Wronskiano, existencia y unicidad de soluciones

TL;DR

Para un intervalo $I$ donde los coeficientes variables $p$ y $q$ son continuos, consideremos la ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0\]

y las condiciones iniciales

\[y(x_0)=K_0, \qquad y^{\prime}(x_0)=K_1\]

Se cumplen los siguientes cuatro teoremas:

1. Teorema de existencia y unicidad para problemas de valor inicial: El problema de valor inicial formado por la ecuación dada y las condiciones iniciales tiene una única solución $y(x)$ en el intervalo $I$.
2. Determinación de dependencia/independencia lineal mediante el Wronskiano: Para dos soluciones $y_1$ y $y_2$ de la ecuación, si existe un punto $x_0$ en el intervalo $I$ donde el Wronskiano $W(y_1, y_2) = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime}$ es igual a $0$, entonces las soluciones son linealmente dependientes. Además, si existe un punto $x_1$ en $I$ donde $W\neq 0$, entonces las soluciones son linealmente independientes.
3. Existencia de la solución general: La ecuación dada tiene una solución general en el intervalo $I$.
4. Inexistencia de soluciones singulares: Esta solución general incluye todas las soluciones de la ecuación (es decir, no existen soluciones singulares).

Prerrequisitos

• Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden
• Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden
• Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes
• Ecuación de Euler-Cauchy
• Matrices inversas y singulares, determinantes

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas con coeficientes variables continuos

Anteriormente estudiamos la solución general de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes y la ecuación de Euler-Cauchy. En este artículo, extenderemos nuestra discusión a un caso más general, examinando la existencia y forma de la solución general de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes variables $p$ y $q$ continuos:

\[y^{\prime\prime} + p(x)y^{\prime} + q(x)y = 0 \label{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}\tag{1}\]

Además, estudiaremos la unicidad del problema de valor inicial formado por la ecuación diferencial ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) y las siguientes dos condiciones iniciales:

\[y(x_0)=K_0, \qquad y^{\prime}(x_0)=K_1 \label{eqn:initial_conditions}\tag{2}\]

Anticipando la conclusión, el punto clave de este artículo es que las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes continuos no tienen soluciones singulares (soluciones que no pueden obtenerse de la solución general).

Teorema de existencia y unicidad para problemas de valor inicial

Teorema de existencia y unicidad para problemas de valor inicial
Si $p(x)$ y $q(x)$ son funciones continuas en algún intervalo abierto $I$, y $x_0$ está en el intervalo $I$, entonces el problema de valor inicial formado por las ecuaciones ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) y ($\ref{eqn:initial_conditions}$) tiene una única solución $y(x)$ en el intervalo $I$.

No abordaremos aquí la demostración de la existencia, y nos centraremos solo en la demostración de la unicidad, que suele ser más sencilla.
Si no estás interesado en la demostración, puedes pasar directamente a la sección Dependencia e independencia lineal de soluciones.

Demostración de la unicidad

Supongamos que el problema de valor inicial formado por la ecuación diferencial ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) y las condiciones iniciales ($\ref{eqn:initial_conditions}$) tiene dos soluciones $y_1(x)$ y $y_2(x)$ en el intervalo $I$. Si podemos demostrar que la diferencia entre estas dos soluciones

\[y(x) = y_1(x) - y_2(x)\]

es idénticamente igual a $0$ en el intervalo $I$, entonces $y_1 \equiv y_2$ en $I$, lo que demostraría la unicidad de la solución.

Como la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) es una ecuación diferencial lineal homogénea, la combinación lineal $y$ de $y_1$ y $y_2$ también es una solución en $I$. Dado que $y_1$ y $y_2$ satisfacen las mismas condiciones iniciales ($\ref{eqn:initial_conditions}$), $y$ satisface las condiciones

\[\begin{align*} & y(x_0) = y_1(x_0) - y_1(x_0) = 0, \\ & y^{\prime}(x_0) = y_1^{\prime}(x_0) - y_2^{\prime}(x_0) = 0 \end{align*} \label{eqn:initial_conditions_*}\tag{3}\]

Consideremos ahora la función

\[z(x) = y(x)^2 + y^{\prime}(x)^2\]

y su derivada

\[z^{\prime} = 2yy^{\prime} + 2y^{\prime}y^{\prime\prime}\]

De la ecuación diferencial, obtenemos

\[y^{\prime\prime} = -py^{\prime} - qy\]

Sustituyendo esto en la expresión de $z^{\prime}$, tenemos

\[z^{\prime} = 2yy^{\prime} - 2p{y^{\prime}}^2 - 2qyy^{\prime} \label{eqn:z_prime}\tag{4}\]

Como $y$ y $y^{\prime}$ son números reales, tenemos que

\[(y\pm y^{\prime})^2 = y^2 \pm 2yy^{\prime} + {y^{\prime}}^2 \geq 0\]

De esto y de la definición de $z$, obtenemos las dos desigualdades

\[(a)\ 2yy^{\prime} \leq y^2 + {y^{\prime}}^2 = z, \qquad (b)\ 2yy^{\prime} \geq -(y^2 + {y^{\prime}}^2) = -z \label{eqn:inequalities}\tag{5}\]

De estas dos desigualdades, podemos deducir que $|2yy^{\prime}|\leq z$, y por lo tanto, para el último término de la ecuación ($\ref{eqn:z_prime}$), se cumple la siguiente desigualdad:

\[\pm2qyy^{\prime} \leq |\pm 2qyy^{\prime}| = |q||2yy^{\prime}| \leq |q|z.\]

Usando este resultado junto con el hecho de que $-p \leq |p|$, y aplicando la desigualdad ($\ref{eqn:inequalities}$a) al término $2yy^{\prime}$ en la ecuación ($\ref{eqn:z_prime}$), obtenemos

\[z^{\prime} \leq z + 2|p|{y^{\prime}}^2 + |q|z\]

Como ${y^{\prime}}^2 \leq y^2 + {y^{\prime}}^2 = z$, esto nos lleva a

\[z^{\prime} \leq (1 + 2|p| + |q|)z\]

Si definimos la función dentro del paréntesis como $h = 1 + 2|p| + |q|$, tenemos

\[z^{\prime} \leq hz \quad \forall x \in I \label{eqn:inequality_6a}\tag{6a}\]

De manera similar, usando las ecuaciones ($\ref{eqn:z_prime}$) y ($\ref{eqn:inequalities}$), obtenemos

\[\begin{align*} -z^{\prime} &= -2yy^{\prime} + 2p{y^{\prime}}^2 + 2qyy^{\prime} \\ &\leq z + 2|p|z + |q|z = hz \end{align*} \label{eqn:inequality_6b}\tag{6b}\]

Estas dos desigualdades ($\ref{eqn:inequality_6a}$) y ($\ref{eqn:inequality_6b}$) son equivalentes a

\[z^{\prime} - hz \leq 0, \qquad z^{\prime} + hz \geq 0 \label{eqn:inequalities_7}\tag{7}\]

Los factores integrantes para los lados izquierdos de estas dos ecuaciones son

\[F_1 = e^{-\int h(x)\ dx} \qquad \text{y} \qquad F_2 = e^{\int h(x)\ dx}\]

Como $h$ es continua, la integral indefinida $\int h(x)\ dx$ existe, y como $F_1$ y $F_2$ son positivos, de las ecuaciones ($\ref{eqn:inequalities_7}$) obtenemos

\[F_1(z^{\prime} - hz) = (F_1 z)^{\prime} \leq 0, \qquad F_2(z^{\prime} + hz) = (F_2 z)^{\prime} \geq 0\]

Esto significa que $F_1 z$ no es creciente y $F_2 z$ no es decreciente en el intervalo $I$. Como $z(x_0) = 0$ según las ecuaciones ($\ref{eqn:initial_conditions_*}$), tenemos

\[\begin{cases} \left(F_1 z \geq (F_1 z)_{x_0} = 0\right)\ \& \ \left(F_2 z \leq (F_2 z)_{x_0} = 0\right) & (x \leq x_0) \\ \left(F_1 z \leq (F_1 z)_{x_0} = 0\right)\ \& \ \left(F_2 z \geq (F_2 z)_{x_0} = 0\right) & (x \geq x_0) \end{cases}\]

Finalmente, dividiendo ambos lados de las desigualdades por los valores positivos $F_1$ y $F_2$, podemos demostrar la unicidad de la solución:

\[(z \leq 0) \ \& \ (z \geq 0) \quad \forall x \in I\] \[z = y^2 + {y^{\prime}}^2 = 0 \quad \forall x \in I\] \[\therefore y \equiv y_1 - y_2 \equiv 0 \quad \forall x \in I. \ \blacksquare\]

Dependencia e independencia lineal de soluciones

Recordemos brevemente lo que vimos en Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden. La solución general en un intervalo abierto $I$ se construye a partir de una base $y_1$, $y_2$, es decir, un par de soluciones linealmente independientes. Dos soluciones $y_1$ y $y_2$ son linealmente independientes en el intervalo $I$ si para todo $x$ en el intervalo:

\[k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0 \Leftrightarrow k_1=0\text{ y }k_2=0 \label{eqn:linearly_independent}\tag{8}\]

Si esta condición no se cumple, y existe al menos un par de valores $k_1$, $k_2$ no ambos cero tales que $k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0$, entonces $y_1$ y $y_2$ son linealmente dependientes en el intervalo $I$. En este caso, para todo $x$ en el intervalo $I$:

\[\text{(a) } y_1 = ky_2 \quad \text{o} \quad \text{(b) } y_2 = ly_1 \label{eqn:linearly_dependent}\tag{9}\]

es decir, $y_1$ y $y_2$ son proporcionales.

Ahora, veamos el siguiente método para determinar la dependencia o independencia lineal de soluciones:

Determinación de dependencia/independencia lineal mediante el Wronskiano
i. Si la ecuación diferencial ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) tiene coeficientes $p(x)$ y $q(x)$ continuos en un intervalo abierto $I$, entonces una condición necesaria y suficiente para que dos soluciones $y_1$ y $y_2$ de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) en el intervalo $I$ sean linealmente dependientes es que el determinante wronskiano, o simplemente Wronskiano

\[W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1^{\prime} & y_2^{\prime} \\ \end{vmatrix} = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime} \label{eqn:wronskian}\tag{10}\]

sea igual a $0$ en algún punto $x_0$ del intervalo $I$.

\[\exists x_0 \in I: W(x_0)=0 \iff y_1 \text{ y } y_2 \text{ son linealmente dependientes}\]

ii. Si el Wronskiano $W=0$ en un punto $x=x_0$ del intervalo $I$, entonces $W=0$ para todo $x$ en el intervalo $I$.

\[\exists x_0 \in I: W(x_0)=0 \implies \forall x \in I: W(x)=0\]

En otras palabras, si existe un punto $x_1$ en el intervalo $I$ donde $W\neq 0$, entonces $y_1$ y $y_2$ son linealmente independientes en $I$.

\[\begin{align*} \exists x_1 \in I: W(x_0)\neq 0 &\implies \forall x \in I: W(x)\neq 0 \\ &\implies y_1 \text{ y } y_2 \text{ son linealmente independientes} \end{align*}\]

El Wronskiano fue introducido por el matemático polaco Józef Maria Hoene-Wroński, y recibió su nombre actual en 11882 EH por el matemático escocés Thomas Muir.

Demostración

i. (a)

Supongamos que $y_1$ y $y_2$ son linealmente dependientes en el intervalo $I$. Entonces, en el intervalo $I$, se cumple la ecuación ($\ref{eqn:linearly_dependent}$a) o ($\ref{eqn:linearly_dependent}$b). Si se cumple la ecuación ($\ref{eqn:linearly_dependent}$a), entonces

\[W(y_1, y_2) = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime} = ky_2ky_2^{\prime} - y_2ky_2^{\prime} = 0\]

De manera similar, si se cumple la ecuación ($\ref{eqn:linearly_dependent}$b), entonces

\[W(y_1, y_2) = y_1y_2^{\prime} - y_2y_1^{\prime} = y_1ly_1^{\prime} - ly_1y_1^{\prime} = 0\]

Por lo tanto, podemos confirmar que el Wronskiano $W(y_1, y_2)=0$ para todo $x$ en el intervalo $I$.

i. (b)

Inversamente, supongamos que $W(y_1, y_2)=0$ en algún punto $x = x_0$. Demostraremos que $y_1$ y $y_2$ son linealmente dependientes en el intervalo $I$. Consideremos el sistema de ecuaciones lineales con incógnitas $k_1$ y $k_2$:

\[\begin{gather*} k_1y_1(x_0) + k_2y_2(x_0) = 0 \\ k_1y_1^{\prime}(x_0) + k_2y_2^{\prime}(x_0) = 0 \end{gather*} \label{eqn:linear_system}\tag{11}\]

Esto puede expresarse como la siguiente ecuación vectorial:

\[\left[\begin{matrix} y_1(x_0) & y_2(x_0) \\ y_1^{\prime}(x_0) & y_2^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} k_1 \\ k_2 \end{matrix}\right] = 0 \label{eqn:vector_equation}\tag{12}\]

La matriz de coeficientes de esta ecuación vectorial es

\[A = \left[\begin{matrix} y_1(x_0) & y_2(x_0) \\ y_1^{\prime}(x_0) & y_2^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right]\]

y su determinante es precisamente $W(y_1(x_0), y_2(x_0))$. Como $\det(A) = W=0$, $A$ es una matriz singular (sin inversa), y por lo tanto, el sistema de ecuaciones ($\ref{eqn:linear_system}$) tiene una solución no trivial $(c_1, c_2)$ donde al menos uno de $c_1$ o $c_2$ no es cero. Definamos ahora la función

\[y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)\]

Como la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) es lineal homogénea, por el principio de superposición, esta función es una solución de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) en el intervalo $I$. De la ecuación ($\ref{eqn:linear_system}$), podemos ver que esta solución satisface las condiciones iniciales $y(x_0)=0$ y $y^{\prime}(x_0)=0$.

Por otro lado, existe la solución trivial $y^* \equiv 0$ que también satisface las mismas condiciones iniciales $y^*(x_0)=0$ y ${y^*}^{\prime}(x_0)=0$. Como los coeficientes $p$ y $q$ de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) son continuos, el Teorema de existencia y unicidad para problemas de valor inicial garantiza la unicidad de la solución, por lo que $y \equiv y^*$. Es decir, en el intervalo $I$:

\[c_1y_1 + c_2y_2 \equiv 0\]

Como al menos uno de $c_1$ o $c_2$ no es cero, no se cumple la condición ($\ref{eqn:linearly_independent}$), lo que significa que $y_1$ y $y_2$ son linealmente dependientes en el intervalo $I$.

ii.

Si el Wronskiano $W(x_0)=0$ en algún punto $x_0$ del intervalo $I$, entonces por i.(b), $y_1$ y $y_2$ son linealmente dependientes en el intervalo $I$, y por i.(a), $W\equiv 0$ en todo el intervalo. Por lo tanto, si existe un punto $x_1$ en el intervalo $I$ donde $W(x_1)\neq 0$, entonces $y_1$ y $y_2$ son linealmente independientes. $\blacksquare$

La solución general incluye todas las soluciones

Existencia de la solución general

Si $p(x)$ y $q(x)$ son continuos en un intervalo abierto $I$, entonces la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) tiene una solución general en el intervalo $I$.

Demostración

Por el Teorema de existencia y unicidad para problemas de valor inicial, la ecuación diferencial ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) tiene una solución $y_1(x)$ en el intervalo $I$ que satisface las condiciones iniciales

\[y_1(x_0) = 1, \qquad y_1^{\prime}(x_0) = 0\]

y una solución $y_2(x)$ en el intervalo $I$ que satisface las condiciones iniciales

\[y_2(x_0) = 0, \qquad y_2^{\prime}(x_0) = 1\]

El Wronskiano de estas dos soluciones en $x=x_0$ es un valor no nulo:

\[W(y_1(x_0), y_2(x_0)) = y_1(x_0)y_2^{\prime}(x_0) - y_2(x_0)y_1^{\prime}(x_0) = 1\cdot 1 - 0\cdot 0 = 1\]

Por lo tanto, según la Determinación de dependencia/independencia lineal mediante el Wronskiano, $y_1$ y $y_2$ son linealmente independientes en el intervalo $I$. Estas dos soluciones forman una base de soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) en el intervalo $I$, y por lo tanto, existe una solución general $y = c_1y_1 + c_2y_2$ con constantes arbitrarias $c_1$ y $c_2$ en el intervalo $I$. $\blacksquare$

Inexistencia de soluciones singulares

Si la ecuación diferencial ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) tiene coeficientes $p(x)$ y $q(x)$ continuos en un intervalo abierto $I$, entonces toda solución $y=Y(x)$ de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) en el intervalo $I$ puede expresarse como

\[Y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) \label{eqn:particular_solution}\tag{13}\]

donde $y_1$ y $y_2$ forman una base de soluciones de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) en el intervalo $I$, y $C_1$ y $C_2$ son constantes apropiadas.
Es decir, la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) no tiene soluciones singulares (soluciones que no pueden obtenerse de la solución general).

Demostración

Sea $y=Y(x)$ cualquier solución de la ecuación ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) en el intervalo $I$. Por el teorema de existencia de la solución general, la ecuación diferencial ($\ref{eqn:homogeneous_linear_ode_with_var_coefficients}$) tiene una solución general

\[y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x) \label{eqn:general_solution}\tag{14}\]

en el intervalo $I$. Debemos demostrar que para cualquier $Y(x)$ dado, existen constantes $c_1$ y $c_2$ tales que $y(x)=Y(x)$ en el intervalo $I$. Primero, encontremos valores de $c_1$ y $c_2$ tales que $y(x_0)=Y(x_0)$ y $y^{\prime}(x_0)=Y^{\prime}(x_0)$ para cualquier $x_0$ elegido en el intervalo $I$. De la ecuación ($\ref{eqn:general_solution}$), obtenemos

\[\begin{gather*} \left[\begin{matrix} y_1(x_0) & y_2(x_0) \\ y_1^{\prime}(x_0) & y_2^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} Y(x_0) \\ Y^{\prime}(x_0) \end{matrix}\right] \end{gather*} \label{eqn:vector_equation_2}\tag{15}\]

Como $y_1$ y $y_2$ forman una base, el determinante de la matriz de coeficientes, $W(y_1(x_0), y_2(x_0))\neq 0$, por lo que la ecuación ($\ref{eqn:vector_equation_2}$) tiene una solución única para $c_1$ y $c_2$. Llamemos a esta solución $(c_1, c_2) = (C_1, C_2)$. Sustituyendo estos valores en la ecuación ($\ref{eqn:general_solution}$), obtenemos la solución particular:

\[y^*(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x).\]

Como $(C_1, C_2)$ es la solución de la ecuación ($\ref{eqn:vector_equation_2}$), tenemos

\[y^*(x_0) = Y(x_0), \qquad {y^*}^{\prime}(x_0) = Y^{\prime}(x_0)\]

Por la unicidad garantizada por el Teorema de existencia y unicidad para problemas de valor inicial, $y^* \equiv Y$ en todo el intervalo $I$. $\blacksquare$