변수분리법(Separation of Variables)

변수분리법(Separation of Variables)

분리 가능한 방정식(separable equation): 대수적 조작을 통해 $g(y)y’=f(x)$ 꼴로 나타낼 수 있는 방정식.

분리 가능한 방정식 $g(y)y’=f(x)$의 양변을 $x$에 관하여 적분하면

\[\int g(y)y'dx = \int f(x)dx + c\]

를 얻을 수 있고, $y’dx=dy$이므로

\[\int g(y)dy = \int f(x)dx + c\]

와 같이 변수 $x$에 관한 식과 $y$에 관한 식을 각각 우변과 좌변으로 분리할 수 있다. 만약 $f$와 $g$가 연속함수이면 위의 적분들을 계산하여 주어진 미분방정식의 일반해를 얻을 수 있다. 이와 같은 풀이 방법을 변수분리법(separation of variables) 이라 부른다.

모델링 예제: 방사성 탄소 연대측정법 (Radiocarbon Dating)

외치(Oetzi)는 외츠탈(Oetztal) 알프스에서 1991년 발견된 신석기 시대 미라이다. 이 미라의 탄소-12에 대한 탄소-14의 비율이 살아 있는 유기체의 52.5%라면 Oetzi는 대략 언제쯤 살다가 죽었는가?

대기 중과 살아 있는 유기체에서는 탄소-12에 대한 방사성 탄소-14의 비율이 일정하다. 유기체가 죽으면 호흡과 식사에 의한 탄소-14의 흡수가 일어나지 않지만 탄소-14의 붕괴는 계속 일어나므로 방사성 탄소의 비율이 감소한다. 따라서 화석의 방사성 탄소 비율을 대기 중 방사성 탄소 비율과 비교하여 화석의 연대를 추정할 수 있다. 탄소-14의 반감기는 5715년이다.

풀이

상미분방정식 $y’=ky$를 변수분리하고 적분하면

\[\frac {dy}{y}=k dt\] \[\log |y|=kt+c\] \[y=y_{0}e^{kt}\ (y_0=e^c)\]

가 된다. 상수 $k$를 결정하기 위해 반감기 $H=5715$를 사용한다.

\[y_{0}e^{kH}=0.5y_0\] \[e^{kH}=0.5\] \[k=\frac {\log 0.5}{H}=-\frac {0.693}{5715}=-0.0001213.\]

마지막으로 외치(Oetzi)가 죽은 시간 $t$를 구하기 위해 비율 52.5%를 대입하면

\[e^{kt}=e^{-.0.0001213t}=0.525\] \[t=\frac {\log 0.525}{-0.0001213}=5312.\] \[\therefore \text{약 5300년 전}.\]

모델링 예제: 혼합 문제

초기에 탱크에 10kg의 소금이 용해된 1000L의 물이 들어 있다. 소금물이 분당 10L의 속도로 유입되는데 이 소금물에는 리터당 0.2kg의 소금이 용해되어 있다. 탱크 안의 혼합용액은 잘 휘저어져 균일하게 유지되며, 이 소금물이 분당 10L의 속도로 유출된다. 시간 $t$에서 탱크 안 소금의 양 $y(t)$를 구해라.

1. 모델 설정

\[y'=\text{rate in} - \text{rate out}.\]

소금의 유입률은 분당 2kg이다. 소금물의 분당 유출량은 총 소금물 용량의 0.01이므로 소금의 분당 유출량은 $0.01 y(t)$이다. 따라서 모델은 상미분방정식

\[y'=2-0.01y=-0.01(y-200)\]

이다.

2. 모델 풀이

앞서 세운 상미분방정식은 분리 가능하다. 변수분리하고 적분한 뒤 양변에 지수함수를 취하자.

\[\frac {dy}{y-200}=-0.01 dt\] \[\log |y-200| = -0.01t+c^*\] \[y-200=ce^{-0.01t}.\]

초기에 탱크 안의 소금 양은 10kg이므로 초기조건은 $y(0)=10$이다. 위 식에 $y=10,\ t=0$을 대입하면 $10-200=ce^0=c$, 따라서 $c=-190$이다.

\[\therefore y(t)=200-190e^{-0.01t}\]

즉, 주어진 상황에서 탱크 안 소금의 양은 200kg에 지수적으로 접근하여 수렴함을 알 수 있다.

모델링 예제: 뉴턴의 냉각 법칙(Newton’s Law of Cooling)

겨울에 어느 사무실용 건물의 낮 시간대 온도가 20℃로 유지된다고 한다. 난방은 오후 10시에 꺼지고 오전 6시에 다시 켜진다. 어느 날 새벽 2시에 건물 내부 온도가 17.4℃였다. 외부 온도는 오후 10시에 10℃였고 오전 6시에는 4℃로 떨어졌다. 오전 6시에 난방기가 켜질 때 건물 내부 온도는 몇 도였을까?

뉴턴의 냉각 법칙(Newton’s law of cooling)
어떤 물체의 온도 T의 시간에 대한 변화율은 물체와 그 주위의 온도차에 비례한다

1. 모델 설정

$T(t)$를 건물 내부의 온도라 하고 $T_A$를 외부의 온도라 하자. 그러면 뉴턴의 냉각 법칙에 의해

\[\frac {dT}{dt}=k(T-T_A)\]

가 된다.

2. 일반해

$T_A$가 10℃와 4℃ 사이에서 변화한다는 것만 알 뿐 정확히 어떤 값을 가지는지 알 수 없으므로 앞서 세운 식을 풀 수 없다. 이럴 때는 보다 쉬운 문제로 상황을 단순화하여 풀이를 시도하면 도움이 될 수 있다. 알고 있는 두 값의 평균은 7℃이므로, 미지의 함수 $T_A$를 상수함수 $T_A=7$로 가정하자. 정확하지 않더라도, 구하고자 하는 오전 6시의 건물 내부 온도 $T$의 근사적인 값을 얻을 것이라 기대할 수 있다.

상수 $T_A=7$에 대해 앞서 세운 상미분방정식은 분리 가능하다. 변수분리하고 적분하여 지수함수를 취하면 일반해를 얻을 수 있다.

\[\frac {dT}{T-7}=k dt\] \[\log |T-7|=kt+c^*\] \[T(t)=7+ce^{kt} \quad(c=e^{c^*}).\]

3. 특수해

오후 10시를 $t=0$으로 선택하면 주어진 초기조건은 $T(0)=20$이 된다. 이때 얻는 특수해를 $T_p$라고 하자. 대입하면

\[T(0)=7+ce^0=20\] \[c=20-7=13\] \[T_p(t)=7+13e^{kt}.\]

4. $k$의 결정

오전 2시에 건물 내부 온도가 17.4℃였으므로 $T(4)=17.4$이다. 대수적으로 $k$의 값을 구하고 $T_p(t)$에 $k$를 넣으면

\[T_p(4)=7+13e^{4k}=17.4\] \[e^{4k}=0.8\] \[k=\frac {1}{4} \log 0.8=-0.056\] \[T_p(t)=7+13e^{-0.056t}.\]

5. 답과 해석

오전 6시는 $t=8$이므로

\[T_p(8)=7+13e^{-0.056\cdot8}=15.3\text{[℃]}.\]

모델링 예제: 토리첼리의 정리(Torricelli’s Theorem)

탱크의 직경이 2m이고 구멍의 지름이 1cm이며 구멍을 열 때 물의 초기 높이가 2.25m이다. 임의의 시간에 탱크의 물의 높이와, 탱크가 빌 때까지 걸리는 시간을 구하라.

토리첼리의 정리(Torricelli’s theorem)
중력의 영향하에서 유출되는 물의 속력은

\[v(t)=0.600\sqrt{2gh(t)}.\]

$h(t)$: 시간 $t$에서 구멍 위의 물의 높이 $g=980\text{cm/s²}$: 지표면에서의 중력가속도

1. 모델 설정

짧은 시간 $\Delta t$ 동안의 유출량 $\Delta V$는

\[\Delta V = Av\Delta t \qquad (A: \text{구멍의 면적})\]

이다. $\Delta V$는 탱크 안의 물의 부피의 변화 $\Delta V^*$와 같아야 한다. 또한

\[\Delta V^* = -B\Delta h \qquad (B: \text{탱크의 단면적})\]

인데, 여기서 $\Delta h(>0)$는 물의 높이 $h(t)$의 감소량이다. $\Delta V$와 $\Delta V^*$를 같다고 놓으면

\[-B\Delta h = Av\Delta t\]

를 얻는다. 이제 토리첼리의 정리에 따라서 $v$를 나타내고, $\Delta t$를 한없이 0에 가까워지도록 하면 다음과 같이 1계 상미분방정식으로 표현되는 모델을 얻는다.

\[\frac {\Delta h}{\Delta t} = -\frac {A}{B}v = -\frac{A}{B}0.600\sqrt{2gh(t)}\] \[\frac {dh}{dt} = \lim_{t\to0}\frac {\Delta h}{\Delta t} = -26.56\frac {A}{B}\sqrt{h}.\]

2. 일반해

이 상미분방정식은 분리 가능하다. 변수분리하고 적분하면

\[\frac {dh}{\sqrt{h}} = -26.56\frac{A}{B}dt\] \[2\sqrt{h} = c^* - 26.56\frac{A}{B}t\]

이다. 양변을 2로 나누고 제곱하면 $h=(c-13.28At/B)^2$을 얻는다. $13.28A/B=13.28 \cdot 0.5^2 \pi /100^2 \pi = 0.000332$를 대입하면 일반해

\[h(t)=(c-0.000332t)^2\]

를 얻는다.

3. 특수해

초기조건은 $h(0)=225\text{cm}$이다. $t=0$과 $h=225$를 대입하면 일반해로부터 $c^2=225, c=15.00$을 얻고, 따라서 특수해

\[h_p(t)=(15.00-0.000332t)^2\]

를 얻는다.

4. 탱크가 비기까지 걸리는 시간

\[t = 15.00/0.000332 = 45181 \text{[s]} = 12.6 \text{[h]}.\]

분리 가능한 형태(separable form)로의 변환

분리 가능하지 않은 상미분방정식을 $y$에 대한 새로운 미지함수를 도입하는 변환을 통해 분리 가능하게 만들 수 있는 경우도 있다.

\[y'=f\left(\frac {y}{x}\right).\]

이와 같은 상미분방정식을 풀 때는 $y/x=u$로 놓으면

\[y=ux,\quad y'=u'x+u\]

이므로, $y’=f(y/x)$에 대입하면 $u’x=f(u)-u$를 얻는다. 만약 $f(u)-u\neq0$이면

\[\frac {du}{f(u)-u}=\frac {dx}{x}\]

로 분리된다.