Principe de relativité et transformation de Lorentz

TL;DR

Principe de relativité : Principe selon lequel toutes les lois physiques doivent être identiques dans tous les référentiels en mouvement uniforme les uns par rapport aux autres.

Facteur de Lorentz $\gamma$

\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\]

Transformation de Lorentz

\[\begin{pmatrix} \vec{x}^\prime \\ ct^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\vec{\beta} \\ -\gamma\vec{\beta} & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{x} \\ ct \end{pmatrix}.\]

• $ \vec{x^\prime} = \gamma\vec{x}-\gamma\vec{\beta}ct $
• $ ct^\prime = \gamma ct - \gamma \vec{\beta}\cdot\vec{x} $

Transformation de Lorentz inverse

\[\begin{pmatrix} \vec{x} \\ ct \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & \gamma\vec{\beta} \\ \gamma\vec{\beta} & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{x^\prime} \\ ct^\prime \end{pmatrix}.\]

• $ \vec{x} = \gamma\vec{x^\prime}+\gamma\vec{\beta}ct^\prime $
• $ ct = \gamma ct^\prime + \gamma \vec{\beta}\cdot\vec{x^\prime} $

Référentiels et principe de relativité

Référentiel (frame of reference)

• Référentiel (frame of reference) : Le mouvement d’un objet signifie que sa position change relativement à d’autres objets. Comme tout mouvement est relatif, il est nécessaire d’établir un référentiel pour décrire un mouvement.
• Référentiel inertiel (inertial frames of reference) : Un référentiel dans lequel la première loi de Newton (“Un corps reste au repos ou en mouvement rectiligne uniforme tant qu’aucune force nette n’agit sur lui”) est valide. Tout référentiel se déplaçant à vitesse constante par rapport à un référentiel inertiel est également un référentiel inertiel.

Principe de relativité (Principle of Relativity)

C’est un concept fondamental et une prémisse de base en physique, qui stipule que toutes les lois physiques doivent être identiques dans tous les référentiels en mouvement uniforme les uns par rapport aux autres. Si les lois physiques étaient différentes pour des observateurs en mouvement relatif, cette différence pourrait être utilisée pour établir un référentiel absolu et déterminer qui est au repos et qui est en mouvement. Cependant, selon le principe de relativité, une telle distinction n’existe pas, donc il n’y a pas de référentiel absolu ou de mouvement absolu par rapport à l’univers entier, et tous les référentiels inertiels sont équivalents.

Limites de la transformation de Galilée

Transformation de Galilée (Galilean transformation)

Supposons qu’il existe deux référentiels inertiels $S$ et $S^{\prime}$, où $S^{\prime}$ se déplace à une vitesse constante $\vec{v}$ dans la direction $+x$ par rapport à $S$, et qu’un même événement est observé dans $S$ aux coordonnées $(x, y, z)$ au temps $t$, et dans $S^{\prime}$ aux coordonnées $(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime})$ au temps $t^{\prime}$.

Dans ce cas, la valeur du mouvement dans la direction $x$ mesurée dans $S^{\prime}$ sera supérieure à celle mesurée dans $S$ de la distance $\vec{v}t$ parcourue par $S^{\prime}$ par rapport à $S$ dans la direction $x$, donc

\[x^{\prime} = x - \vec{v}t \label{eqn:galilean_transform_x} \tag{1}\]

et comme il n’y a pas de mouvement relatif dans les directions $y$ et $z$,

\[\begin{align*} y^{\prime} = y \label{eqn:galilean_transform_y} \tag{2} \\ z^{\prime} = z \label{eqn:galilean_transform_z} \tag{3} \end{align*}\]

et intuitivement, on peut supposer que

\[t^{\prime} = t \tag{4} \label{eqn:galilean_transform_t}\]

Cette transformation de coordonnées entre différents référentiels inertiels, représentée par les équations ($\ref{eqn:galilean_transform_x}$) à ($\ref{eqn:galilean_transform_t}$), est appelée transformation de Galilée (Galilean transformation). Elle est simple et intuitive, et fonctionne bien dans la plupart des situations quotidiennes. Cependant, comme nous le verrons plus tard, elle est en contradiction avec les équations de Maxwell.

Équations de Maxwell

À la fin du 19ème siècle, Maxwell a étendu les idées et les résultats de recherche antérieurs proposés par d’autres scientifiques comme Faraday et Ampère, révélant que l’électricité et le magnétisme sont en fait une seule force, et a dérivé les quatre équations suivantes décrivant le champ électromagnétique.

1. \[\begin{gather*}\nabla\cdot{E}=\frac{q}{\epsilon_0} \\ \text{: Le flux électrique traversant une surface fermée quelconque est égal à la charge nette à l'intérieur (loi de Gauss).} \end{gather*}\]
2. \[\begin{gather*}\nabla\cdot{B}=0 \\ \text{: Il n'existe pas de monopôle magnétique.} \end{gather*}\]
3. \[\begin{gather*}\nabla\times{E}=-\frac{\partial B}{\partial t} \\ \text{: Un champ magnétique variable crée un champ électrique (loi de Faraday).} \end{gather*}\]
4. \[\begin{gather*}\nabla\times{B}=\mu_0\left(J+\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}\right) \\ \text{: Un champ électrique variable et un courant créent un champ magnétique (loi d'Ampère-Maxwell).} \end{gather*}\]

Les équations de Maxwell ont réussi à expliquer tous les phénomènes électriques et magnétiques connus jusqu’alors, ont prédit l’existence des ondes électromagnétiques, et ont également déduit que la vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide, $c$, est une constante invariante, devenant ainsi les formules centrales de l’électromagnétisme.

Contradiction entre la transformation de Galilée et les équations de Maxwell

La mécanique newtonienne utilisant la transformation de Galilée a été le fondement de la physique pendant plus de 200 ans, et les équations de Maxwell sont, comme mentionné précédemment, les équations centrales décrivant les phénomènes électriques et magnétiques. Cependant, il existe une contradiction entre les deux :

• Selon le principe de relativité, on s’attendrait à ce que les équations de Maxwell aient la même forme dans tous les référentiels inertiels, mais lorsqu’on applique la transformation de Galilée pour convertir les valeurs mesurées dans un référentiel inertiel en valeurs mesurées dans un autre référentiel inertiel, les équations de Maxwell prennent une forme très différente.
• La vitesse de la lumière $c$ peut être calculée à partir des équations de Maxwell et est une constante invariante, mais selon la mécanique newtonienne et la transformation de Galilée, la vitesse de la lumière $c$ serait mesurée différemment dans différents référentiels inertiels.

Par conséquent, les équations de Maxwell et la transformation de Galilée sont incompatibles, et au moins l’une des deux devait être modifiée. Cela a conduit à l’émergence de la transformation de Lorentz (Lorentz transformation) qui sera discutée plus loin.

Théorie de l’éther (aether) et expérience de Michelson-Morley

Par ailleurs, la physique du 19ème siècle considérait que la lumière, comme les autres ondes telles que les vagues à la surface de l’eau ou les ondes sonores, était transmise par un milieu hypothétique appelé éther (aether), et des efforts ont été faits pour découvrir l’existence de cet éther.

Selon la théorie de l’éther, même si l’espace est vide, il serait rempli d’éther, et donc le mouvement orbital de la Terre, qui se déplace à une vitesse d’environ 30 km/s par rapport au Soleil, créerait un vent d’éther traversant la Terre.

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• Auteur : Utilisateur Wikimedia Cronholm144
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Pour vérifier cette hypothèse, en 1887, Michelson, en collaboration avec Morley, a réalisé l’expérience de Michelson-Morley (Michelson-Morley Experiment) en utilisant l’interféromètre ci-dessous.

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• Auteur : Albert Abraham Michelson avec Edward Morley
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Dans cette expérience, le rayon lumineux est divisé en deux par un miroir semi-réfléchissant, puis chaque rayon parcourt environ 11 m en faisant un aller-retour dans les deux bras perpendiculaires de l’interféromètre avant de se rencontrer au point central, où des franges d’interférence constructive ou destructive apparaissent selon la différence de phase entre les deux rayons. Selon la théorie de l’éther, la vitesse de la lumière devrait varier en fonction de la vitesse relative par rapport à l’éther, ce qui devrait entraîner un changement de cette différence de phase et donc un changement observable des franges d’interférence. Cependant, en réalité, aucun changement des franges d’interférence n’a pu être observé. Plusieurs tentatives ont été faites pour expliquer ces résultats expérimentaux, parmi lesquelles FitzGerald et Lorentz ont proposé la contraction de Lorentz-FitzGerald (Lorentz–FitzGerald contraction) ou contraction des longueurs (length contraction), selon laquelle un objet se contracte lorsqu’il se déplace par rapport à l'éther. Cette idée a conduit à la transformation de Lorentz.

À cette époque, Lorentz croyait en l’existence de l’éther et pensait que la contraction des longueurs était due au mouvement relatif par rapport à l’éther. Plus tard, Einstein a interprété la véritable signification physique de la transformation de Lorentz avec sa théorie de la relativité restreinte (Theory of Special Relativity), expliquant la contraction des longueurs en termes d’espace-temps plutôt que d’éther, et il a également été démontré par la suite que l’éther n’existe pas.

Transformation de Lorentz (Lorentz transformation)

Dérivation de la transformation de Lorentz

Dans la même situation que pour la transformation de Galilée (équations [$\ref{eqn:galilean_transform_x}$]-[$\ref{eqn:galilean_transform_t}$]), supposons que la relation de transformation correcte entre $x$ et $x^{\prime}$, qui n’est pas en contradiction avec les équations de Maxwell, soit la suivante :

\[x^{\prime} = \gamma(x-\vec{v}t). \label{eqn:lorentz_transform_x}\tag{5}\]

Ici, $\gamma$ est indépendant de $x$ et $t$, mais peut être une fonction de $\vec{v}$. On peut faire cette hypothèse pour les raisons suivantes :

• Pour qu’il y ait une correspondance biunivoque entre les événements dans $S$ et $S^{\prime}$, $x$ et $x^{\prime}$ doivent avoir une relation linéaire.
• Comme on sait que la transformation de Galilée est correcte dans les situations mécaniques ordinaires, elle doit pouvoir être approximée par l’équation ($\ref{eqn:galilean_transform_x}$).
• Elle doit avoir une forme aussi simple que possible.

Comme les formules physiques doivent avoir la même forme dans les référentiels $S$ et $S^{\prime}$, pour exprimer $x$ en termes de $x^{\prime}$ et $t$, il suffit de changer le signe de $\vec{v}$ (la direction du mouvement relatif), et comme il ne doit y avoir aucune différence entre les deux référentiels autre que le signe de $\vec{v}$, $\gamma$ doit être le même.

\[x = \gamma(x^{\prime}+\vec{v}t^{\prime}). \label{eqn:lorentz_transform_x_inverse}\tag{6}\]

Comme dans la transformation de Galilée, il n’y a aucune raison pour que les composantes perpendiculaires à la direction de $\vec{v}$, $y$ et $y^{\prime}$, ainsi que $z$ et $z^{\prime}$, soient différentes, donc on pose :

\[\begin{align*} y^{\prime} &= y \\ z^{\prime} &= z \end{align*} \label{eqn:lorentz_transform_yz} \tag{7}\]

Maintenant, si on substitue l’équation ($\ref{eqn:lorentz_transform_x}$) dans ($\ref{eqn:lorentz_transform_x_inverse}$), on obtient :

\[x = \gamma^2 x - \gamma^2 \vec{v}t + \gamma \vec{v}t^{\prime}\]

En réarrangeant pour $t^{\prime}$, on obtient :

\[t^{\prime} = \gamma t + \left(\frac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)x \label{eqn:lorentz_transform_t} \tag{8}\]

De plus, pour ne pas être en contradiction avec les équations de Maxwell, la vitesse de la lumière doit être la même $c$ dans les deux référentiels, ce qui nous permet de déterminer $\gamma$. Si les origines des deux référentiels étaient au même endroit à $t=0$, alors par cette condition initiale, $t^\prime = 0$. Maintenant, imaginons qu’il y ait eu un flash à l’origine commune de $S$ et $S^\prime$ à $t=t^\prime=0$, et que les observateurs dans chaque référentiel mesurent la vitesse de cette lumière. Dans ce cas, dans le référentiel $S$ :

\[x = ct \label{eqn:ct_S}\tag{9}\]

et dans le référentiel $S^\prime$ :

\[x^\prime = ct^\prime \label{eqn:ct_S_prime}\tag{10}\]

En utilisant les équations ($\ref{eqn:lorentz_transform_x}$) et ($\ref{eqn:lorentz_transform_t}$) pour substituer $x$ et $t$ dans l’équation ci-dessus, on obtient :

\[\gamma (x-\vec{v}t) = c\gamma t + \left(\frac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)cx\]

En résolvant cette équation pour $x$, on obtient :

\[\left[\gamma-\left(\frac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)c \right]x = c\gamma t + \vec{v}\gamma t\] \[\begin{align*} x &= \cfrac{c\gamma t + \vec{v}\gamma}{\gamma-\left(\cfrac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}}\right)c} \\ &= ct\left[ \cfrac{\gamma + \cfrac{\vec{v}}{c}\gamma}{\gamma - \left( \cfrac{1-\gamma^2}{\gamma \vec{v}} \right)c} \right] \\ &= ct\left[ \cfrac{1 + \cfrac{\vec{v}}{c}}{1 - \left( \cfrac{1}{\gamma^2}-1 \right)\cfrac{c}{\vec{v}}} \right] \end{align*}\]

Cependant, comme nous avons vu dans l’équation ($\ref{eqn:ct_S}$) que $x=ct$, on a :

\[\cfrac{1 + \cfrac{\vec{v}}{c}}{1 - \left( \cfrac{1}{\gamma^2}-1 \right)\cfrac{c}{\vec{v}}} = 1\]

Par conséquent,

\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \label{lorentz_factor}\tag{11}\]

En substituant cette expression de $\gamma$ en fonction de $\vec{v}$ dans les équations ($\ref{eqn:lorentz_transform_x}$), ($\ref{eqn:lorentz_transform_yz}$), et ($\ref{eqn:lorentz_transform_t}$), on obtient finalement les équations de transformation du référentiel $S$ au référentiel $S^\prime$.

Matrice de transformation de Lorentz

Les équations de transformation finales obtenues précédemment sont les suivantes :

• \[x^\prime = \frac{x-\vec{v}t}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \label{eqn:lorentz_transform_x_fin}\tag{12}\]
• \[y^\prime = y \label{eqn:lorentz_transform_y_fin}\tag{13}\]
• \[z^\prime = z \label{eqn:lorentz_transform_z_fin}\tag{14}\]
• \[t^\prime = \frac{t-\cfrac{\vec{v}x}{c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \label{eqn:lorentz_transform_t_fin}\tag{15}\]

Ces équations constituent la transformation de Lorentz (Lorentz transformation). En posant $\vec{\beta}=\vec{v}/c$, on peut l’exprimer sous forme matricielle comme suit :

\[\begin{pmatrix} x_1^\prime \\ x_2^\prime \\ x_3^\prime \\ ct^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & -\gamma\vec{\beta} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\gamma\vec{\beta} & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ ct \end{pmatrix}. \label{lorentz_transform_matrix}\tag{16}\]

Lorentz a montré que lorsqu’on utilise cette équation de transformation, les formules fondamentales de l’électromagnétisme sont valables sous la même forme dans tous les référentiels inertiels. On peut également vérifier que lorsque la vitesse $v$ est très petite par rapport à la vitesse de la lumière $c$, $\gamma \to 1$, donc elle peut être approximée par la transformation de Galilée.

Transformation de Lorentz inverse (inverse Lorentz transformation)

Parfois, il est plus pratique de transformer les mesures du référentiel en mouvement $S^\prime$ en mesures du référentiel au repos $S$, plutôt que l’inverse. Dans ces cas, on peut utiliser la transformation de Lorentz inverse (inverse Lorentz transformation).
En calculant l’inverse de la matrice ($\ref{lorentz_transform_matrix}$), on obtient la matrice de transformation de Lorentz inverse suivante :

\[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ ct \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & \gamma\vec{\beta} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \gamma\vec{\beta} & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1^\prime \\ x_2^\prime \\ x_3^\prime \\ ct^\prime \end{pmatrix}. \tag{17}\]

Cela revient à échanger les quantités physiques avec et sans prime dans les équations ($\ref{eqn:lorentz_transform_x_fin}$)-($\ref{eqn:lorentz_transform_t_fin}$) et à remplacer $v$ par $-v$ (c’est-à-dire $\beta$ par $-\beta$).

• \[x = \frac{x^\prime+\vec{v}t^\prime}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \tag{18}\]
• \[y = y^\prime \tag{19}\]
• \[z = z^\prime \tag{20}\]
• \[t = \frac{t^\prime+\cfrac{\vec{v}x^\prime}{c^2}}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \tag{21}\]