数列と級数

数列

微積分学で扱う数列（sequence）は主に無限数列を指します。つまり、数列とは自然数（natural number）の全体集合

\[\mathbb{N} := \{1,2,3,\dots\}\]

で定義された関数です。* この関数の値が実数（real number）であれば「実数列」、複素数（complex number）であれば「複素数列」、点（point）であれば「点列」、行列（matrix）であれば「行列列」、関数（function）であれば「関数列」、集合（set）であれば「集合列」などと呼ぶことができますが、これらすべてを簡単に「列」または「数列」と呼ぶことができます。

通常、実数体（the field of real numbers） $\mathbb{R}$に対して、数列 $\mathbf{a}: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$で

\[a_1 := \mathbf{a}(1), \quad a_2 := \mathbf{a}(2), \quad a_3 := \mathbf{a}(3)\]

などとし、この数列を

\[a_1,\, a_2,\, a_3,\, \dots\]

または

\[\begin{gather*} (a_1,a_2,a_3,\dots), \\ (a_n: n=1,2,3,\dots), \\ (a_n)_{n=1}^{\infty}, \qquad (a_n) \end{gather*}\]

などと表します。

*数列を定義する過程で、定義域を自然数全体集合 $\mathbb{N}$ の代わりに $0$ 以上の整数の集合

\[\mathbb{N}_0 := \{0\} \cup \mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\}\]

または

\[\{2,3,4,\dots \}\]

などとすることもあります。例えば、べき級数理論を扱う際には、定義域が $\mathbb{N}_0$ の方がより自然です。

収束と発散

数列 $(a_n)$ が実数 $l$ に収束するとき

\[\lim_{n\to \infty} a_n = l\]

と書き、このとき $l$ を数列 $(a_n)$ の極限値と呼びます。

イプシロン-デルタ論法（epsilon-delta argument）を用いた厳密な定義は次のとおりです。

\[\lim_{n\to \infty} a_n = l \overset{def}\Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0,\, \exists N \in \mathbb{N}\ (n > N \Rightarrow |a_n - l| < \epsilon)\]

つまり、どんなに小さな正数 $\epsilon$ に対しても $n>N$ のとき $|a_n - l | < \epsilon$ を満たす自然数 $N$ が常に存在するならば、十分大きな $n$ に対して $a_n$ と $l$ の差が限りなく小さくなるという意味なので、これを満たす数列 $(a_n)$ は実数 $l$ に収束すると定義します。

収束しない数列は発散すると言います。数列の収束または発散の可否は、その数列の有限個の項が変わっても変わりません。

もし数列 $(a_n)$ の各項が限りなく大きくなれば

\[\lim_{n\to \infty} a_n = \infty\]

と書き、正の無限大に発散すると言います。同様に、数列 $(a_n)$ の各項が限りなく小さくなれば

\[\lim_{n\to \infty} a_n = -\infty\]

と書き、負の無限大に発散すると言います。

収束する数列の基本的性質

数列 $(a_n)$ と $(b_n)$ がともに収束すれば（つまり極限値を持てば）、数列 $(a_n + b_n)$ と $(a_n \cdot b_n)$ も同様に収束し、このとき

\[\lim_{n\to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n\to \infty} a_n + \lim_{n\to \infty} b_n \label{eqn:props_of_conv_series_1}\tag{1}\] \[\lim_{n\to \infty} (a_n \cdot b_n) = \left(\lim_{n\to \infty} a_n \right) \cdot \left(\lim_{n\to \infty} b_n \right) \label{eqn:props_of_conv_series_2}\tag{2}\]

となります。また、任意の実数 $t$ に対して

\[\lim_{n\to \infty} (t a_n) = t\left(\lim_{n\to \infty} a_n \right) \label{eqn:props_of_conv_series_3}\tag{3}\]

となります。これらの性質を収束する数列の基本的性質または極限の基本的性質と呼びます。

自然対数の底 $e$

自然対数の底は

\[e := \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \approx 2.718\]

と定義されます。これは数学で最も重要な定数の一つと言えます。

韓国でのみ特に「自然定数」という表現がかなり広く使われていますが、これは標準的な用語ではありません。韓国数学会が数学用語集に登録した公式用語は‘自然対数の底’であり、「自然定数」という表現はその用語集では見つかりません。さらに、国立国語院標準国語大辞典でも「自然定数」という単語は見つからず、‘自然対数’に関する辞書の説明で「よくeで表される特定の数」としか言及されていません。
英語圏や日本でもこれに対応する用語は存在せず、英語基準では’the base of the natural logarithm’や略して’natural base’、あるいは’Euler’s number’や’the number $e$’程度で主に呼ばれているようです。
出所も不明で韓国数学会が公式用語として認めたこともないだけでなく、韓国を除けば世界中のどこでも使われていないこのような用語を固執する理由は全くないので、これからはここでも私も「自然対数の底」と呼ぶか、単に $e$ と表記することにします。

級数

数列

\[\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, \dots)\]

に対して、この数列の部分和からなる別の数列

\[a_1, \quad a_1 + a_2, \quad a_1 + a_2 + a_3, \quad \dots\]

を数列 $\mathbf{a}$ の級数と呼びます。数列 $(a_n)$ の級数は

\[\begin{gather*} a_1 + a_2 + a_3 + \cdots, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}a_n, \\ \sum_{n\geq 1} a_n, \qquad \sum_n a_n, \qquad \sum a_n \end{gather*}\]

などと表します。

級数の収束と発散

数列 $(a_n)$ から得られる級数

\[a_1, \quad a_1 + a_2, \quad a_1 + a_2 + a_3, \quad \dots\]

がある実数 $l$ に収束すれば

\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = l\]

と表します。このとき極限値 $l$ を級数 $\sum a_n$ の和と呼びます。記号

\[\sum a_n\]

は状況に応じて級数を表したり、その級数の和を表したりします。

収束しない級数は発散すると言います。

収束する級数の基本的性質

収束する数列の基本的性質から、次のように収束する級数の基本的性質が得られます。実数 $t$ と収束する二つの級数 $\sum a_n$、$\sum b_n$ に対して

\[\sum(a_n + b_n) = \sum a_n + \sum b_n, \qquad \sum ta_n = t\sum a_n \tag{4}\]

が成り立ちます。

級数の収束性は有限個の項の変化に影響を受けません。つまり、二つの数列 $(a_n)$、$(b_n)$ で有限個の $n$ を除いて $a_n=b_n$ であれば、級数 $\sum a_n$ が収束する必要十分条件は級数 $\sum b_n$ が収束することです。