Calcul de l'équilibre radiatif

TL;DR

Activité à un temps t arbitraire

\[\begin{align*} \alpha (t) &= \lambda n(t) \\ &= \alpha_0 e^{-\lambda t} \\ &= \alpha_0 e^{-0.693t/T_{1/2}} \end{align*}\]

Relation entre la constante de désintégration, la demi-vie et la durée de vie moyenne

\[\begin{align*} T_{1/2}&=\frac {\ln 2}{\lambda} = \frac {0.693}{\lambda} \\ \\ \overline{t}&=\frac {1}{\lambda} \\ &=\frac {T_{1/2}}{0.693}=1.44T_{1/2} \end{align*}\]

Constante de désintégration (Decay Constant)

• Probabilité qu’un noyau se désintègre par unité de temps
• Constante indépendante du temps, déterminée uniquement par le type de nucléide
• Notée par le symbole $\lambda$

Radioactivité (Radioactivity)

Si le nombre de noyaux qui ne se sont pas encore désintégrés au temps $t$ est n(t), alors en moyenne $\lambda n(t)$ noyaux se désintègrent pendant l’intervalle $dt$ entre $t$ et $t+dt$. Ce taux de désintégration est appelé radioactivité de l’échantillon et est noté par le symbole $\alpha$. Ainsi, la radioactivité à un temps $t$ donné est :

\[\alpha (t)=\lambda n(t) \tag{1}\]

Unités de radioactivité

Curie (Ci)

• Unité traditionnellement utilisée avant l’adoption du becquerel
• Radioactivité de 1g de radium-226
• $3.7\times 10^{10}$ désintégrations nucléaires par seconde ($3.7\times 10^{10}\text{Bq}$)

Becquerel (Bq)

• Unité du Système International (SI)
• Une désintégration nucléaire par seconde
• $1 \text{Bq} = 2.703\times 10^{-11}\text{Ci} = 27\text{pCi}$

Calcul de l’évolution de la radioactivité dans le temps

Comme $\lambda n(t)$ noyaux se désintègrent pendant $dt$, la diminution du nombre de noyaux restants dans l’échantillon pendant $dt$ peut être exprimée comme suit :

\[-dn(t)=\lambda n(t)dt\]

En intégrant, on obtient :

\[n(t)=n_0e^{-\lambda t} \tag{2}\]

En multipliant les deux côtés par $\lambda$, la radioactivité devient :

\[\alpha (t)=\alpha_0e^{-\lambda t} \tag{3}\]

La radioactivité est réduite de moitié pendant la demi-vie (half-life), donc :

\[\alpha (T_{1/2})=\alpha_0/2\]

En substituant cela dans l’équation (3) :

\[\alpha_0/2=\alpha_0e^{-\lambda T_{1/2}}\]

En prenant le logarithme des deux côtés et en résolvant pour la demi-vie $T_{1/2}$ :

\[T_{1/2}=\frac {\ln 2}{\lambda}=\frac {0.693}{\lambda} \tag{4}\]

En résolvant cette équation pour $\lambda$ et en la substituant dans l’équation (3) :

\[\alpha (t)=\alpha_0e^{-0.693t/T_{1/2}} \tag{5}\]

L’équation (5) est souvent plus pratique à utiliser que l’équation (3) pour les calculs de désintégration radioactive, car la valeur de la demi-vie est plus souvent donnée que la constante de désintégration.

La durée de vie moyenne (mean-life) $\overline{t}$ des noyaux radioactifs est l’inverse de la constante de désintégration.

\[\overline{t}=1/\lambda\]

De l’équation (3), on peut voir que pendant une durée de vie moyenne, la radioactivité tombe à $1/e$ de sa valeur initiale. De l’équation (4), on peut établir la relation suivante entre la durée de vie moyenne et la demi-vie :

\[\overline{t}=\frac {T_{1/2}}{0.693}=1.44T_{1/2} \tag{6}\]

※ Dérivation de la durée de vie moyenne $\overline{t}$

\[\begin{align*} \overline{t}&=\frac {\int_0^\infty t\alpha(t)}{\int_0^\infty t} = \frac {\int_0^\infty t\alpha(t)}{n_0} \\ &= \frac {\int_0^\infty n_0 \lambda te^{-\lambda t}}{n_0} \\ &= \int_0^\infty \lambda te^{-\lambda t} \\ &= \left[-te^{-\lambda t}\right]_0^\infty +\int_0^\infty e^{-\lambda t} \\ &=\left[-\frac {1}{\lambda} e^{-\lambda t}\right]_0^\infty \\ &=\frac {1}{\lambda} \end{align*}\]

Exemple : Chaîne de désintégration radioactive 1

Supposons qu’un radionucléide soit produit à une vitesse de $R$ atomes/s. Ces noyaux commencent à se désintégrer dès leur formation. Calculez la radioactivité de ce nucléide à un temps t arbitraire.

flowchart LR
	Start[?] -- R --> A[Modèle mathématique]
	A -- α --> End[?]

1. Établissement du modèle

\[\text{Taux de variation du nucléide dans le temps} = \text{Taux de production} - \text{Taux de perte}\]

En notation mathématique :

\[dn/dt = -\lambda n + R\]

2. Solution générale

Déplaçons tous les termes en $n$ vers la gauche et multiplions les deux côtés par $e^{\lambda t}$.

\[\frac {dn}{dt} + \lambda n = R\] \[e^{\lambda t}\frac {dn}{dt} + \lambda e^{\lambda t}n = Re^{\lambda t}\]

Comme $\lambda e^{\lambda t}=\frac {d}{dt} e^{\lambda t}$, on peut réarranger comme suit :

\[e^{\lambda t}\frac {dn}{dt}+\left(\frac {d}{dt} e^{\lambda t}\right)n = Re^{\lambda t}\]

En intégrant les deux côtés, on obtient la solution générale :

\[e^{\lambda t}n=\frac {R}{\lambda}e^{\lambda t}+c\] \[n=ce^{-\lambda t}+\frac {R}{\lambda}\]

3. Solution particulière

Supposons que le nombre de ce nucléide soit $n_0$ à $t=0$ et trouvons la valeur de la constante $c$.

\[n(0)=c+\frac {R}{\lambda}=n_0\] \[c=n_0-\frac {R}{\lambda}\]

Donc, la solution particulière pour la situation donnée est :

\[n = n_0e^{-\lambda t}+\frac {R}{\lambda}(1-e^{-\lambda t}) \tag{7}\]

On peut obtenir la radioactivité de ce nucléide en multipliant les deux côtés de l’équation par $\lambda$.

\[\alpha = \alpha_0e^{-\lambda t}+R(1-e^{-\lambda t}) \tag{8}\]

Ainsi, quand $t\to\infty$, $\alpha_{\text{max}}=R$, $n_{\text{max}}=R/\lambda$.

Exemple : Chaîne de désintégration radioactive 2

Calculez la radioactivité du radionucléide B dans la chaîne de désintégration suivante :

flowchart LR
	A --> B
	B --> C

1. Établissement du modèle

\[\text{Taux de variation du nombre de noyaux B} = \text{Taux de production par désintégration de A} - \text{Taux de désintégration de B en C}\] \[\frac {dn_B}{dt} = -\lambda_B n_B + \lambda_A n_A\]

En substituant l’équation (2) pour $n_A$, on obtient l’équation différentielle suivante pour $n_B$ :

\[\frac {dn_B}{dt} = -\lambda_B n_B + \lambda_A n_{A0}e^{-\lambda_A t} \tag{9}\]

2. Solution générale

Pour résoudre l’équation différentielle, déplaçons tous les termes en $n_B$ vers la gauche et multiplions les deux côtés par $e^{\lambda_B t}$.

\[\frac {dn_B}{dt} + \lambda_B n_B = n_{A0}\lambda_A e^{-\lambda_A t}\] \[e^{\lambda_B t}\frac {dn_B}{dt} + \lambda_B e^{\lambda_B t}n_B = n_{A0}\lambda_A e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}\]

Comme $\lambda_B e^{\lambda_B t}=\frac {d}{dt} e^{\lambda_b t}$, on peut réarranger comme suit :

\[e^{\lambda_B t}\frac {dn_B}{dt} + \left(\frac {d}{dt} e^{\lambda_B t}\right)n_B = n_{A0}\lambda_A e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}\]

En intégrant les deux côtés :

\[e^{\lambda_B t}n_B = \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}e^{(\lambda_B-\lambda_A)t}+c\]

En divisant les deux côtés par $e^{\lambda_B t}$, on obtient la solution générale :

\[n_B = \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}e^{-\lambda_A t}+ce^{-\lambda_B t}\]

3. Solution particulière

Supposons que le nombre d’éléments B soit $n_{B0}$ à $t=0$ et trouvons la valeur de la constante $c$.

\[n_B(0)=\frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}+c=n_{B0}\] \[c=n_{B0}-\frac{n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B-\lambda_A}\]

Donc, la solution particulière pour la situation donnée est :

\[n_B = n_{B0}e^{-\lambda_B t} + \frac {n_{A0}\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} (e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t}) \tag{10}\] \[\therefore \alpha_B = \alpha_{B0} e^{-\lambda_B t} + \frac {\alpha_{A0}\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} (e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t}) \tag{11}\]