ニュートンの運動法則

TL;DR

ニュートンの運動法則（Newton’s laws of motion）

1. 外力が作用しない限り、物体は静止または等速直線運動を続ける。
2. 物体の運動量の時間変化率は、その物体に加えられた力に等しい。
   • $\vec{F} = \cfrac{d\vec{p}}{dt} = \cfrac{d}{dt}(m\vec{v}) = m\vec{a}$
3. 二つの物体が互いに力を及ぼし合うとき、これらの力の大きさは等しく、向きは反対である。
   • $\vec{F_1} = -\vec{F_2}$

等価原理（principle of equivalence）

• 慣性質量：与えられた力が作用した場合に物体の加速度を決定する質量
• 重力質量：ある物体と他の物体との間に作用する重力を決定する質量
• 現在、慣性質量と重力質量は$10^{-12}$程度の誤差範囲で明らかに一致することが知られている
• 慣性質量と重力質量は正確に等しいという主張を等価原理という

ニュートンの運動法則

ニュートンの運動法則は、アイザック・ニュートン（Issac Newton）が1687年に著書『Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica』（自然哲学の数学的原理、略称「プリンキピア」）を通じて発表した3つの法則で、ニュートン力学（Newtonian mechanics）の基礎を成している。

1. 外力が作用しない限り、物体は静止または等速直線運動を続ける。
2. 物体の運動量の時間変化率は、その物体に加えられた力に等しい。
3. 二つの物体が互いに力を及ぼし合うとき、これらの力の大きさは等しく、向きは反対である。

ニュートンの第1法則

I. 外力が作用しない限り、物体は静止または等速直線運動を続ける。

このように、外力が作用しない状態の物体を自由物体（free body）または自由粒子（free particle）という。 ただし、第1法則単独では力に関する定性的な概念しか与えない。

ニュートンの第2法則

II. 物体の運動量の時間変化率は、その物体に加えられた力に等しい。

ニュートンは運動量（momentum）を質量と速度の積

\[\vec{p} \equiv m\vec{v} \label{eqn:momentum}\tag{1}\]

と定義した。これからニュートンの第2法則は次のように表現できる。

\[\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(m\vec{v}) = m\vec{a}. \label{eqn:2nd_law}\tag{2}\]

ニュートンの第1法則と第2法則は、名前とは裏腹に実際には「法則」というよりもむしろ力に関する「定義」に近い。また、力の定義は「質量」の定義に依存していることがわかる。

ニュートンの第3法則

III. 二つの物体が互いに力を及ぼし合うとき、これらの力の大きさは等しく、向きは反対である。

「作用・反作用の法則」としても知られる物理法則であり、ある物体が他の物体に及ぼす力が二つの作用点を結ぶ直線の方向を向いている場合に適用される。このような力を中心力（central force）といい、第3法則は中心力が引力であれ斥力であれ関係なく成立する。静止した二つの物体間の重力や静電気力、そして弾性力などがこのような中心力に該当する。一方、運動する電荷間の力、運動する物体間の重力など、相互作用する二つの物体の速度に依存する力は非中心力に属し、このような場合には第3法則は適用できない。

先ほど見た質量の定義を反映すると、第3法則を次のように言い換えることができる。

III$^\prime$. 二つの物体が理想的な孤立系を構成する場合、これら二つの物体の加速度は向きが反対で、その大きさの比は二つの物体の質量の逆比に等しい。

ニュートンの第3法則により

\[\vec{F_1} = -\vec{F_2} \label{eqn:3rd_law}\tag{3}\]

であり、ここに先ほど見た第2法則（$\ref{eqn:2nd_law}$）を代入すると

\[\frac{d\vec{p_1}}{dt} = -\frac{d\vec{p_2}}{dt} \label{eqn:3rd-1_law}\tag{4}\]

となる。これから二つの粒子の孤立した相互作用において運動量が保存されることがわかる。

\[\frac{d}{dt}(\vec{p_1}+\vec{p_2}) = 0 \label{eqn:conservation_of_momentum}\tag{5}\]

また、式（$\ref{eqn:3rd-1_law}$）において$\vec{p}=m\vec{v}$であり、質量$m$は定数であるため、

\[m_1\left(\frac{d\vec{v_1}}{dt} \right) = m_2\left(-\frac{d\vec{v_2}}{dt} \right) \tag{6a}\] \[m_1(\vec{a_1}) = m_2(-\vec{a_2}) \tag{6b}\]

となり、次を得る。

\[\frac{m_2}{m_1} = -\frac{a_1}{a_2}. \tag{7}\]

しかし、ニュートンの第3法則は二つの物体が孤立系を構成する場合について述べているが、実際にはそのような理想的な条件を実現することは不可能であるため、第3法則におけるニュートンの主張は、ある意味では相当に大胆だったとも言える。このように限られた観察から得られた結論にもかかわらず、ニュートンの深い物理的洞察力のおかげで、ニュートン力学は約300年間、様々な実験による検証でも誤りが見つからず、確固たる地位を占めていた。20世紀に入ってようやく、ニュートン理論の予測と実際との差を示すことができるほどの精密な測定が可能になり、これから相対性理論と量子力学が生まれた。

慣性質量と重力質量

物体の質量を決定する方法の一つは、天秤のような道具を使用して、その物体の重さを標準重量と比較することである。この方法は、重力場における物体の重さがその物体に作用する重力の大きさに等しいという事実を利用するもので、この場合、第2法則$\vec{F}=m\vec{a}$は$\vec{W}=m\vec{g}$の形になる。この方法は、III$^\prime$で定義される質量$m$が重力方程式に現れる質量$m$と同じであるという基本的な仮定に基づいている。これら二つの質量をそれぞれ慣性質量（inertial mass）と重力質量（gravitational mass）と呼び、次のように定義する。

• 慣性質量：与えられた力が作用した場合に物体の加速度を決定する質量
• 重力質量：ある物体と他の物体との間に作用する重力を決定する質量

ガリレオ・ガリレイ（Galileo Galilei）とは無関係な後世の創作話ではあるが、ピサの斜塔落下実験は、慣性質量と重力質量が同じであることを示した最初の思考実験である。ニュートンも、長さが同じで錘の質量が異なる振り子の周期を測定して、二つの質量の間に差がないことを示そうとしたが、実験方法と精度は粗雑なレベルであったため、正確な証明には失敗した。

その後19世紀末、ハンガリーの物理学者エトヴェシュ・ロラーンド・アーゴシュトン（Eötvös Loránd Ágoston）が慣性質量と重力質量の間の差を正確に測定するためのエトヴェシュ実験を行い、慣性質量と重力質量が同一であることをかなりの精度（2000万分の1以内の誤差）で証明した。

その後、ロバート・ヘンリー・ディッケ（Robert Henry Dicke）らが行ったさらに最近の実験では精度がさらに向上し、現在、慣性質量と重力質量は$10^{-12}$程度の誤差範囲で明らかに一致することが知られている。この結果は一般相対性理論において非常に重要な意味を持ち、慣性質量と重力質量が正確に等しいという主張を等価原理（principle of equivalence）という。