모델링(Modeling) 기본 개념

모델링(Modeling)

• 모델(model): 풀고자 하는 공학문제를 변수, 함수, 방정식 등을 통하여 수학적 식으로 공식화한 것
• 수학적 모델링(mathematical modeling) 또는 모델링(modeling): 모델을 세우고, 그것을 수학적으로 풀고, 그 결과를 해석하는 과정

flowchart LR
	title([모델링])
	A[물리시스템] --> B[수학적 모델]
	B[수학적 모델] --> C[수학적 풀이]
	C[수학적 풀이] --> D[물리적 해석]

속도나 가속도와 같은 많은 물리적 개념들이 도함수이므로 모델은 미지함수의 도함수를 포함하는 방정식, 곧 미분방정식(differential equation) 꼴인 경우가 많음.

상미분방정식(ODE)와 편미분방정식(PDE)

상미분방정식(ODE)

상미분방정식(ordinary differential equation; ODE): 미지함수의 $n$계 도함수를 포함하는 방정식

예)

\[y' = \cos x\] \[y'' + 9y = e^{-2x}\] \[y'y''' - \frac{3}{2}y'^{2} = 0\]

편미분방정식(PDE)

편미분방정식(partial differential equation; PDE): 두 개 이상의 변수를 가진 미지함수의 편도함수를 포함하는 방정식

예)

\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\]

해(Solution)

함수 $h(x)$가 어떤 열린 구간 $(a, b)$에서 정의되고 미분 가능하며 $y$와 $y’$을 각각 $h$와 $h’$으로 대체할 때 주어진 상미분방정식이 항등식이 되는 경우, 함수

\[y = h(x)\]

를 구간 $(a, b)$에서 주어진 상미분방정식의 해(solution), $h$의 곡선을 해곡선(solution curve) 이라 부른다.

예)

\[y'=\cos x \Leftrightarrow y=\sin x+c\] \[y'=0.2y \Leftrightarrow y=ce^{0.2t}\]

이처럼 임의의 상수 $c$를 포함하는 해를 상미분방정식의 일반해(general solution) 라고 부른다.

기하학적으로 상미분방정식의 일반해는 무한히 많은 해곡선의 모임이며, 상수 $c$의 각각의 값마다 한 개의 곡선이 대응한다. 특정한 상수 $c$를 선택하면 상미분방정식의 특수해(particular solution) 를 얻는다.

초기값 문제(Initial Value Problem)

주어진 문제의 특수해를 얻기 위해서는 임의의 상수 $c$의 값을 결정해야 하는데, 많은 경우 $y(x_{0})=y_{0}$ 또는 $y(t_{0})=y_{0}$와 같은 초기조건(initial condition) 을 통해 알아낼 수 있다(독립변수가 시간이 아니거나 $t_{0}\neq0$이라 해도 초기조건이라고 부른다). 초기조건을 갖는 상미분방정식을 초기값 문제(initial value problem) 라고 한다.

예)

\[y'=f(x,y),\qquad y(x_{0})=y_{0}\]

모델링 예제: 방사성 물질의 지수적 감쇠

방사성 물질의 양이 0.5g으로 주어졌을 때, 이후의 시간에 남은 양을 구하라.

실험에 의하면 방사능 물질은 매 순간 남아있는 물질의 양에 비례하는 속도로 분해되고, 따라서 시간에 따라 감쇠한다.

1. 수학적 모델 설정

시간 $t$에서 남아 있는 물질의 양을 $y(t)$로 나타내자. $y’(t)$ 는 $y(t)$에 비례하므로 1계 상미분방정식

\[\frac {dy}{dt} = -ky\]

를 얻는다(상수 $k>0$).

또한 초기조건 $y(0)=0.5$를 알고 있다. 따라서 수학적 모델을 다음과 같은 초기값 문제로 설정할 수 있다.

\[\frac {dy}{dt} = -ky, \qquad y(0)=0.5\]

2. 수학적 풀이

앞서 세운 상미분방정식의 일반해는 다음과 같다(변수분리법 참고).

\[y(t)=ce^{-kt}\]

$y(0)=c$이므로 초기조건으로부터 $y(0)=c=0.5$를 얻는다. 따라서 구하고자 하는 특수해는

\[y(t)=0.5e^{-kt} \quad(k>0)\]

이 된다.

3. 해의 물리적 해석

앞서 구한 해는 임의의 시간 $t$에서 방사성 물질의 양을 나타낸다. 방사성 물질의 양은 초기값 0.5(g)에서 시작하여 시간에 따라 감소하며, $t \to \infty$ 일 때 $y$의 극한값은 $0$이다.