Équation d'Euler-Cauchy

TL;DR

• Équation d’Euler-Cauchy : $x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0$
• Équation auxiliaire : $m^2 + (a-1)m + b = 0$
• La forme de la solution générale dépend du signe du discriminant $(1-a)^2 - 4b$ de l’équation auxiliaire, comme indiqué dans le tableau

Cas	Racines de l’équation auxiliaire	Base des solutions de l’équation d’Euler-Cauchy	Solution générale de l’équation d’Euler-Cauchy
I	Racines réelles distinctes $m_1$, $m_2$	$x^{m_1}$, $x^{m_2}$	$y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}$
II	Racine réelle double $m = \cfrac{1-a}{2}$	$x^{(1-a)/2}$, $x^{(1-a)/2}\ln{x}$	$y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m$
III	Racines complexes conjuguées $m_1 = \cfrac{1}{2}(1-a) + i\omega$, $m_2 = \cfrac{1}{2}(1-a) - i\omega$	$x^{(1-a)/2}\cos{(\omega \ln{x})}$, $x^{(1-a)/2}\sin{(\omega \ln{x})}$	$y = x^{(1-a)/2}[A\cos{(\omega \ln{x})} + B\sin{(\omega \ln{x})}]$

Prérequis

• Équations différentielles ordinaires linéaires homogènes du second ordre
• Équations différentielles ordinaires linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants
• Formule d’Euler

Équation auxiliaire

L’équation d’Euler-Cauchy est une équation différentielle de la forme

\[x^2y^{\prime\prime} + axy^{\prime} + by = 0 \label{eqn:euler_cauchy_eqn}\tag{1}\]

où $a$ et $b$ sont des constantes et $y(x)$ est la fonction inconnue. En substituant dans l’équation ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$)

\[y=x^m, \qquad y^{\prime}=mx^{m-1}, \qquad y^{\prime\prime}=m(m-1)x^{m-2}\]

on obtient

\[x^2m(m-1)x^{m-2} + axmx^{m-1} + bx^m = 0,\]

soit

\[[m(m-1) + am + b]x^m = 0\]

Ce qui nous donne l’équation auxiliaire

\[m^2 + (a-1)m + b = 0 \label{eqn:auxiliary_eqn}\tag{2}\]

La condition nécessaire et suffisante pour que $y=x^m$ soit une solution de l’équation d’Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) est que $m$ soit une racine de l’équation auxiliaire ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$).

Les racines de cette équation quadratique ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) sont

\[\begin{align*} m_1 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) + \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right], \\ m_2 &= \frac{1}{2}\left[(1-a) - \sqrt{(1-a)^2 - 4b} \right] \end{align*}\label{eqn:m1_and_m2}\tag{3}\]

et par conséquent, les deux fonctions

\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]

sont des solutions de l’équation ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$).

Comme pour les équations différentielles ordinaires linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants, nous pouvons distinguer trois cas selon le signe du discriminant $(1-a)^2 - 4b$ de l’équation auxiliaire ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) :

• $(1-a)^2 - 4b > 0$ : deux racines réelles distinctes
• $(1-a)^2 - 4b = 0$ : une racine réelle double
• $(1-a)^2 - 4b < 0$ : deux racines complexes conjuguées

Forme de la solution générale selon le signe du discriminant

I. Deux racines réelles distinctes $m_1$ et $m_2$

Dans ce cas, la base des solutions de l’équation ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) sur tout intervalle est

\[y_1 = x^{m_1}, \quad y_2 = x^{m_2}\]

et la solution générale est

\[y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2} \label{eqn:general_sol_1}\tag{4}\]

II. Racine réelle double $m = \cfrac{1-a}{2}$

Lorsque $(1-a)^2 - 4b = 0$, c’est-à-dire $b=\cfrac{(1-a)^2}{4}$, l’équation quadratique ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) n’a qu’une seule racine $m = m_1 = m_2 = \cfrac{1-a}{2}$, ce qui nous donne une solution de la forme

\[y_1 = x^{(1-a)/2}\]

et l’équation d’Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) devient

\[y^{\prime\prime} + \frac{a}{x}y^{\prime} + \frac{(1-a)^2}{4x^2}y = 0 \label{eqn:standard_form}\tag{5}\]

Trouvons maintenant une seconde solution linéairement indépendante $y_2$ en utilisant la réduction d’ordre.

Posons $y_2=uy_1$, ce qui nous donne

\[u = \int U, \qquad U = \frac{1}{y_1^2}\exp\left(-\int \frac{a}{x}\ dx \right)\]

Comme $\exp \left(-\int \cfrac{a}{x}\ dx \right) = \exp (-a\ln x) = \exp(\ln{x^{-a}}) = x^{-a}$, on a

\[U = \frac{x^{-a}}{y_1^2} = \frac{x^{-a}}{x^{(1-a)}} = \frac{1}{x}\]

En intégrant, on obtient $u = \ln x$.

Donc $y_2 = uy_1 = y_1 \ln x$, et $y_1$ et $y_2$ sont linéairement indépendants car leur rapport n’est pas constant. La solution générale est alors

\[y = (c_1 + c_2 \ln x)x^m \label{eqn:general_sol_2}\tag{6}\]

III. Racines complexes conjuguées

Dans ce cas, les racines de l’équation auxiliaire ($\ref{eqn:auxiliary_eqn}$) sont $m = \cfrac{1}{2}(1-a) \pm i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}$, et les deux solutions complexes correspondantes de l’équation ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) peuvent s’écrire, en utilisant $x=e^{\ln x}$ :

\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2 + i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}, \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2 - i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}(e^{\ln x})^{-i\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}} \\ &= x^{(1-a)/2}e^{i(-\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x)}. \end{align*} \tag{7}\]

En posant $t=\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x$ et en utilisant la formule d’Euler $e^{it} = \cos{t} + i\sin{t}$, on obtient

\[\begin{align*} x^{m_1} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right], \\ x^{m_2} &= x^{(1-a)/2}\left[\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) - i\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right] \end{align*} \tag{8}\]

Ce qui nous donne les deux solutions réelles suivantes :

\[\begin{align*} \frac{x^{m_1} + x^{m_2}}{2} &= x^{(1-a)/2}\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right), \\ \frac{x^{m_1} - x^{m_2}}{2i} &= x^{(1-a)/2}\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \end{align*} \tag{9}\]

Ces deux solutions sont linéairement indépendantes car leur rapport $\cos\left(\sqrt{b - \frac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right)$ n’est pas constant. Par le principe de superposition, elles forment une base des solutions de l’équation d’Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$). La solution générale réelle est donc

\[y = x^{(1-a)/2} \left[ A\cos\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) + B\sin\left(\sqrt{b - \tfrac{1}{4}(1-a)^2}\ln x \right) \right]. \label{eqn:general_sol_3}\tag{10}\]

Notons toutefois que le cas des racines complexes conjuguées dans l’équation d’Euler-Cauchy n’a pas une grande importance pratique.

Transformation en équation différentielle ordinaire linéaire homogène à coefficients constants

L’équation d’Euler-Cauchy peut être transformée en une équation différentielle ordinaire linéaire homogène à coefficients constants par un changement de variable.

En posant $x = e^t$, on obtient

\[\frac{d}{dx} = \frac{1}{x}\frac{d}{dt}, \quad \frac{d^2}{dx^2} = \frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2}{dt^2} - \frac{d}{dt} \right)\]

ce qui transforme l’équation d’Euler-Cauchy ($\ref{eqn:euler_cauchy_eqn}$) en l’équation différentielle à coefficients constants suivante :

\[y^{\prime\prime}(t) + (a-1)y^{\prime}(t) + by(t) = 0. \label{eqn:substituted}\tag{11}\]

En résolvant cette équation ($\ref{eqn:substituted}$) par les méthodes des équations différentielles ordinaires linéaires homogènes à coefficients constants, puis en substituant $t = \ln{x}$, on retrouve les résultats obtenus précédemment.