Solution des équations différentielles linéaires du premier ordre

Équation différentielle linéaire du premier ordre

Si une équation différentielle du premier ordre peut être mise sous la forme algébrique

\[y'+p(x)y=r(x) \tag{1}\]

on dit qu’elle est linéaire, sinon elle est non linéaire.

La forme de l’équation (1) est appelée forme standard d’une équation différentielle linéaire du premier ordre. Si le premier terme d’une équation différentielle linéaire du premier ordre donnée est $f(x)y’$, on peut obtenir la forme standard en divisant les deux côtés de l’équation par $f(x)$.

En ingénierie, $r(x)$ est souvent appelé entrée (input), $y(x)$ est appelé sortie (output) ou réponse (response) à l’entrée (et aux conditions initiales).

Équation différentielle linéaire homogène

Soit $J$ l’intervalle $a<x<b$ sur lequel nous cherchons à résoudre l’équation (1). Si $r(x)\equiv 0$ sur l’intervalle $J$ dans l’équation (1), alors

\[y'+p(x)y=0 \tag{2}\]

et on dit que l’équation est homogène. Dans ce cas, on peut utiliser la méthode de séparation des variables.

\[\frac{dy}{y} = -p(x)dx\] \[\log |y| = -\int p(x)dx + c^*\] \[y(x) = ce^{-\int p(x)dx} \tag{3}\]

Lorsque $c=0$, on obtient la solution triviale $y(x)=0$.

Équation différentielle linéaire non homogène

Si $r(x)\not\equiv 0$ sur l’intervalle $J$, on dit que l’équation est non homogène. Il est connu que l’équation différentielle linéaire non homogène (1) a un facteur intégrant qui ne dépend que de $x$. Ce facteur intégrant $F(x)$ peut être trouvé en utilisant la méthode pour trouver le facteur intégrant de l’équation (11), ou directement comme suit.

En multipliant l’équation (1) par $F(x)$, on obtient

\[Fy'+pFy=rF \tag{1*}\]

Si

\[pF=F'\]

alors le côté gauche de l’équation (1*) devient la dérivée $(Fy)’=F’y+Fy’$. En séparant les variables dans $pF=F’$, on obtient $dF/F=p\ dx$, et en intégrant et en écrivant $h=\int p\ dx$, on a

\[\log |F|=h=\int p\ dx\] \[F = e^h\]

En substituant dans l’équation (1*), on obtient

\[e^hy'+h'e^hy=e^hy'+(e^h)'=(e^hy)'=re^h\]

En intégrant, on obtient

\(e^hy=\int e^hr\ dx + c\) et en divisant par $e^h$, on obtient la formule de solution souhaitée.

\[y(x)=e^{-h}\left(\int e^hr\ dx + c\right),\qquad h=\int p(x)\ dx \tag{4}\]

Ici, la constante d’intégration dans $h$ n’est pas un problème.

Dans l’équation (4), la seule valeur qui dépend de la condition initiale donnée est $c$, donc si on écrit l’équation (4) comme la somme de deux termes

\[y(x)=e^{-h}\int e^hr\ dx + ce^{-h} \tag{4*}\]

on peut voir que

\[\text{Sortie totale}=\text{Réponse à l'entrée }r+\text{Réponse à la condition initiale} \tag{5}\]

Exemple : Circuit RL

Supposons qu’un circuit RL soit composé d’une batterie avec une force électromotrice $E=48\textrm{V}$, une résistance $R=11\mathrm{\Omega}$, et une inductance $L=0.1\text{H}$, et que le courant initial soit 0. Trouvez le modèle de ce circuit RL et résolvez l’équation différentielle résultante pour le courant $I(t)$.

Loi d’Ohm
Le courant $I$ dans le circuit provoque une chute de tension $RI$ aux bornes de la résistance.

Loi de Faraday sur l’induction électromagnétique
Le courant $I$ dans le circuit provoque une chute de tension $LI’=L\ dI/dt$ aux bornes de l’inductance.

Loi des mailles de Kirchhoff (KVL)
La force électromotrice appliquée à un circuit fermé est égale à la somme des chutes de tension aux bornes de tous les autres éléments du circuit.

Solution

Selon ces lois, le modèle du circuit RL est $LI’+RI=E(t)$, et sous forme standard

\[I'+\frac{R}{L}I=\frac{E(t)}{L} \tag{6}\]

Dans l’équation (4), en posant $x=t, y=I, p=R/L, h=(R/L)t$, on peut résoudre cette équation différentielle linéaire.

\[I=e^{-(R/L)t}\left(\int e^{(R/L)t} \frac{E(t)}{L}dt+c\right)\] \[I=e^{-(R/L)t}\left(\frac{E}{L}\frac{e^{(R/L)t}}{R/L}+c\right)=\frac{E}{R}+ce^{-(R/L)t} \tag{7}\]

Ici, $R/L=11/0.1=110$ et $E(t)=48$, donc

\[I=\frac{48}{11}+ce^{-110t}\]

De la condition initiale $I(0)=0$, on obtient $I(0)=E/R+c=0$, $c=-E/R$. À partir de cela, on peut trouver la solution particulière suivante.

\[I=\frac{E}{R}(1-e^{-(R/L)t}) \tag{8}\] \[\therefore I=\frac{48}{11}(1-e^{-110t})\]