質量とエネルギー、粒子と波動

質量-エネルギー等価原理

質量とエネルギーは互いに同一であり、相互に変換することができる。

\[E=mc^2\]

ここで $c$ は光速 $2.9979 \times 10^{10}\ \text{cm/sec}$ である。

電子ボルト(Electron Volt, eV)

電子ボルト(electron volt, eV): 1個の電子が1Vの電圧を通過するときに得る運動エネルギー

\[\begin{align*} 1 \text{eV} &= 1.60219 \times 10^{-19}\ \text{C}\cdot \text{V} \\ &= 1.60219 \times 10^{-19}\ \text{J} \end{align*}\]

運動する物体の質量とエネルギー

相対性理論によると、観察者の立場から見て運動する物体の質量は相対的に増加し、運動する物体の速さと質量に関する式は次のように定義される。

\[m=\frac {m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \tag{1}\]

$m_0$: 静止質量、$v$: 速さ

粒子の全エネルギー(total energy)は静止質量エネルギー(rest-mass energy)と運動エネルギー(kinetic energy)の和であるため、次が成り立つ。

\[E_{\text{total}} = E_{\text{rest}}+E_{\text{kinetic}} = mc^2\] \[\begin{align*} E_{\text{kinetic}} &= E_{\text{total}}-E_{\text{rest}} \\ &= mc^2 - m_0c^2 \\ &= m_0c^2\left[\frac {1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - 1\right] \tag{2} \end{align*}\]

特に、$v\ll c$ の場合、二項定理を用いて近似すると

\[\begin{align*} E_{kinetic} &= m_0c^2\left[\frac {1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - 1\right] \\ &= m_0c^2\left[\left(1+\frac{1}{2}v^2/c^2\right)-1\right] \\ &= \frac {1}{2}m_0v^2 \tag{3} \end{align*}\]

となり、古典力学での運動エネルギーの公式と同じになる。実質的に、$v\leq 0.2c$ または $E_{\text{kinetic}} \leq 0.02E_{\text{rest}}$ の場合、$v\ll c$ とみなしてこの近似式を使用しても（つまり、相対性理論による効果を無視しても）十分に正確な値が得られる。

電子

電子の静止質量エネルギー $E_{\text{rest}}=m_ec^2=0.511 \text{MeV}$ であるため、電子の運動エネルギーが $0.02\times 0.511 \text{MeV}=0.010 \text{MeV}=10 \text{keV}$ を超える場合、相対論的運動エネルギー公式を適用する必要がある。原子核工学で扱う電子のエネルギーは多くの場合10keVより大きいため、ほとんどの場合式(2)を適用する必要がある。

中性子

中性子の静止質量エネルギーはおおよそ1000MeVに達するため、$0.02E_{rest}=20\text{MeV}$である。原子核工学で中性子の運動エネルギーが20MeVを超える状況を扱うことは稀であるため、通常、中性子の運動エネルギーの計算には式(3)を用いる。

光子

式(2)、(3)は静止質量が0でない場合に有効であるため、静止質量が0である光子には適用できない。光子の全エネルギーは以下の式で求める。

\[E = h\nu \tag{4}\]

$h$: プランク定数($4.316 \times 10^{-15} \text{eV}\cdot\text{s}$)、$\nu$: 電磁波の振動数

物質波

自然界のすべての物質は粒子であると同時に波動である。つまり、すべての粒子はそれに相応する波長（ド・ブロイ波長、de Broglie wavelength）を持つ。このとき波長 $\lambda$ は運動量 $p$ とプランク定数 $h$ の関数である。

\[\lambda = \frac {h}{p} \tag{5}\]

また、運動量 $p$ は次の式で定義される。

\[p = mv \tag{6}\]

相対論的効果を無視する場合（例：中性子）

運動エネルギー $E=1/2 mv^2$ であるため、式(6)をエネルギーの関数として表現すると次のようになる。

\[p=\sqrt{2mE} \tag{7}\]

これを式(5)に代入すると、粒子の波長は

\[\lambda = \frac {h}{\sqrt{2mE}} \tag{8}\]

となる。原子核工学では中性子のド・ブロイ波長を求める際に上記の式を適用する。中性子の静止質量を代入すると、次のように表現される。

\[\lambda = \frac {2.860 \times 10^{-9}}{\sqrt{E}} \tag{9}\]

ここで $\lambda$ の単位はcmであり、$E$ はeVで表現された中性子の運動エネルギーである。

相対論的効果を考慮する場合（例：電子）

前述の相対性理論の式を直接解いて運動量 $p$ を計算する。

\[p=\frac {1}{c} \sqrt{E^2_{total}-E^2_{rest}} \tag{10}\]

するとド・ブロイ波長は次のようになる。

\[\lambda = \frac {hc}{\sqrt{E_{total}-E_{rest}}} \tag{11}\]

静止質量が0の粒子（例：光子）

静止質量が0の粒子の運動量は式(6)で求めることができないため、

\[p=\frac {E}{c} \tag{12}\]

と表現する。式(12)を式(5)に代入すると

\[\lambda = \frac {hc}{E} \tag{13}\]

となる。ここに $h$ と $c$ の値を代入すると、最終的に波長に関する式は

\[\lambda = \frac {1.240 \times 10^{-6}}{E} \tag{14}\]

となる。ここで $\lambda$ の単位はm、$E$ の単位はeVである。