ベルヌーイ方程式（Bernoulli Equation）

ベルヌーイ方程式（Bernoulli Equation）

\[y'+p(x)y=g(x)y^a\quad \text{(}a\text{は任意の実数)} \tag{1}\]

ベルヌーイ方程式 (1)は、$a=0$または$a=1$の場合は線形であり、それ以外の場合は非線形である。しかし、以下の過程を経て線形に変換することができる。

\[u(x)=[y(x)]^{1-a}\]

とおき、微分した後、式 (1)から$y’$を代入すると

\[\begin{align*} u'&=(1-a)y^{-a}y' \\&=(1-a)y^{-a}(gy^a-py) \\&=(1-a)(g-py^{1-a}) \end{align*}\]

を得る。右辺で$y^{1-a}=u$であるため、次の線形常微分方程式を得る。

\[u'+(1-a)pu=(1-a)g \tag{2}\]

例題：ロジスティック方程式（Logistic Equation）

ロジスティック方程式（ベルヌーイ方程式の特殊な形）を解け。

\[y'=Ay-By^2 \tag{3}\]

解法

式 (3)を式 (1)の形で書くと

\[y'-Ay=-By^2\]

となる。$a=2$なので、$u=y^{1-a}=y^{-1}$である。このuを微分し、式 (3)から$y’$を代入すると

\[u'=-y^{-2}y'=-y^{-2}(Ay-By^2)=B-Ay^{-1}\]

となる。最後の項は$-Ay^{-1}=-Au$なので、次の線形常微分方程式を得る。

\[u'+Au=B\]

非斉次線形常微分方程式の解の公式により、次の一般解を求めることができる。

\[u=ce^{-At}+B/A\]

$u=1/y$なので、これから式 (3)の一般解

\[y=\frac{1}{u}=\frac{1}{ce^{-At}+B/A} \tag{4}\]

を得る。