Suites et séries

Suites

En calcul différentiel et intégral, une suite (sequence) fait généralement référence à une suite infinie. En d’autres termes, une suite est une fonction définie sur l’ensemble des nombres naturels (natural numbers)

\[\mathbb{N} := \{1,2,3,\dots\}\]

Si les valeurs de cette fonction sont des nombres réels, on parle de ‘suite réelle’, si ce sont des nombres complexes, de ‘suite complexe’, si ce sont des points, de ‘suite de points’, si ce sont des matrices, de ‘suite de matrices’, si ce sont des fonctions, de ‘suite de fonctions’, si ce sont des ensembles, de ‘suite d’ensembles’, mais tous ces termes peuvent être simplement désignés comme ‘suite’ ou ‘séquence’.

Généralement, pour le corps des nombres réels (the field of real numbers) $\mathbb{R}$, dans une suite $\mathbf{a}: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, on pose

\[a_1 := \mathbf{a}(1), \quad a_2 := \mathbf{a}(2), \quad a_3 := \mathbf{a}(3)\]

et cette suite est représentée par

\[a_1,\, a_2,\, a_3,\, \dots\]

ou

\[\begin{gather*} (a_1,a_2,a_3,\dots), \\ (a_n: n=1,2,3,\dots), \\ (a_n)_{n=1}^{\infty}, \qquad (a_n) \end{gather*}\]

*Dans le processus de définition d’une suite, au lieu de l’ensemble complet des nombres naturels $\mathbb{N}$ comme domaine de définition, on peut également utiliser l’ensemble des entiers non négatifs

\[\mathbb{N}_0 := \{0\} \cup \mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\}\]

ou

\[\{2,3,4,\dots \}\]

Par exemple, lors de l’étude de la théorie des séries de puissances, il est plus naturel d’avoir $\mathbb{N}_0$ comme domaine de définition.

Convergence et divergence

Si une suite $(a_n)$ converge vers un nombre réel $l$, on écrit

\[\lim_{n\to \infty} a_n = l\]

et $l$ est appelé la valeur limite de la suite $(a_n)$.

La définition rigoureuse utilisant l’argument epsilon-delta (epsilon-delta argument) est la suivante :

\[\lim_{n\to \infty} a_n = l \overset{def}\Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0,\, \exists N \in \mathbb{N}\ (n > N \Rightarrow |a_n - l| < \epsilon)\]

En d’autres termes, si pour tout nombre positif $\epsilon$, aussi petit soit-il, il existe toujours un nombre naturel $N$ tel que $|a_n - l | < \epsilon$ pour $n>N$, cela signifie que la différence entre $a_n$ et $l$ devient infiniment petite pour $n$ suffisamment grand, et donc on définit qu’une suite $(a_n)$ satisfaisant cette condition converge vers le nombre réel $l$.

Une suite qui ne converge pas est dite divergente. La convergence ou la divergence d’une suite ne change pas si un nombre fini de ses termes est modifié.

Si chaque terme de la suite $(a_n)$ devient infiniment grand, on écrit

\[\lim_{n\to \infty} a_n = \infty\]

et on dit que la suite diverge vers plus l’infini. De même, si chaque terme de la suite $(a_n)$ devient infiniment petit, on écrit

\[\lim_{n\to \infty} a_n = -\infty\]

et on dit que la suite diverge vers moins l’infini.

Propriétés fondamentales des suites convergentes

Si les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent toutes les deux (c’est-à-dire qu’elles ont des valeurs limites), alors les suites $(a_n + b_n)$ et $(a_n \cdot b_n)$ convergent également, et dans ce cas

\[\lim_{n\to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n\to \infty} a_n + \lim_{n\to \infty} b_n \label{eqn:props_of_conv_series_1}\tag{1}\] \[\lim_{n\to \infty} (a_n \cdot b_n) = \left(\lim_{n\to \infty} a_n \right) \cdot \left(\lim_{n\to \infty} b_n \right) \label{eqn:props_of_conv_series_2}\tag{2}\]

De plus, pour tout nombre réel $t$,

\[\lim_{n\to \infty} (t a_n) = t\left(\lim_{n\to \infty} a_n \right) \label{eqn:props_of_conv_series_3}\tag{3}\]

Ces propriétés sont appelées propriétés fondamentales des suites convergentes ou propriétés fondamentales des limites.

La base $e$ du logarithme naturel

La base du logarithme naturel est définie par

\[e := \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \approx 2.718\]

C’est l’une des constantes les plus importantes en mathématiques.

L’expression ‘constante naturelle’ est largement utilisée uniquement en Corée, mais ce n’est pas un terme standard. Le terme officiel enregistré dans le dictionnaire mathématique de la Société mathématique coréenne est ‘base du logarithme naturel’, et l’expression ‘constante naturelle’ ne peut être trouvée dans ce dictionnaire. De plus, on ne peut même pas trouver le mot ‘constante naturelle’ dans le dictionnaire standard coréen de l’Institut national de la langue coréenne, et dans la définition du dictionnaire pour ‘logarithme naturel’, il est seulement mentionné comme “un certain nombre généralement représenté par e”.
Dans les pays anglophones et au Japon, il n’existe pas non plus de terme correspondant, et en anglais, on utilise principalement ‘the base of the natural logarithm’ ou en abrégé ‘natural base’, ou encore ‘Euler’s number’ ou ‘the number $e$’.
Comme l’origine est incertaine, que la Société mathématique coréenne ne l’a jamais reconnu comme un terme officiel, et qu’il n’est utilisé nulle part dans le monde sauf en Corée, il n’y a absolument aucune raison d’insister sur ce terme. Par conséquent, à partir de maintenant, je l’appellerai ‘base du logarithme naturel’ ou simplement $e$.

Séries

Pour une suite

\[\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, \dots)\]

la nouvelle suite formée par les sommes partielles de cette suite

\[a_1, \quad a_1 + a_2, \quad a_1 + a_2 + a_3, \quad \dots\]

est appelée série de la suite $\mathbf{a}$. La série de la suite $(a_n)$ est représentée par

\[\begin{gather*} a_1 + a_2 + a_3 + \cdots, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}a_n, \\ \sum_{n\geq 1} a_n, \qquad \sum_n a_n, \qquad \sum a_n \end{gather*}\]

Convergence et divergence des séries

Si la série obtenue à partir de la suite $(a_n)$

\[a_1, \quad a_1 + a_2, \quad a_1 + a_2 + a_3, \quad \dots\]

converge vers un certain nombre réel $l$, on écrit

\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = l\]

Dans ce cas, la valeur limite $l$ est appelée la somme de la série $\sum a_n$. Le symbole

\[\sum a_n\]

peut représenter soit la série, soit la somme de la série, selon le contexte.

Une série qui ne converge pas est dite divergente.

Propriétés fondamentales des séries convergentes

À partir des propriétés fondamentales des suites convergentes, on obtient les propriétés fondamentales suivantes pour les séries convergentes. Pour un nombre réel $t$ et deux séries convergentes $\sum a_n$ et $\sum b_n$,

\[\sum(a_n + b_n) = \sum a_n + \sum b_n, \qquad \sum ta_n = t\sum a_n \tag{4}\]

La convergence d’une série n’est pas affectée par le changement d’un nombre fini de termes. En d’autres termes, si pour deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$, $a_n=b_n$ sauf pour un nombre fini de $n$, alors la série $\sum a_n$ converge si et seulement si la série $\sum b_n$ converge.