Équation de Bernoulli (Bernoulli Equation)

Équation de Bernoulli (Bernoulli Equation)

\[y'+p(x)y=g(x)y^a\quad \text{(}a\text{ est un nombre réel quelconque)} \tag{1}\]

L’équation de Bernoulli (1) est linéaire si $a=0$ ou $a=1$, et non linéaire dans les autres cas. Cependant, elle peut être transformée en une équation linéaire par le processus suivant.

Posons \(u(x)=[y(x)]^{1-a}\)

et différencions, puis substituons $y’$ de l’équation (1) pour obtenir

\[\begin{align*} u'&=(1-a)y^{-a}y' \\&=(1-a)y^{-a}(gy^a-py) \\&=(1-a)(g-py^{1-a}) \end{align*}\]

Dans le membre de droite, $y^{1-a}=u$, donc nous obtenons l’équation différentielle linéaire suivante :

\[u'+(1-a)pu=(1-a)g \tag{2}\]

Exemple : Équation logistique (Logistic Equation)

Résolvez l’équation logistique (une forme spéciale de l’équation de Bernoulli).

\[y'=Ay-By^2 \tag{3}\]

Solution

Si nous écrivons l’équation (3) sous la forme de l’équation (1), nous obtenons

\[y'-Ay=-By^2\]

Ici, $a=2$, donc $u=y^{1-a}=y^{-1}$. Si nous différencions ce u et substituons $y’$ de l’équation (3), nous obtenons

\[u'=-y^{-2}y'=-y^{-2}(Ay-By^2)=B-Ay^{-1}\]

Le dernier terme est $-Ay^{-1}=-Au$, donc nous obtenons l’équation différentielle linéaire suivante :

\[u'+Au=B\]

Selon la formule de solution pour l’équation différentielle linéaire non homogène, nous pouvons obtenir la solution générale suivante :

\[u=ce^{-At}+B/A\]

Comme $u=1/y$, nous obtenons de là la solution générale de l’équation (3)

\[y=\frac{1}{u}=\frac{1}{ce^{-At}+B/A} \tag{4}\]