Équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants
Nous examinons la forme de la solution générale d'une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants selon le signe du discriminant de l'équation caractéristique.
TL;DR
- Équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants : $y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0$
- Équation caractéristique : $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$
- La forme de la solution générale peut être divisée en trois cas selon le signe du discriminant $a^2 - 4b$ de l’équation caractéristique, comme indiqué dans le tableau
Cas Racines de l’équation caractéristique Base des solutions de l’EDO Solution générale de l’EDO I Racines réelles distinctes
$\lambda_1$, $\lambda_2$$e^{\lambda_1 x}$, $e^{\lambda_2 x}$ $y = c_1e^{\lambda_1 x} + c_2e^{\lambda_2 x}$ II Racine réelle double
$\lambda = -\cfrac{1}{2}a$$e^{-ax/2}$, $xe^{-ax/2}$ $y = (c_1 + c_2 x)e^{-ax/2}$ III Racines complexes conjuguées
$\lambda_1 = -\cfrac{1}{2}a + i\omega$,
$\lambda_2 = -\cfrac{1}{2}a - i\omega$$e^{-ax/2}\cos{\omega x}$
$e^{-ax/2}\sin{\omega x}$$y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x})$
Prérequis
Équation caractéristique
Examinons l’équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants $a$ et $b$
\[y^{\prime\prime} + ay^{\prime} + by = 0 \label{eqn:ode_with_constant_coefficients}\tag{1}\]Ce type d’équation est important dans les applications des vibrations mécaniques et électriques.
Comme nous l’avons vu précédemment dans l’équation de Bernoulli, la solution générale de l’équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant $k$
\[y^\prime + ky = 0\]est la fonction exponentielle $y = ce^{-kx}$. (C’est le cas où $A=-k$, $B=0$ dans l’équation (4) de cet article)
Par conséquent, pour l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) qui a une forme similaire, nous pouvons d’abord essayer une solution de la forme
\[y=e^{\lambda x}\label{eqn:general_sol}\tag{2}\]Bien sûr, ce n’est qu’une supposition et il n’y a aucune garantie que la solution générale aura réellement cette forme. Cependant, si nous parvenons à trouver deux solutions linéairement indépendantes, quelle que soit leur forme, nous pourrons obtenir la solution générale grâce au principe de superposition, comme nous l’avons vu dans les équations différentielles linéaires homogènes du second ordre.
Comme nous le verrons bientôt, il y a aussi des cas où nous devons trouver une solution d’une forme différente.
En substituant l’équation ($\ref{eqn:general_sol}$) et ses dérivées
\[y^\prime = \lambda e^{\lambda x}, \quad y^{\prime\prime} = \lambda^2 e^{\lambda x}\]dans l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), nous obtenons
\[(\lambda^2 + a\lambda + b)e^{\lambda x} = 0\]Par conséquent, si $\lambda$ est une solution de l’équation caractéristique
\[\lambda^2 + a\lambda + b = 0 \label{eqn:characteristic_eqn}\tag{3}\]alors la fonction exponentielle ($\ref{eqn:general_sol}$) est une solution de l’équation différentielle ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$). En résolvant l’équation quadratique ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$), nous obtenons
\[\begin{align*} \lambda_1 &= \frac{1}{2}\left(-a + \sqrt{a^2 - 4b}\right), \\ \lambda_2 &= \frac{1}{2}\left(-a + \sqrt{a^2 + 4b}\right) \end{align*}\label{eqn:lambdas}\tag{4}\]et à partir de cela, les deux fonctions
\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x} \tag{5}\]sont des solutions de l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$).
Maintenant, nous pouvons diviser les cas en trois selon le signe du discriminant $a^2 - 4b$ de l’équation caractéristique ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) :
- $a^2 - 4b > 0$ : deux racines réelles distinctes
- $a^2 - 4b = 0$ : une racine réelle double
- $a^2 - 4b < 0$ : deux racines complexes conjuguées
Forme de la solution générale selon le signe du discriminant de l’équation caractéristique
I. Deux racines réelles distinctes $\lambda_1$ et $\lambda_2$
Dans ce cas, la base des solutions de l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) sur tout intervalle est
\[y_1 = e^{\lambda_1 x}, \quad y_2 = e^{\lambda_2 x}\]et la solution générale correspondante est
\[y = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} \label{eqn:general_sol_1}\tag{6}\]II. Racine réelle double $\lambda = -\cfrac{a}{2}$
Lorsque $a^2 - 4b = 0$, l’équation quadratique ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) n’a qu’une seule solution $\lambda = \lambda_1 = \lambda_2 = -\cfrac{a}{2}$, et donc la seule solution de la forme $y = e^{\lambda x}$ que nous pouvons obtenir est
\[y_1 = e^{-(a/2)x}\]Pour obtenir une base, nous devons trouver une deuxième solution $y_2$ d’une forme différente et indépendante de $y_1$.
Dans cette situation, nous pouvons utiliser la méthode de réduction d’ordre que nous avons vue précédemment. En posant la deuxième solution recherchée comme $y_2=uy_1$, et en substituant
\[\begin{align*} y_2 &= uy_1, \\ y_2^{\prime} &= u^{\prime}y_1 + uy_1^{\prime}, \\ y_2^{\prime\prime} &= u^{\prime\prime}y_1 + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime} \end{align*}\]dans l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), nous obtenons
\[(u^{\prime\prime}y_1 + 2u^\prime y_1^\prime + uy_1^{\prime\prime}) + a(u^\prime y_1 + uy_1^\prime) + buy_1 = 0\]En regroupant les termes en $u^{\prime\prime}$, $u^\prime$, et $u$, nous obtenons
\[y_1u^{\prime\prime} + (2y_1^\prime + ay_1)u^\prime + (y_1^{\prime\prime} + ay_1^\prime + by_1)u = 0\]Ici, comme $y_1$ est une solution de l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$), l’expression entre les dernières parenthèses est égale à 0, et
\[2y_1^\prime = -ae^{-ax/2} = -ay_1\]donc l’expression entre les premières parenthèses est aussi égale à 0. Il ne reste donc que $u^{\prime\prime}y_1 = 0$, d’où $u^{\prime\prime}=0$. En intégrant deux fois, nous obtenons $u = c_1x + c_2$, où les constantes d’intégration $c_1$ et $c_2$ peuvent prendre n’importe quelle valeur. Nous pouvons simplement choisir $c_1=1$ et $c_2=0$ pour avoir $u=x$. Alors $y_2 = uy_1 = xy_1$, et comme $y_1$ et $y_2$ sont linéairement indépendants, ils forment une base. Donc, dans le cas où l’équation caractéristique ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) a une racine double, la base des solutions de l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) sur tout intervalle est
\[e^{-ax/2}, \quad xe^{-ax/2}\]et la solution générale correspondante est
\[y = (c_1 + c_2x)e^{-ax/2} \label{eqn:general_sol_2}\tag{7}\]III. Racines complexes conjuguées $-\cfrac{1}{2}a + i\omega$ et $-\cfrac{1}{2}a - i\omega$
Dans ce cas, $a^2 - 4b < 0$ et $\sqrt{-1} = i$, donc à partir de l’équation ($\ref{eqn:lambdas}$),
\[\cfrac{1}{2}\sqrt{a^2 - 4b} = \cfrac{1}{2}\sqrt{-(4b - a^2)} = \sqrt{-(b-\frac{1}{4}a^2)} = i\sqrt{b - \frac{1}{4}a^2}\]Définissons ici le nombre réel $\sqrt{b-\cfrac{1}{4}a^2} = \omega$.
Avec $\omega$ défini comme ci-dessus, les solutions de l’équation caractéristique ($\ref{eqn:characteristic_eqn}$) sont les racines complexes conjuguées $\lambda = -\cfrac{1}{2}a \pm i\omega$, et les deux solutions complexes correspondantes de l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$) sont
\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x}, \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} \end{align*}\]Cependant, dans ce cas aussi, nous pouvons obtenir une base de solutions réelles comme suit.
La formule d’Euler
\[e^{it} = \cos t + i\sin t \label{eqn:euler_formula}\tag{8}\]et l’équation obtenue en remplaçant $t$ par $-t$ dans l’équation ci-dessus
\[e^{-it} = \cos t - i\sin t\]nous donnent, en additionnant et soustrayant ces deux équations :
\[\begin{align*} \cos t &= \frac{1}{2}(e^{it} + e^{-it}), \\ \sin t &= \frac{1}{2i}(e^{it} - e^{-it}). \end{align*} \label{eqn:cos_and_sin}\tag{9}\]La fonction exponentielle complexe $e^z$ d’une variable complexe $z = r + it$ avec partie réelle $r$ et partie imaginaire $it$ peut être définie en utilisant les fonctions réelles $e^r$, $\cos t$ et $\sin t$ comme suit :
\[e^z = e^{r + it} = e^r e^{it} = e^r(\cos t + \sin t) \label{eqn:complex_exp}\tag{10}\]En posant $r=-\cfrac{1}{2}ax$ et $t=\omega x$, nous pouvons écrire :
\[\begin{align*} e^{\lambda_1 x} &= e^{-(a/2)x + i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} + i\sin{\omega x}) \\ e^{\lambda_2 x} &= e^{-(a/2)x - i\omega x} = e^{-(a/2)x}(\cos{\omega x} - i\sin{\omega x}) \end{align*}\]Par le principe de superposition, la somme et le produit par une constante de ces solutions complexes sont également des solutions. Donc, en additionnant ces deux équations membre à membre et en multipliant les deux côtés par $\cfrac{1}{2}$, nous obtenons la première solution réelle $y_1$ :
\[y_1 = e^{-(a/2)x} \cos{\omega x}. \label{eqn:basis_1}\tag{11}\]De la même manière, en soustrayant la deuxième équation de la première et en multipliant les deux côtés par $\cfrac{1}{2i}$, nous obtenons la deuxième solution réelle $y_2$ :
\[y_2 = e^{-(a/2)x} \sin{\omega x}. \label{eqn:basis_2}\tag{12}\]Comme $\cfrac{y_1}{y_2} = \cot{\omega x}$ n’est pas une constante, $y_1$ et $y_2$ sont linéairement indépendants sur tout intervalle et forment donc une base des solutions réelles de l’équation ($\ref{eqn:ode_with_constant_coefficients}$). À partir de cela, nous obtenons la solution générale
\[y = e^{-ax/2}(A\cos{\omega x} + B\sin{\omega x}) \quad \text{(}A,\, B\text{ sont des constantes arbitraires)} \label{eqn:general_sol_3}\tag{13}\]