Équation d'Euler-Cauchy
Examinons la forme de la solution générale de l'équation d'Euler-Cauchy selon le signe du discriminant de l'équation auxiliaire.
TL;DR
- Équation d’Euler-Cauchy : $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$
- Équation auxiliaire : $m^2 + (a-1)m + b = 0$
- Selon le signe du discriminant $(1-a)^2 - 4b$ de l’équation auxiliaire, la forme de la solution générale peut être divisée en trois cas comme indiqué dans le tableau
Cas Solutions de l’équation auxiliaire Base des solutions de l’équation d’Euler-Cauchy Solution générale de l’équation d’Euler-Cauchy I Racines réelles distinctes
$m_1$, $m_2$$x^{m_1}$, $x^{m_2}$ $y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}$ II Racine réelle double
$m = \cfrac{1-a}{2}$$x^{(1-a)/2}$, $x^{(1-a)/2}\ln{x}$ $y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m$ III Racines complexes conjuguées
$m_1 = \cfrac{1}{2}(1-a) + i\omega$,
$m_2 = \cfrac{1}{2}(1-a) - i\omega$$x^{(1-a)/2}\cos{(\omega \ln{x})}$,
$x^{(1-a)/2}\sin{(\omega \ln{x})}$$y = x^{(1-a)/2}[A\cos{(\omega \ln{x})} + B\sin{(\omega \ln{x})}]$
Prérequis
- Équations différentielles ordinaires linéaires homogènes du second ordre
- Équations différentielles ordinaires linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants
- Formule d’Euler
Équation auxiliaire
L’équation d’Euler-Cauchy est une équation différentielle de la forme
\[x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0 \label{eqn:euler_cauchy_eqn}\tag{1}\]où $a$ et $b$ sont des constantes et $y(x)$ est une fonction inconnue. En substituant
\[y=x^m, \qquad y^{\prime}=mx^{m-1}, \qquad y^{\prime\prime}=m(m-1)x^{m-2}\]dans l’équation ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$), on obtient
\[x^2m(m-1)x^{m-2} + axmx^{m-1} + bx^m = 0,\]c’est-à-dire
\[[m(m-1) + am + b]x^m = 0\]De là, on obtient l’équation auxiliaire
\[m^2 + (a-1)m + b = 0 \label{eqn:auxiliary_eqn}\tag{2}\]et la condition nécessaire et suffisante pour que $y=x^m$ soit une solution de l’équation d’Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) est que $m$ soit une solution de l’équation auxiliaire ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$).
En résolvant l’équation quadratique ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$), on obtient
\[\begin{align*} m_1 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) + \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right], \\ m_2 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) - \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right] \end{align*}\label{eqn:m1_and_m2}\tag{3}\]et par conséquent, les deux fonctions
\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]sont des solutions de l’équation ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$).
Comme dans le cas des équations différentielles ordinaires linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants, on peut distinguer trois cas selon le signe du discriminant $(1-a)^2 - 4b$ de l’équation auxiliaire ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) :
- $(1-a)^2 - 4b > 0$ : deux racines réelles distinctes
- $(1-a)^2 - 4b = 0$ : une racine réelle double
- $(1-a)^2 - 4b < 0$ : racines complexes conjuguées
Forme de la solution générale selon le signe du discriminant de l’équation auxiliaire
I. Deux racines réelles distinctes $m_1$ et $m_2$
Dans ce cas, la base des solutions de l’équation ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) sur n’importe quel intervalle est
\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]et la solution générale correspondante est
\[y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2} \label{eqn:general_sol_1}\tag{4}\]II. Racine réelle double $m = \cfrac{1-a}{2}$
Lorsque $(1-a)^2 - 4b = 0$, c’est-à-dire $b=\cfrac{(1-a)^2}{4}$, l’équation quadratique ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) n’a qu’une seule solution $m = m_1 = m_2 = \cfrac{1-a}{2}$, et donc la seule solution de la forme $y = x^m$ que l’on peut obtenir est
\[y_1 = x^{(1-a)/2}\]et l’équation d’Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) prend la forme
\[y^{\prime\prime} + \frac{a}{x}y^{\prime} + \frac{(1-a)^2}{4x^2}y = 0 \label{eqn:standard_form}\tag{5}\]Trouvons maintenant une autre solution linéairement indépendante $y_2$ en utilisant la méthode de réduction d’ordre.
En posant la deuxième solution recherchée sous la forme $y_2=uy_1$, on obtient
\[u = \int U, \qquad U = \frac{1}{y_1^2}\exp\left(-\int \frac{a}{x}\ dx \right)\]Comme $\exp \left(-\int \cfrac{a}{x}\ dx \right) = \exp (-a\ln x) = \exp(\ln{x^{-a}}) = x^{-a}$, on a
\[U = \frac{x^{-a}}{y_1^2} = \frac{x^{-a}}{x^{(1-a)}} = \frac{1}{x}\]et en intégrant, on obtient $u = \ln x$.
Par conséquent, $y_2 = uy_1 = y_1 \ln x$, et $y_1$ et $y_2$ sont linéairement indépendants car leur quotient n’est pas constant. La solution générale correspondant à la base $y_1$ et $y_2$ est
\[y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m \label{eqn:general_sol_2}\tag{6}\]III. Racines complexes conjuguées
Dans ce cas, les solutions de l’équation auxiliaire ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) sont $m = \cfrac{1}{2}(1-a) \pm i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}$, et les deux solutions complexes correspondantes de l’équation ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) peuvent s’écrire, en utilisant $x=e^{\ln x}$, comme suit :
\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2 + i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}, \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2 - i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{-i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(-\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}. \end{align*} \tag{7}\]En posant $t=\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x$ et en utilisant la formule d’Euler $e^{it} = \cos{t} + i\sin{t}$, on obtient
\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right], \\ x^{m_1} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) - i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right] \end{align*} \tag{8}\]et de là, on obtient les deux solutions réelles suivantes :
\[\begin{align*} \frac{x^{m_1} + x^{m_2}}{2} &= x^{(1-a)/2}\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right), \\ \frac{x^{m_1} - x^{m_2}}{2i} &= x^{(1-a)/2}\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \end{align*} \tag{9}\]Comme leur quotient $\cos\left(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right)$ n’est pas constant, ces deux solutions sont linéairement indépendantes et forment donc une base des solutions de l’équation d’Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) selon le principe de superposition. On obtient ainsi la solution générale réelle suivante :
\[y = x^{(1-a)/2} \left[ A\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + B\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right]. \label{eqn:general_sol_3}\tag{10}\]Cependant, le cas où l’équation auxiliaire de l’équation d’Euler-Cauchy a des racines complexes conjuguées n’a pas une grande importance pratique.