 있다.

$x$가 명시적으로 나타나지 않을 경우

$F(y, y^\prime, y^{\prime\prime})=0$에서 $z=y^{\prime}$으로 놓으면, $y^{\prime\prime} = \cfrac{d y^{\prime}}{dx} = \cfrac{d y^{\prime}}{dy}\cfrac{dy}{dx} = \cfrac{dz}{dy}z$가 되므로 $y$가 독립변수 $x$의 역할을 대신하는 $z$에 대한 1계 상미분방정식 $F(y,z,z^\prime)$으로 내릴 수 있다.