完全微分方程式(Exact Differential Equation)と積分因子
完全微分方程式の判別法と解法、そして積分因子について学ぶ。
TL;DR
flowchart TD
ODE[完全微分方程式かもしれない常微分方程式が与えられたら]
IsExact{完全かどうかを判別}
ODE --> IsExact
Solve[完全微分方程式の解法を適用]
CheckR{RとR*を確認}
IsExact -->|完全なら| Solve
IsExact -->|完全でないなら| CheckR
DetermineFactor[積分因子を求める]
fail[他の解法を試みる]
CheckR -->|"一変数関数R(x)またはR*(y)が存在すれば"| DetermineFactor
CheckR --->|一変数関数の積分因子が見つからない場合| fail
DetermineFactor --> Solve
完全微分方程式(Exact Differential Equation)
1階常微分方程式 $M(x,y)+N(x,y)y’=0$ は
\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \tag{1}\]と書くことができる。もし
\[\exists u(x,y): \frac{\partial u}{\partial x}=M(x,y) \land \frac{\partial u}{\partial y}=N(x,y) \tag{2}\]ならば
\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy=du \tag{3}\]となり、このとき常微分方程式 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ を完全微分方程式(exact differential equation)と呼ぶ。そうすると、この常微分方程式は
\[du=0\]と書くことができ、積分すると
\[u(x,y)=c \tag{4}\]の形で一般解をすぐに得ることができる。
完全微分方程式の判別
$xy$ 平面上の、自分自身と交差しない閉曲線を境界とする閉領域で、$M$と$N$およびそれぞれの1階偏導関数が連続であるとする。条件(2)を再度見てみると次のようになる。
\[\begin{align*} \frac {\partial u}{\partial x}&=M(x,y) \tag{2a} \\ \frac {\partial u}{\partial y}&=N(x,y) \tag{2b} \end{align*}\]上の式を偏微分すると
\[\begin{align*} \frac {\partial M}{\partial y} &= \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} \\ \frac {\partial N}{\partial x} &= \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \end{align*}\]連続性を仮定したので、2つの2階偏導関数は互いに等しい。
\[\therefore \frac {\partial M}{\partial y}=\frac {\partial N}{\partial x} \tag{5}\]したがって、条件(5)は常微分方程式(1)が完全微分方程式となるための必要条件であることがわかり、ここでは証明していないが実際には十分条件でもある。つまり、この条件を満たすかどうかを確認することで、完全微分方程式かどうかを判別できる。
完全微分方程式の解法
式(2a)を、$y$を定数とみなして$x$に関して積分すると
\[u = \int M(x,y) dx + k(y) \tag{6}\]となる。$y$を定数とみなしたので、ここで$k(y)$は積分定数の役割を果たす。次に$x$を定数とみなして式(6)を$y$で微分し、次のように$\partial u/\partial y$を求める。
\[\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y) dx + \frac{dk}{dy}\]ここで上の式を式(2b)と比較して$dk/dy$を求めることができる。
\[\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y) dx + \frac{dk}{dy} = N(x,y)\] \[\frac{dk}{dy} = N(x,y) - \frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y) dx\]最後に、上の式を積分して$k(y)$を決定し、式(6)に代入すると陰関数解$u(x,y)=c$を求めることができる。
\[k(y) = \int N(x,y)dy - \int \left(\frac{\partial}{\partial y}\int Mdx\right)dy + c^*\] \[\int M(x,y)dx + \int N(x,y)dy - \int \left(\frac{\partial}{\partial y}\int Mdx\right)dy = c\]この一般解の形を公式として暗記して適用するよりも、どのような過程を経て解くかを知ることが重要である。
積分因子(Integrating Factor)
ある不完全な(Inexact)常微分方程式が与えられたとする。
\[P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0 \quad \left( \frac {\partial P}{\partial y} \neq \frac {\partial Q}{\partial x} \right) \tag{7}\]もし
\[\exists F(x,y): \frac {\partial}{\partial y}(FP) = \frac {\partial}{\partial x}(FQ) \tag{8}\]ならば、与えられた常微分方程式(7)に関数$F$をかけて次の完全微分方程式を得ることができる。
\[FP\ dx+FQ\ dy = 0 \tag{9}\]このとき、関数$F(x,y)$を式(7)の積分因子(integrating factor)と呼ぶ。
積分因子を求める方法
式(8)に積の微分法を適用し、偏導関数を下付き文字で表すと次のようになる。
\[F_y P + FP_y = F_x Q + FQ_x\]多くの実際的な場合において、1つの変数にのみ依存する積分因子が存在する。$F=F(x)$とすると$F_y=0$で$F_x=F’=dF/dx$となるので、以下の式を得る。
\[FP_y = F'Q + FQ_x\]両辺を$FQ$で割り、項を整理すると、
\[\begin{align*} \frac{1}{F} \frac{dF}{dx} &= \frac{P_y}{Q} - \frac{Q_x}{Q} \\ &= \frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x} \right) \end{align*} \tag{10}\]となる。したがって、次が成り立つ。
与えられた常微分方程式(7)に対して、式(10)の右辺$R$が$x$のみの関数である場合、式(7)は積分因子$F=F(x)$を持つ。
\[F(x)=e^{\int R(x)dx}, \quad \text{ただし }R=\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x} \right) \tag{11}\]
同様に$F^*=F^*(y)$の場合、式(10)の代わりに
\[\frac{1}{F^*} \frac{dF^*}{dy} = \frac{1}{P}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \tag{12}\]を得る。したがって、次が成り立つ。
与えられた常微分方程式(7)に対して、式(12)の右辺$R^*$が$y$のみの関数である場合、式(7)は積分因子$F^*=F^*(y)$を持つ。
\[F^*(y)=e^{\int R^*(y)dy}, \quad \text{ただし }R^*=\frac{1}{P}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \tag{13}\]
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