Équations différentielles linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants
Nous examinons la forme de la solution générale des équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants selon le signe du discriminant de l'équation caractéristique.
TL;DR
- Équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants : $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$
- Équation caractéristique : $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$
- Selon le signe du discriminant $a^2 - 4b$ de l’équation caractéristique, la forme de la solution générale peut être divisée en trois cas comme indiqué dans le tableau
Cas Racines de l’équation caractéristique Base des solutions Solution générale I Racines réelles distinctes
$\lambda_1$, $\lambda_2$$e^{\lambda_1 x}$, $e^{\lambda_2 x}$ $y = c_1e^{\lambda_1 x} + c_2e^{\lambda_2 x}$ II Racine réelle double
$\lambda = -\cfrac{1}{2}a$$e^{-ax/2}$, $xe^{-ax/2}$ $y = (c_1 + c_2 x)e^{-ax/2}$ III Racines complexes conjuguées
$\lambda_1 = -\cfrac{1}{2}a + i\omega$,
$\lambda_2 = -\cfrac{1}{2}a - i\omega$$e^{-ax/2}\cos{\omega x}$,
$e^{-ax/2}\sin{\omega x}$$y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x})$
Prérequis
Équation caractéristique
Considérons l’équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants $a$ et $b$ :
\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0 \label{eqn:ode_with_constant_coefficients}\tag{1}\]Ce type d’équation trouve d’importantes applications dans les vibrations mécaniques et électriques.
Comme nous l’avons vu précédemment dans l’équation de Bernoulli, la solution de l’équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant $k$ :
\[y^\prime + ky = 0\]est la fonction exponentielle $y = ce^{-kx}$ (cas où $A=-k$, $B=0$ dans l’équation (4) de cet article).
Par conséquent, pour l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) qui a une forme similaire, nous pouvons d’abord essayer une solution de la forme :
\[y=e^{\lambda x}\label{eqn:general_sol}\tag{2}\]Bien sûr, ce n’est qu’une supposition, et il n’y a aucune garantie que la solution générale aura réellement cette forme. Cependant, si nous parvenons à trouver deux solutions linéairement indépendantes, alors comme nous l’avons vu dans les équations différentielles linéaires homogènes du second ordre, nous pourrons obtenir la solution générale grâce au principe de superposition.
Comme nous le verrons bientôt, il existe des cas où nous devrons trouver d’autres formes de solutions.
En substituant l’équation ($\ref{eqn:general_sol}$) et ses dérivées :
\[y^\prime = \lambda e^{\lambda x}, \quad y^{\prime\prime} = \lambda^2 e^{\lambda x}\]dans l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), nous obtenons :
\[(\lambda^2 + a\lambda + b)e^{\lambda x} = 0\]Par conséquent, si $\lambda$ est une solution de l’équation caractéristique :
\[\lambda^2 + a\lambda + b = 0 \label{eqn:characteristic_eqn}\tag{3}\]alors la fonction exponentielle ($\ref{eqn:general_sol}$) est une solution de l’équation différentielle ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$). Les solutions de l’équation quadratique ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) sont :
\[\begin{align*} \lambda_1 &= \frac{1}{2}\left(-a + \sqrt{a^2 - 4b}\right), \\ \lambda_2 &= \frac{1}{2}\left(-a - \sqrt{a^2 + 4b}\right) \end{align*}\label{eqn:lambdas}\tag{4}\]et par conséquent, les deux fonctions :
\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x} \tag{5}\]sont des solutions de l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$).
Les termes équation caractéristique et équation auxiliaire sont souvent utilisés de manière interchangeable, et ils ont exactement la même signification. Les deux désignations sont acceptables.
Maintenant, selon le signe du discriminant $a^2 - 4b$ de l’équation caractéristique ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$), nous pouvons distinguer trois cas :
- $a^2 - 4b > 0$ : deux racines réelles distinctes
- $a^2 - 4b = 0$ : une racine réelle double
- $a^2 - 4b < 0$ : deux racines complexes conjuguées
Forme de la solution générale selon le signe du discriminant de l’équation caractéristique
I. Deux racines réelles distinctes $\lambda_1$ et $\lambda_2$
Dans ce cas, la base des solutions de l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) sur n’importe quel intervalle est :
\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x}\]et la solution générale correspondante est :
\[y = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} \label{eqn:general_sol_1}\tag{6}\]II. Racine réelle double $\lambda = -\cfrac{a}{2}$
Lorsque $a^2 - 4b = 0$, l’équation quadratique ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) n’a qu’une seule racine $\lambda = \lambda_1 = \lambda_2 = -\cfrac{a}{2}$, et donc la seule solution de la forme $y = e^{\lambda x}$ que nous pouvons obtenir est :
\[y_1 = e^{-(a/2)x}\]Pour obtenir une base, nous devons trouver une deuxième solution $y_2$ qui soit indépendante de $y_1$.
Dans cette situation, nous pouvons utiliser la réduction d’ordre que nous avons étudiée précédemment. En posant la deuxième solution recherchée comme $y_2=uy_1$, et en calculant :
\[\begin{align*} y_2 &= uy_1, \\ y_2^{\prime} &= u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}, \\ y_2^{\prime\prime} &= u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime} \end{align*}\]puis en substituant dans l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), nous obtenons :
\[(u^{\prime\prime}y_1 + 2u^\prime y_1^\prime + uy_1^{\prime\prime}) + a(u^\prime y_1 + uy_1^\prime) + buy_1 = 0\]En regroupant les termes en $u^{\prime\prime}$, $u^\prime$ et $u$, nous avons :
\[y_1u^{\prime\prime} + (2y_1^\prime + ay_1)u^\prime + (y_1^{\prime\prime} + ay_1^\prime + by_1)u = 0\]Comme $y_1$ est une solution de l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), l’expression dans la dernière parenthèse est égale à $0$, et puisque :
\[2y_1^\prime = -ae^{-ax/2} = -ay_1\]l’expression dans la première parenthèse est également égale à $0$. Il ne reste donc que $u^{\prime\prime}y_1 = 0$, d’où $u^{\prime\prime}=0$. En intégrant deux fois, nous obtenons $u = c_1x + c_2$, et comme les constantes d’intégration $c_1$ et $c_2$ peuvent prendre n’importe quelle valeur, nous pouvons simplement choisir $c_1=1$ et $c_2=0$ pour avoir $u=x$. Alors $y_2 = uy_1 = xy_1$, et comme $y_1$ et $y_2$ sont linéairement indépendants, ils forment une base. Ainsi, lorsque l’équation caractéristique ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) a une racine double, la base des solutions de l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) sur n’importe quel intervalle est :
\[e^{-ax/2}, \quad xe^{-ax/2}\]et la solution générale correspondante est :
\[y = (c_1 + c_2x)e^{-ax/2} \label{eqn:general_sol_2}\tag{7}\]III. Racines complexes conjuguées $-\cfrac{1}{2}a + i\omega$ et $-\cfrac{1}{2}a - i\omega$
Dans ce cas, $a^2 - 4b < 0$ et $\sqrt{-1} = i$, donc à partir de l’équation ($\ref{eqn:lambdas}$) :
\[\cfrac{1}{2}\sqrt{a^2 - 4b} = \cfrac{1}{2}\sqrt{-(4b - a^2)} = \sqrt{-(b-\frac{1}{4}a^2)} = i\sqrt{b - \frac{1}{4}a^2}\]Définissons le nombre réel $\sqrt{b-\cfrac{1}{4}a^2} = \omega$.
Avec cette définition de $\omega$, les solutions de l’équation caractéristique ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) sont les racines complexes conjuguées $\lambda = -\cfrac{1}{2}a \pm i\omega$, ce qui donne les deux solutions complexes de l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) :
\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x}, \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} \end{align*}\]Cependant, nous pouvons également obtenir une base de solutions réelles comme suit.
En utilisant la formule d’Euler :
\[e^{it} = \cos t + i\sin t \label{eqn:euler_formula}\tag{8}\]et en remplaçant $t$ par $-t$ dans cette formule, nous obtenons :
\[e^{-it} = \cos t - i\sin t\]En additionnant et en soustrayant ces deux équations, nous obtenons :
\[\begin{align*} \cos t &= \frac{1}{2}(e^{it} + e^{-it}), \\ \sin t &= \frac{1}{2i}(e^{it} - e^{-it}). \end{align*} \label{eqn:cos_and_sin}\tag{9}\]La fonction exponentielle complexe $e^z$ d’une variable complexe $z = r + it$ avec partie réelle $r$ et partie imaginaire $it$ peut être définie en utilisant les fonctions réelles $e^r$, $\cos t$ et $\sin t$ comme suit :
\[e^z = e^{r + it} = e^r e^{it} = e^r(\cos t + i\sin t) \label{eqn:complex_exp}\tag{10}\]En posant $r=-\cfrac{1}{2}ax$ et $t=\omega x$, nous pouvons écrire :
\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} + i\sin{\omega x}) \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} - i\sin{\omega x}) \end{align*}\]Par le principe de superposition, la somme et les multiples constants de ces solutions complexes sont également des solutions. En additionnant ces deux équations et en multipliant les deux membres par $\cfrac{1}{2}$, nous obtenons la première solution réelle $y_1$ :
\[y_1 = e^{-(a/2)x} \cos{\omega x}. \label{eqn:basis_1}\tag{11}\]De même, en soustrayant la deuxième équation de la première et en multipliant les deux membres par $\cfrac{1}{2i}$, nous obtenons la deuxième solution réelle $y_2$ :
\[y_2 = e^{-(a/2)x} \sin{\omega x}. \label{eqn:basis_2}\tag{12}\]Comme $\cfrac{y_1}{y_2} = \cot{\omega x}$ n’est pas une constante, $y_1$ et $y_2$ sont linéairement indépendants sur tout intervalle et forment donc une base des solutions réelles de l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$). La solution générale est donc :
\[y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x}) \quad \text{(où }A,\, B\text{ sont des constantes arbitraires)} \label{eqn:general_sol_3}\tag{13}\]