Concepts de base de la modélisation

Modélisation

• Modèle : Formalisation mathématique d’un problème d’ingénierie à l’aide de variables, de fonctions et d’équations
• Modélisation mathématique ou modélisation : Processus d’établissement d’un modèle, de sa résolution mathématique et d’interprétation des résultats

flowchart LR
	title([Modélisation])
	A[Système physique] --> B[Modèle mathématique]
	B[Modèle mathématique] --> C[Solution mathématique]
	C[Solution mathématique] --> D[Interprétation physique]

De nombreux concepts physiques tels que la vitesse ou l’accélération étant des dérivées, les modèles prennent souvent la forme d’équations différentielles.

Équations différentielles ordinaires (EDO) et équations aux dérivées partielles (EDP)

Équations différentielles ordinaires (EDO)

Équation différentielle ordinaire (EDO) : Équation contenant la dérivée n-ième d’une fonction inconnue

Exemples :

\[y' = \cos x\] \[y'' + 9y = e^{-2x}\] \[y'y''' - \frac{3}{2}y'^{2} = 0\]

Équations aux dérivées partielles (EDP)

Équation aux dérivées partielles (EDP) : Équation contenant les dérivées partielles d’une fonction inconnue à plusieurs variables

Exemple :

\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\]

Solution

Une fonction $h(x)$ définie et différentiable sur un intervalle ouvert $(a, b)$ est une solution de l’équation différentielle ordinaire donnée sur l’intervalle $(a, b)$ si l’équation devient une identité lorsque $y$ et $y’$ sont remplacés respectivement par $h$ et $h’$. La courbe de $h$ est appelée courbe solution.

\[y = h(x)\]

Exemples :

\[y'=\cos x \Leftrightarrow y=\sin x+c\] \[y'=0.2y \Leftrightarrow y=ce^{0.2t}\]

Une solution contenant une constante arbitraire $c$ est appelée solution générale de l’équation différentielle ordinaire.

Géométriquement, la solution générale d’une EDO est un ensemble infini de courbes solutions, avec une courbe correspondant à chaque valeur de la constante $c$. Le choix d’une constante $c$ spécifique donne une solution particulière de l’EDO.

Problème à valeur initiale

Pour obtenir une solution particulière du problème donné, il faut déterminer la valeur de la constante arbitraire $c$, ce qui peut souvent être fait à l’aide d’une condition initiale de la forme $y(x_{0})=y_{0}$ ou $y(t_{0})=y_{0}$ (on parle de condition initiale même si la variable indépendante n’est pas le temps ou si $t_{0}\neq0$). Une équation différentielle ordinaire avec une condition initiale est appelée problème à valeur initiale.

Exemple :

\[y'=f(x,y),\qquad y(x_{0})=y_{0}\]

Exemple de modélisation : Décroissance exponentielle d’une substance radioactive

Déterminez la quantité restante d’une substance radioactive au fil du temps, sachant que la quantité initiale est de 0,5g.

L’expérience montre que les substances radioactives se décomposent à une vitesse proportionnelle à la quantité restante à chaque instant, et donc décroissent avec le temps.

1. Établissement du modèle mathématique

Soit $y(t)$ la quantité de substance restante au temps $t$. Comme $y’(t)$ est proportionnel à $y(t)$, on obtient l’équation différentielle ordinaire du premier ordre :

\[\frac {dy}{dt} = -ky\]

(où $k>0$ est une constante).

On connaît également la condition initiale $y(0)=0.5$. Le modèle mathématique peut donc être formulé comme le problème à valeur initiale suivant :

\[\frac {dy}{dt} = -ky, \qquad y(0)=0.5\]

2. Résolution mathématique

La solution générale de l’équation différentielle établie précédemment est (voir Méthode de séparation des variables) :

\[y(t)=ce^{-kt}\]

Comme $y(0)=c$, on obtient $y(0)=c=0.5$ à partir de la condition initiale. La solution particulière recherchée est donc :

\[y(t)=0.5e^{-kt} \quad(k>0)\]

3. Interprétation physique de la solution

La solution obtenue représente la quantité de substance radioactive à un instant $t$ quelconque. La quantité de substance radioactive décroît à partir de la valeur initiale de 0,5(g) avec le temps, et la valeur limite de $y$ lorsque $t \to \infty$ est $0$.