ロンスキアン(Wronskian)、解の存在と一意性
連続な任意の変数係数を持つ2階同次線形常微分方程式について、初期値問題の解の存在性と一意性の定理、ロンスキアン(Wronskian)を用いた解の線形従属/線形独立の判別法を学ぶ。また、これを用いてこのような形の方程式は常に一般解を持ち、この一般解は方程式のすべての解を含むことを示す。
TL;DR
区間 $I$で連続な任意の変数係数 $p$と $q$を持つ2階同次線形常微分方程式
\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0\]と初期条件
\[y(x_0)=K_0, \qquad y^{\prime}(x_0)=K_1\]について、次の4つの定理が成り立つ。
- 初期値問題の解の存在性と一意性の定理: 与えられた方程式および初期条件で構成される初期値問題は区間 $I$で唯一の解 $y(x)$を持つ。
- ロンスキアン(Wronskian)を用いた解の線形従属/線形独立の判別: 方程式の二つの解 $y_1$と $y_2$について、区間 $I$内にロンスキアン(Wronskian) $W(y_1, y_2) = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime}$の値が $0$となる $x_0$が存在するならば、二つの解は線形従属である。また、区間 $I$内に $W\neq 0$となる $x_1$が存在するならば、二つの解は線形独立である。
- 一般解の存在: 与えられた方程式は区間 $I$で一般解を持つ。
- 特異解の非存在: この一般解は方程式のすべての解を含む（つまり、特異解は存在しない）。
Prerequisites
- 1階線形常微分方程式の解法
- 2階同次線形常微分方程式 (Homogeneous Linear ODEs of Second Order)
- 定数係数を持つ2階同次線形常微分方程式
- オイラー・コーシー方程式
- 逆行列と特異行列、行列式
連続な任意の変数係数を持つ同次線形常微分方程式
前回定数係数を持つ2階同次線形常微分方程式とオイラー・コーシー方程式の一般解を学びました。 この記事では議論をより一般的な場合に拡張し、連続な任意の変数係数(variable coefficient) $p$と $q$を持つ2階同次線形常微分方程式
\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}\tag{1}\]の一般解の存在性と形態を調べます。さらに、常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)と次の二つの初期条件
\[y(x_0)=K_0, \qquad y^{\prime}(x_0)=K_1 \label{eqn:initial_conditions}\tag{2}\]で構成される初期値問題の一意性も調べます。
結論から先に言えば、連続な係数を持つ線形常微分方程式は特異解(singular solution)（一般解から得られない解）を持たないということがここで扱う内容の核心です。
初期値問題の解の存在性と一意性の定理
初期値問題の解の存在性と一意性の定理(Existence and Uniqueness Theorem for Initial Value Problems)
もし $p(x)$と $q(x)$がある開区間 $I$で連続関数であり、$x_0$が区間 $I$内にあるならば、式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)と ($\ref{eqn:initial_conditions}$)で構成される初期値問題は区間 $I$で唯一の解 $y(x)$を持つ。
存在性に関する証明はここでは扱わず、一意性の証明のみを見ていきます。通常、一意性を証明する方が存在性を証明するよりも簡単です。
証明に興味がない場合は、この部分をスキップして解の線形従属と線形独立に進んでも構いません。
一意性の証明
常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)と初期条件 ($\ref{eqn:initial_conditions}$)で構成される初期値問題が区間 $I$で二つの解 $y_1(x)$と $y_2(x)$を持つと仮定します。これら二つの解の差
\[y(x) = y_1(x) - y_2(x)\]が区間 $I$で恒等的に $0$となることを示せれば、区間 $I$で $y_1 \equiv y_2$ということになり、解の一意性を意味します。
方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)が同次線形常微分方程式であるため、$y_1$と $y_2$の線形結合である $y$は $I$で方程式の解となります。$y_1$と $y_2$が同じ初期条件 ($\ref{eqn:initial_conditions}$)を満たすので、$y$は条件
\[\begin{align*} & y(x_0) = y_1(x_0) - y_1(x_0) = 0, \\ & y^{\prime}(x_0) = y_1^{\prime}(x_0) - y_2^{\prime}(x_0) = 0 \end{align*} \label{eqn:initial_conditions_*}\tag{3}\]を満たします。ここで関数
\[z(x) = y(x)^2 + y^{\prime}(x)^2\]とその導関数
\[z^{\prime} = 2yy^{\prime} + 2y^{\prime}y^{\prime\prime}\]を考えます。常微分方程式から
\[y^{\prime\prime} = -py^{\prime} - qy\]を得て、これを $z^{\prime}$に関する式に代入すると
\[z^{\prime} = 2yy^{\prime} - 2p{y^{\prime}}^2 - 2qyy^{\prime} \label{eqn:z_prime}\tag{4}\]を得ます。ここで $y$と $y^{\prime}$が実数であるため
\[(y\pm y^{\prime})^2 = y^2 \pm 2yy^{\prime} + {y^{\prime}}^2 \geq 0\]となります。これと $z$の定義から二つの不等式
\[(a)\ 2yy^{\prime} \leq y^2 + {y^{\prime}}^2 = z, \qquad (b)\ 2yy^{\prime} \geq -(y^2 + {y^{\prime}}^2) = -z \label{eqn:inequalities}\tag{5}\]を得ることができます。これら二つの不等式から $|2yy^{\prime}|\leq z$であることがわかり、式 ($\ref{eqn:z_prime}$)の最後の項については次の不等式が成り立ちます。
\[\pm2qyy^{\prime} \leq |\pm 2qyy^{\prime}| = |q||2yy^{\prime}| \leq |q|z.\]この結果と $-p \leq |p|$を用いて、式 ($\ref{eqn:z_prime}$)の項 $2yy^{\prime}$に式 ($\ref{eqn:inequalities}$a)を適用すると
\[z^{\prime} \leq z + 2|p|{y^{\prime}}^2 + |q|z\]となります。${y^{\prime}}^2 \leq y^2 + {y^{\prime}}^2 = z$であるため、これから
\[z^{\prime} \leq (1 + 2|p| + |q|)z\]を得て、括弧内の関数を $h = 1 + 2|p| + |q|$とすると
\[z^{\prime} \leq hz \quad \forall x \in I \label{eqn:inequality_6a}\tag{6a}\]となります。同様の方法で、式 ($\ref{eqn:z_prime}$)と ($\ref{eqn:inequalities}$)から
\[\begin{align*} -z^{\prime} &= -2yy^{\prime} + 2p{y^{\prime}}^2 + 2qyy^{\prime} \\ &\leq z + 2|p|z + |q|z = hz \end{align*} \label{eqn:inequality_6b}\tag{6b}\]を得ます。これら二つの不等式 ($\ref{eqn:inequality_6a}$)、($\ref{eqn:inequality_6b}$)は次の不等式
\[z^{\prime} - hz \leq 0, \qquad z^{\prime} + hz \geq 0 \label{eqn:inequalities_7}\tag{7}\]と同等であり、二つの式の左辺に対する積分因子は
\[F_1 = e^{-\int h(x)\ dx} \qquad \text{と} \qquad F_2 = e^{\int h(x)\ dx}\]です。$h$が連続であるため不定積分 $\int h(x)\ dx$は存在し、$F_1$と $F_2$が正であるため式 ($\ref{eqn:inequalities_7}$)から
\[F_1(z^{\prime} - hz) = (F_1 z)^{\prime} \leq 0, \qquad F_2(z^{\prime} + hz) = (F_2 z)^{\prime} \geq 0\]を得ます。これは区間 $I$で $F_1 z$が増加せず、$F_2 z$が減少しないことを意味します。式 ($\ref{eqn:initial_conditions_*}$)により $z(x_0) = 0$であるため、
\[\begin{cases} \left(F_1 z \geq (F_1 z)_{x_0} = 0\right)\ \& \ \left(F_2 z \leq (F_2 z)_{x_0} = 0\right) & (x \leq x_0) \\ \left(F_1 z \leq (F_1 z)_{x_0} = 0\right)\ \& \ \left(F_2 z \geq (F_2 z)_{x_0} = 0\right) & (x \geq x_0) \end{cases}\]となります。最後に不等式の両辺を正の値 $F_1$と $F_2$で割ると、次のように解の一意性を示すことができます。
\[(z \leq 0) \ \& \ (z \geq 0) \quad \forall x \in I\] \[z = y^2 + {y^{\prime}}^2 = 0 \quad \forall x \in I\] \[\therefore y \equiv y_1 - y_2 \equiv 0 \quad \forall x \in I. \ \blacksquare\]解の線形従属と線形独立
2階同次線形常微分方程式で扱った内容を少し思い出しましょう。開区間 $I$での一般解は $I$での基底(basis) $y_1$、$y_2$、つまり線形独立な解のペアから作られます。ここで $y_1$と $y_2$が区間 $I$で線形独立(linearly independent)であるとは、区間内のすべての $x$について次を満たすことを意味します。
\[k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0 \Leftrightarrow k_1=0\text{かつ }k_2=0 \label{eqn:linearly_independent}\tag{8}\]もし上記を満たさず、少なくとも一つの $0$でない $k_1$、$k_2$について $k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0$が成り立つ場合、$y_1$と $y_2$は区間 $I$で線形従属(linearly dependent)です。この場合、区間 $I$のすべての $x$について
\[\text{(a) } y_1 = ky_2 \quad \text{または} \quad \text{(b) } y_2 = ly_1 \label{eqn:linearly_dependent}\tag{9}\]となり、$y_1$と $y_2$は比例します。
ここで次の解の線形独立/線形従属の判別法を見ていきましょう。
ロンスキアン(Wronskian)を用いた解の線形従属/線形独立の判別
\[W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1^{\prime} & y_2^{\prime} \\ \end{vmatrix} = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime} \label{eqn:wronskian}\tag{10}\]
i. 常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)が開区間 $I$で連続な係数 $p(x)$と $q(x)$を持つならば、区間 $I$で方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)の二つの解 $y_1$と $y_2$が線形従属となるための必要十分条件は、これらの解のロンスキー行列式(Wronski determinant)、略してロンスキアン(Wronskian)と呼ばれる次の行列式が区間 $I$内のある $x_0$で $0$となることである。
\[\exists x_0 \in I: W(x_0)=0 \iff y_1 \text{と } y_2 \text{は線形従属}\]ii. 区間 $I$内の一点 $x=x_0$で $W=0$ならば、区間 $I$内のすべての $x$で $W=0$である。
\[\exists x_0 \in I: W(x_0)=0 \implies \forall x \in I: W(x)=0\]つまり、$W\neq 0$となる $x_1$が区間 $I$に存在するならば、その区間 $I$では $y_1$、$y_2$は線形独立である。
\[\begin{align*} \exists x_1 \in I: W(x_0)\neq 0 &\implies \forall x \in I: W(x)\neq 0 \\ &\implies y_1 \text{と } y_2 \text{は線形独立} \end{align*}\]
ロンスキアンはポーランドの数学者ユゼフ・マリア・ホエネ＝ヴロンスキ(Józef Maria Hoene-Wroński)によって初めて導入され、彼の死後の11882 HEにスコットランドの数学者トーマス・ミュア(Sir Thomas Muir)によって現在の名前が付けられました。
証明
i. (a)
区間 $I$で $y_1$と $y_2$が線形従属であるとします。すると区間 $I$で式 ($\ref{eqn:linearly_dependent}$a)または($\ref{eqn:linearly_dependent}$b)が成り立ちます。もし式 ($\ref{eqn:linearly_dependent}$a)が成り立つならば
\[W(y_1, y_2) = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime} = ky_2ky_2^{\prime} - y_2ky_2^{\prime} = 0\]となり、同様に式 ($\ref{eqn:linearly_dependent}$b)が成り立つ場合も
\[W(y_1, y_2) = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime} = y_1ly_1^{\prime} - ly_1y_1^{\prime} = 0\]となるため、区間 $I$内のすべての $x$についてロンスキアン $W(y_1, y_2)=0$であることが確認できます。
i. (b)
逆に、ある $x = x_0$で $W(y_1, y_2)=0$である場合、区間 $I$で $y_1$と $y_2$が線形従属となることを示します。未知数 $k_1$、$k_2$に関する線形連立方程式
\[\begin{gather*} k_1y_1(x_0) + k_2y_2(x_0) = 0 \\ k_1y_1^{\prime}(x_0) + k_2y_2^{\prime}(x_0) = 0 \end{gather*} \label{eqn:linear_system}\tag{11}\]を考えます。これは次のようなベクトル方程式の形で表現できます。
\[\left[\begin{matrix} y_1(x_0) & y_2(x_0) \\ y_1^{\prime}(x_0) & y_2^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} k_1 \\ k_2 \end{matrix}\right] = 0 \label{eqn:vector_equation}\tag{12}\]このベクトル方程式の係数行列は
\[A = \left[\begin{matrix} y_1(x_0) & y_2(x_0) \\ y_1^{\prime}(x_0) & y_2^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right]\]であり、この行列の行列式はすなわち $W(y_1(x_0), y_2(x_0))$です。$\det(A) = W=0$であるため、$A$は逆行列(inverse matrix)が存在しない特異行列(singular matrix)であり、したがって連立方程式 ($\ref{eqn:linear_system}$)は $k_1$と $k_2$の少なくとも一方は $0$でないゼロベクトル $(0,0)$以外の解 $(c_1, c_2)$を持ちます。ここで関数
\[y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)\]を導入します。方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)が同次線形であるため、重ね合わせの原理によりこの関数は区間 $I$で ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)の解となります。式 ($\ref{eqn:linear_system}$)からこの解は初期条件 $y(x_0)=0$、$y^{\prime}(x_0)=0$を満たすことがわかります。
一方、同じ初期条件 $y^*(x_0)=0$、${y^*}^{\prime}(x_0)=0$を満たす自明解 $y^* \equiv 0$が存在します。方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)の係数 $p$と $q$が連続であるため、初期値問題の解の存在性と一意性の定理により解の一意性が保証され、したがって $y \equiv y^*$です。つまり、区間 $I$で
\[c_1y_1 + c_2y_2 \equiv 0\]となります。$c_1$と $c_2$の少なくとも一方は $0$でないため ($\ref{eqn:linearly_independent}$)を満たさず、これは区間 $I$で $y_1$、$y_2$が線形従属であることを意味します。
ii.
もし区間 $I$内のある一点 $x_0$で $W(x_0)=0$ならば、i.(b)により区間 $I$で $y_1$、$y_2$は線形従属であり、そうするとi.(a)により $W\equiv 0$です。したがって $W(x_1)\neq 0$となる $x_1$が区間 $I$内に一つでも存在するならば、$y_1$と $y_2$は線形独立です。$\blacksquare$
一般解はすべての解を含む
一般解の存在
もし $p(x)$と $q(x)$が開区間 $I$で連続ならば、方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)は区間 $I$で一般解を持つ。
証明
初期値問題の解の存在性と一意性の定理により、常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)は区間 $I$で初期条件
\[y_1(x_0) = 1, \qquad y_1^{\prime}(x_0) = 0\]を満たす解 $y_1(x)$と区間 $I$で初期条件
\[y_2(x_0) = 0, \qquad y_2^{\prime}(x_0) = 1\]を満たす解 $y_2(x)$を持ちます。これら二つの解のロンスキアンは $x=x_0$で0でない値
\[W(y_1(x_0), y_2(x_0)) = y_1(x_0)y_2^{\prime}(x_0) - y_2(x_0)y_1^{\prime}(x_0) = 1\cdot 1 - 0\cdot 0 = 1\]を持つため、ロンスキアン(Wronskian)を用いた解の線形従属/線形独立の判別により区間 $I$で $y_1$と $y_2$は線形独立です。したがって、これら二つの解は区間 $I$で方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)の解の基底を形成し、任意の定数 $c_1$、$c_2$を持つ一般解 $y = c_1y_1 + c_2y_2$が区間 $I$で必ず存在します。$\blacksquare$
特異解の非存在
常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)がある開区間 $I$で連続な係数 $p(x)$と $q(x)$を持つならば、区間 $I$での方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)のすべての解 $y=Y(x)$は
\[Y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) \label{eqn:particular_solution}\tag{13}\]の形であり、ここで $y_1$、$y_2$は区間 $I$での方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)の解の基底であり、$C_1$、$C_2$は適当な定数である。
つまり、方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)は一般解から得られない解である特異解(singular solution)を持たない。
証明
$y=Y(x)$を区間 $I$での方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)のある解とします。一般解の存在定理により常微分方程式 ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$)は区間 $I$で一般解
\[y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x) \label{eqn:general_solution}\tag{14}\]を持ちます。ここで任意の $Y(x)$について区間 $I$で $y(x)=Y(x)$となるような定数 $c_1$、$c_2$が存在することを示す必要があります。区間 $I$で任意の $x_0$を選んだとき、$y(x_0)=Y(x_0)$かつ $y^{\prime}(x_0)=Y^{\prime}(x_0)$となるような $c_1$、$c_2$の値を見つけられることをまず示しましょう。式 ($\ref{eqn:general_solution}$)から
\[\begin{gather*} \left[\begin{matrix} y_1(x_0) & y_2(x_0) \\ y_1^{\prime}(x_0) & y_2^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} Y(x_0) \\ Y^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right] \end{gather*} \label{eqn:vector_equation_2}\tag{15}\]が得られます。$y_1$と $y_2$が基底であるため、係数行列の行列式である $W(y_1(x_0), y_2(x_0))\neq 0$であり、したがって方程式 ($\ref{eqn:vector_equation_2}$)は $c_1$と $c_2$について解くことができます。その解を $(c_1, c_2) = (C_1, C_2)$とします。これを式 ($\ref{eqn:general_solution}$)に代入すると次の特殊解が得られます。
\[y^*(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x).\]$C_1$、$C_2$が方程式 ($\ref{eqn:vector_equation_2}$)の解であるため、
\[y^*(x_0) = Y(x_0), \qquad {y^*}^{\prime}(x_0) = Y^{\prime}(x_0)\]となります。初期値問題の解の存在性と一意性の定理の一意性により、区間 $I$内のすべての $x$について $y^* \equiv Y$です。$\blacksquare$