방사 평형 계산

TL;DR

임의의 시간 t에서의 방사능

\[\begin{align*} \alpha (t) &= \lambda n(t) \\ &= \alpha_0 e^{-\lambda t} \\ &= \alpha_0 e^{-0.693t/T_{1/2}} \end{align*}\]

붕괴상수와 반감기, 평균수명의 관계

\[\begin{align*} T_{1/2}&=\frac {\ln 2}{\lambda} = \frac {0.693}{\lambda} \\ \\ \overline{t}&=\frac {1}{\lambda} \\ &=\frac {T_{1/2}}{0.693}=1.44T_{1/2} \end{align*}\]

붕괴상수(Decay Constant)

• 어떤 핵이 단위시간당 붕괴할 확률
• 시간에 무관하게 일정한, 핵종에 따라서만 결정되는 상수
• 기호 $\lambda$로 표기

방사능(Radioactivity)

시간 $t$에서 아직 붕괴하지 않은 핵의 개수를 n(t)라 하면, 시간 $t$와 $t+dt$ 사이의 간격 $dt$ 동안 평균적으로 $\lambda n(t)$개의 핵이 붕괴한다. 이러한 붕괴율을 그 샘플의 방사능(radioactivity) 라 하며, 기호 $\alpha$로 표기한다. 따라서 어떤 시간 $t$에서의 방사능은 다음과 같다.

\[\alpha (t)=\lambda n(t) \tag{1}\]

방사능의 단위

퀴리(Curie, Ci)

• 베크렐 단위를 사용하기 전에 전통적으로 사용한 단위
• 라듐-226 1g이 지닌 방사능
• 초당 $3.7\times 10^{10}$회의 핵붕괴($3.7\times 10^{10}\text{Bq}$)

베크렐(Becquerel, Bq)

• 국제표준(SI) 단위
• 초당 1회의 핵붕괴
• $1 \text{Bq} = 2.703\times 10^{-11}\text{Ci} = 27\text{pCi}$

시간에 따른 방사능 변화 계산

시간 $dt$ 동안 $\lambda n(t)$개의 핵이 붕괴하므로, $dt$ 동안 샘플 안에서 붕괴하지 않고 남아 있는 핵의 감소량은 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[-dn(t)=\lambda n(t)dt\]

이를 적분하면

\[n(t)=n_0e^{-\lambda t} \tag{2}\]

이 된다. 양변에 $\lambda$를 곱하면 방사능은

\[\alpha (t)=\alpha_0e^{-\lambda t} \tag{3}\]

이다.

방사능은 반감기(half-life) 동안 반으로 줄어드므로

\[\alpha (T_{1/2})=\alpha_0/2\]

이를 식 (3)에 대입하면

\[\alpha_0/2=\alpha_0e^{-\lambda T_{1/2}}\]

이 된다. 양변에 로그를 취하고 반감기 $T_{1/2}$에 대해 구하면

\[T_{1/2}=\frac {\ln 2}{\lambda}=\frac {0.693}{\lambda} \tag{4}\]

위 식을 $\lambda$에 대해 풀어 식 (3)에 대입하면

\[\alpha (t)=\alpha_0e^{-0.693t/T_{1/2}} \tag{5}\]

식 (5)가 식(3)보다 방사성 붕괴 계산에 사용하기 더 용이한 경우가 많은데, 붕괴상수보다는 반감기 값이 주어지는 경우가 더 흔하기 때문이다.

방사성 핵의 평균수명(mean-life) $\overline{t}$는 붕괴상수의 역수이다.

\[\overline{t}=1/\lambda\]

식 (3)으로부터, 한 번의 평균수명 동안 방사능은 초깃값의 $1/e$로 떨어진다는 것을 알 수 있다. 식 (4)로부터 평균수명과 반감기는 아래와 같은 관계가 성립한다.

\[\overline{t}=\frac {T_{1/2}}{0.693}=1.44T_{1/2} \tag{6}\]

※ 평균수명 $\overline{t}$ 유도

\[\begin{align*} \overline{t}&=\frac {\int_0^\infty t\alpha(t)}{\int_0^\infty t} = \frac {\int_0^\infty t\alpha(t)}{n_0} \\ &= \frac {\int_0^\infty n_0 \lambda te^{-\lambda t}}{n_0} \\ &= \int_0^\infty \lambda te^{-\lambda t} \\ &= \left[-te^{-\lambda t}\right]_0^\infty +\int_0^\infty e^{-\lambda t} \\ &=\left[-\frac {1}{\lambda} e^{-\lambda t}\right]_0^\infty \\ &=\frac {1}{\lambda} \end{align*}\]

예제: 방사성 붕괴 사슬 1

어떤 방사성 핵종이 $R$ atom/s의 속도로 생성된다고 가정하자. 이 핵은 생기자마자 바로 방사성 붕괴가 일어난다. 임의의 시각 t에서 이 핵종의 방사능을 구하라.

flowchart LR
	Start[?] -- R --> A[수학적 모델]
	A -- α --> End[?]

1. 모델 설정

\[\text{시간에 따른 핵종 변화율} = \text{생성률}-\text{손실률}\]

수학 기호로 표현하면

\[dn/dt = -\lambda n + R\]

이다.

2. 일반해

$n$에 관한 항을 모두 좌변으로 이항하고, 양변에 $e^{\lambda t}$를 곱하자.

\[\frac {dn}{dt} + \lambda n = R\] \[e^{\lambda t}\frac {dn}{dt} + \lambda e^{\lambda t}n = Re^{\lambda t}\]

$\lambda e^{\lambda t}=\frac {d}{dt} e^{\lambda t}$이므로 다음과 같이 정리할 수 있다.

\[e^{\lambda t}\frac {dn}{dt}+\left(\frac {d}{dt} e^{\lambda t}\right)n = Re^{\lambda t}\]

양변을 적분하면 다음의 일반해를 얻는다.

\[e^{\lambda t}n=\frac {R}{\lambda}e^{\lambda t}+c\] \[n=ce^{-\lambda t}+\frac {R}{\lambda}\]

3. 특수해

$t=0$일 때 이 핵종의 개수가 $n_0$라 하고 상수 $c$의 값을 구하자.

\[n(0)=c+\frac {R}{\lambda}=n_0\] \[c=n_0-\frac {R}{\lambda}\]

따라서 주어진 상황에 맞는 특수해는 다음과 같다.

\[n = n_0e^{-\lambda t}+\frac {R}{\lambda}(1-e^{-\lambda t}) \tag{7}\]

이다. 위 식의 양변에 $\lambda$를 곱해 이 핵종의 방사능을 구할 수 있다.

\[\alpha = \alpha_0e^{-\lambda t}+R(1-e^{-\lambda t}) \tag{8}\]

즉, $t\to\infty$ 일 때 $\alpha_{\text{max}}=R$, $n_{\text{max}}=R/\lambda$로 수렴한다.

예제: 방사성 붕괴 사슬 2

아래와 같은 붕괴 사슬에서 방사성 핵종 B의 방사능을 계산하라.

flowchart LR
	A --> B
	B --> C

1. 모델 설정

\[\text{B 핵의 개수 변화율}=\text{A의 붕괴로 인한 생성률}-\text{B의 C로의 붕괴율}\] \[\frac {dn_B}{dt} = -\lambda_B n_B + \lambda_A n_A\]

$n_A$에 대해 식 (2)를 대입하면 $n_B$에 대한 다음의 미분방정식을 얻는다.

\[\frac {dn_B}{dt} = -\lambda_B n_B + \lambda_A n_{A0}e^{-\lambda_A t} \tag{9}\]

2. 일반해

미분방정식을 풀기 위해 $n_B$에 대한 항을 모두 좌변으로 이항하고, 양변에 $e^{\lambda_B t}$를 곱하자.

\[\frac {dn_B}{dt} + \lambda_B n_B = n_{A0}\lambda_A e^{-\lambda_A t}\] \[e^{\lambda_B t}\frac {dn_B}{dt} + \lambda_B e^{\lambda_B t}n_B = n_{A0}\lambda_A e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}\]

$\lambda_B e^{\lambda_B t}=\frac {d}{dt} e^{\lambda_b t}$이므로 다음과 같이 정리할 수 있다.

\[e^{\lambda_B t}\frac {dn_B}{dt} + \left(\frac {d}{dt} e^{\lambda_B t}\right)n_B = n_{A0}\lambda_A e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}\]

양변을 적분하면

\[e^{\lambda_B t}n_B = \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}+c\]

이다. 양변을 $e^{\lambda_B t}$로 나누면 다음의 일반해를 얻는다.

\[n_B = \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}e^{-\lambda_A t}+ce^{-\lambda_B t}\]

3. 특수해

$t=0$일 때 B 원소의 개수가 $n_{B0}$라고 하고 상수 $c$의 값을 구하자.

\[n_B(0)=\frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}+c=n_{B0}\] \[c=n_{B0}-\frac{n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}\]

따라서 주어진 상황에 맞는 특수해는 다음과 같다.

\[n_B = n_{B0}e^{-\lambda_B t} + \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} (e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t}) \tag{10}\] \[\therefore \alpha_B = \alpha_{B0} e^{-\lambda_B t} + \frac {\alpha_{A0}\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} (e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t}) \tag{11}\]