El pozo cuadrado infinito unidimensional

TL;DR

• Problema del pozo cuadrado infinito unidimensional: \(V(x) = \begin{cases} 0, & 0 \leq x \leq a,\\ \infty, & \text{en otros casos} \end{cases}\)
• Condiciones de contorno: $ \psi(0) = \psi(a) = 0 $
• Nivel de energía del n-ésimo estado estacionario: $E_n = \cfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$

• Solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo dentro del pozo:

  \[\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\]
• Interpretación física de cada estado estacionario $\psi_n$:
  • Forma de onda estacionaria en una cuerda de longitud $a$
  • Estado fundamental: estado estacionario $\psi_1$ con la energía más baja
  • Estados excitados: estados restantes con $n\geq 2$ cuya energía aumenta proporcionalmente a $n^2$
• 4 importantes propiedades matemáticas de $\psi_n$:
  1. Si el potencial $V(x)$ tiene simetría, las funciones pares e impares aparecen alternadamente respecto al centro del pozo
  2. A medida que aumenta la energía, cada estado consecutivo tiene un nodo más

  3. Posee ortonormalidad

     \[\begin{gather*} \int \psi_m(x)^*\psi_n(x)dx=\delta_{mn} \\ \delta_{mn} = \begin{cases} 0, & m\neq n \\ 1, & m=n \end{cases} \end{gather*}\]

  4. Posee completitud

     \[f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sum_{n=1}^{\infty} c_n\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\]

• Solución general de la ecuación de Schrödinger (combinación lineal de estados estacionarios):

  \[\begin{gather*} \Psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\left(\frac{n\pi}{a}x \right)}e^{-i(n^2\pi^2\hbar/2ma^2)t}, \\ \text{donde el coeficiente }c_n = \sqrt{\frac{2}{a}}\int_0^a \sin{\left(\frac{n\pi}{a}x \right)}\Psi(x,0) dx. \end{gather*}\]

Prerrequisitos

• Distribución de probabilidad continua y densidad de probabilidad
• Ortogonalidad y normalización (álgebra lineal)
• Series de Fourier y completitud (álgebra lineal)
• Ecuación de Schrödinger y función de onda
• Teorema de Ehrenfest
• Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

Condición de potencial dada

Si el potencial es

\[V(x) = \begin{cases} 0, & 0 \leq x \leq a,\\ \infty, & \text{en otros casos} \end{cases} \tag{1}\]

entonces la partícula dentro de este potencial es una partícula libre en el rango $0<x<a$ y no puede escapar debido a una fuerza infinita que actúa en ambos extremos ($x=0$ y $x=a$). En un modelo clásico, esto se interpreta como un movimiento de ida y vuelta infinito sin fuerzas no conservativas, repitiendo colisiones perfectamente elásticas hacia adelante y hacia atrás. Aunque este potencial es extremadamente artificial y simple, precisamente por eso puede ser un caso de referencia útil al examinar otras situaciones físicas mientras se estudia la mecánica cuántica, por lo que es necesario examinarlo cuidadosamente.

Fuente de la imagen

• Autor: Usuario de Wikimedia Benjamin ESHAM
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Configuración del modelo y condiciones de contorno

Fuera del pozo, la probabilidad de encontrar la partícula es $0$, por lo que $\psi(x)=0$. Dentro del pozo, $V(x)=0$, por lo que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi \label{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}\tag{2}\]

es decir,

\[\frac{d^2\psi}{dx^2} = -k^2\psi,\text{ donde } k\equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \tag{3}\]

Aquí se asume que $E\geq 0$.

Esta es la ecuación que describe un oscilador armónico simple clásico, y la solución general es

\[\psi(x) = A\sin{kx} + B\cos{kx} \label{eqn:psi_general_solution}\tag{4}\]

donde $A$ y $B$ son constantes arbitrarias que típicamente se determinan por las condiciones de contorno dadas en el problema al buscar una solución particular. En el caso de $\psi(x)$, normalmente la condición de contorno es que tanto $\psi$ como $d\psi/dx$ sean continuas, pero donde el potencial se vuelve infinito, solo $\psi$ es continua.

Encontrar la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

Como $\psi(x)$ es continua,

\[\psi(0) = \psi(a) = 0 \label{eqn:boundary_conditions}\tag{5}\]

debe conectarse con la solución fuera del pozo. En la ecuación ($\ref{eqn:psi_general_solution}$), cuando $x=0$

\[\psi(0) = A\sin{0} + B\cos{0} = B\]

por lo tanto, sustituyendo ($\ref{eqn:boundary_conditions}$), $B$ debe ser $0$.

\[\therefore \psi(x)=A\sin{kx} \label{eqn:psi_without_B}. \tag{6}\]

Entonces, como $\psi(a)=A\sin{ka}$, para satisfacer $\psi(a)=0$ de la ecuación ($\ref{eqn:boundary_conditions}$), $A=0$ (solución trivial) o $\sin{ka}=0$. Por lo tanto,

\[ka = 0,\, \pm\pi,\, \pm 2\pi,\, \pm 3\pi,\, \dots \tag{7}\]

Aquí también, $k=0$ es una solución trivial y resulta en $\psi(x)=0$, que no se puede normalizar, por lo que no es la solución que buscamos en este problema. Además, como $\sin(-\theta)=-\sin(\theta)$, el signo negativo puede ser absorbido en $A$ en la ecuación ($\ref{eqn:psi_without_B}$), por lo que considerar solo el caso $ka>0$ no pierde generalidad. Por lo tanto, las posibles soluciones para $k$ son

\[k_n = \frac{n\pi}{a},\ n\in\mathbb{N} \tag{8}\]

Entonces $\psi_n=A\sin{k_n x}$ y $\cfrac{d^2\psi}{dx^2}=-Ak^2\sin{kx}$, por lo que sustituyendo en la ecuación ($\ref{eqn:t_independent_schrodinger_eqn}$), los posibles valores de $E$ son:

\[A\frac{\hbar^2}{2m}k_n^2\sin{k_n x} = AE_n\sin{k_n x}\] \[E_n = \frac{\hbar^2 k_n^2}{2m} = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}. \tag{9}\]

En marcado contraste con el caso clásico, una partícula cuántica en un pozo cuadrado infinito no puede tener cualquier energía, sino que debe tener uno de los valores permitidos.

La energía se cuantiza debido a las condiciones de contorno aplicadas a la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

Ahora podemos encontrar $A$ normalizando $\psi$.

Originalmente, se normaliza $\Psi(x,t)$, pero según la ecuación (11) de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, esto equivale a normalizar $\psi(x)$.

\[\int_0^a |A|^2 \sin^2(kx)dx = |A|^2\frac{a}{2} = 1\] \[\therefore |A|^2 = \frac{2}{a}.\]

Esto determina estrictamente solo la magnitud de $A$, pero como la fase de $A$ no tiene ningún significado físico, podemos usar simplemente la raíz cuadrada real positiva como $A$. Por lo tanto, la solución dentro del pozo es

\[\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right) \label{eqn:psi_n}\tag{10}\]

Interpretación física de cada estado estacionario $\psi_n$

Como en la ecuación ($\ref{eqn:psi_n}$), hemos encontrado infinitas soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para cada nivel de energía $n$. Si dibujamos los primeros pocos de estos en un gráfico, se verían como la siguiente imagen.

Fuente de la imagen

• Autor: Usuario de Wikimedia Papa November
• Licencia: CC BY-SA 3.0

Estos estados toman la forma de ondas estacionarias en una cuerda de longitud $a$, y $\psi_1$, que tiene la energía más baja, se llama estado fundamental, mientras que los estados restantes con $n\geq 2$, cuya energía aumenta proporcionalmente a $n^2$, se llaman estados excitados.

4 importantes propiedades matemáticas de $\psi_n$

Todas las funciones $\psi_n(x)$ tienen las siguientes 4 importantes propiedades. Estas cuatro propiedades son muy poderosas y no se limitan solo al pozo cuadrado infinito. La primera propiedad siempre se cumple si el potencial mismo es una función con simetría, y la segunda, tercera y cuarta propiedades son propiedades generales que aparecen independientemente de la forma del potencial.

1. Las funciones pares e impares aparecen alternadamente con respecto al centro del pozo.

Para enteros positivos $n$, $\psi_{2n-1}$ es una función par y $\psi_{2n}$ es una función impar.

2. A medida que aumenta la energía, cada estado consecutivo tiene un nodo más.

Para enteros positivos $n$, $\psi_n$ tiene $(n-1)$ nodos.

3. Estos estados poseen ortogonalidad.

\[\int \psi_m(x)^*\psi_n(x)dx=0, \quad (m\neq n) \tag{11}\]

En este sentido, son ortogonales entre sí.

En el caso del pozo cuadrado infinito que estamos examinando ahora, $\psi$ es real, por lo que no es necesario tomar el conjugado complejo ($^*$) de $\psi_m$, pero es bueno acostumbrarse a incluirlo siempre para casos en los que no sea así.

Demostración

Cuando $m\neq n$,

\[\begin{align*} \int \psi_m(x)^*\psi_n(x)dx &= \frac{2}{a}\int_0^a \sin{\left(\frac{m\pi}{a}x\right)}\sin(\frac{n\pi}{a}x)dx \\ &= \frac{1}{a}\int_0^a \left[\cos{\left(\frac{m-n}{a}\pi x\right)-\cos{\left(\frac{m+n}{a}\pi x \right)}} \right]dx \\ &= \left\{\frac{1}{(m-n)\pi}\sin{\left(\frac{m-n}{a}\pi x \right)} - \frac{1}{(m+n)\pi}\sin{\left(\frac{m+n}{a}\pi x \right)} \right\}\Bigg|^a_0 \\ &= \frac{1}{\pi}\left\{\frac{\sin[(m-n)\pi]}{m-n}-\frac{\sin[(m+n)\pi]}{m+n} \right\} \\ &= 0. \end{align*}\]

Cuando $m=n$, esta integral es $1$ debido a la normalización, y usando la delta de Kronecker $\delta_{mn}$, la ortogonalidad y la normalización se pueden expresar juntas como

\[\begin{gather*} \int \psi_m(x)^*\psi_n(x)dx=\delta_{mn} \label{eqn:orthonomality}\tag{12}\\ \delta_{mn} = \begin{cases} 0, & m\neq n \\ 1, & m=n \end{cases} \label{eqn:kronecker_delta}\tag{13} \end{gather*}\]

En este caso, se dice que $\psi$ está ortonormalizada.

4. Estas funciones poseen completitud.

En el sentido de que cualquier otra función $f(x)$ se puede escribir como una combinación lineal

\[f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sum_{n=1}^{\infty} c_n\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right) \label{eqn:fourier_series}\tag{14}\]

estas funciones son completas. La ecuación ($\ref{eqn:fourier_series}$) es la serie de Fourier de $f(x)$, y el hecho de que cualquier función se pueda expandir de esta manera se llama teorema de Dirichlet.

Cálculo de los coeficientes $c_n$ usando el truco de Fourier

Cuando se da $f(x)$, se pueden encontrar los coeficientes $c_n$ usando el siguiente método llamado truco de Fourier, utilizando la completitud y la ortonormalidad mencionadas anteriormente. Multiplicando ambos lados de la ecuación ($\ref{eqn:fourier_series}$) por $\psi_m(x)^*$ e integrando, por las ecuaciones ($\ref{eqn:orthonomality}$) y ($\ref{eqn:kronecker_delta}$),

\[\int \psi_m(x)^*f(x)dx = \sum_{n=1}^{\infty} c_n\int\psi_m(x)^*\psi_n(x)dx = \sum_{n=1}^{\infty} c_n\delta_{mn} = c_m \tag{15}\]

Nótese que debido a la delta de Kronecker, todos los términos en la suma excepto el término $n=m$ desaparecen.

Por lo tanto, el coeficiente n-ésimo al expandir $f(x)$ es

\[c_n = \int \psi_n(x)^*f(x)dx \label{eqn:coefficients_n}\tag{16}\]

Encontrar la solución general $\Psi(x,t)$ de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

Cada estado estacionario del pozo cuadrado infinito, según la ecuación (10) del post ‘Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo’ y la ecuación ($\ref{eqn:psi_n}$) que encontramos anteriormente, es

\[\Psi_n(x,t) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\left(\frac{n\pi}{a}x \right)}e^{-i(n^2\pi^2\hbar/2ma^2)t} \tag{17}\]

Además, en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, vimos anteriormente que la solución general de la ecuación de Schrödinger se puede expresar como una combinación lineal de estados estacionarios. Por lo tanto, podemos escribir

\[\Psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\left(\frac{n\pi}{a}x \right)}e^{-i(n^2\pi^2\hbar/2ma^2)t} \label{eqn:general_solution}\tag{18}\]

Ahora solo necesitamos encontrar los coeficientes $c_n$ que satisfacen la siguiente condición:

\[\Psi(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n\psi_n(x).\]

Por la completitud de $\psi$ que examinamos anteriormente, siempre existen $c_n$ que satisfacen lo anterior, y se pueden encontrar sustituyendo $\Psi(x,0)$ por $f(x)$ en la ecuación ($\ref{eqn:coefficients_n}$).

\[\begin{align*} c_n &= \int \psi_n(x)^*\Psi(x,0)dx \\ &= \sqrt{\frac{2}{a}}\int_0^a \sin{\left(\frac{n\pi}{a}x \right)}\Psi(x,0) dx. \end{align*} \label{eqn:calc_of_cn}\tag{19}\]

Si se da $\Psi(x,0)$ como condición inicial, se pueden encontrar los coeficientes de expansión $c_n$ usando la ecuación ($\ref{eqn:calc_of_cn}$), y luego sustituirlos en la ecuación ($\ref{eqn:general_solution}$) para encontrar $\Psi(x,t)$. Después de eso, se puede calcular cualquier cantidad física de interés siguiendo el proceso del teorema de Ehrenfest. Este método se puede aplicar no solo al pozo cuadrado infinito sino también a cualquier potencial, solo cambiando la forma de las funciones $\psi$ y la ecuación para los niveles de energía permitidos.

Derivación de la conservación de la energía ($\langle H \rangle=\sum|c_n|^2E_n$)

Derivemos la conservación de la energía que examinamos brevemente en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo utilizando la ortonormalidad de $\psi(x)$ (ecuaciones [$\ref{eqn:orthonomality}$]-[$\ref{eqn:kronecker_delta}$]). Como $c_n$ es independiente del tiempo, es suficiente demostrar que es cierto para el caso $t=0$.

\[\begin{align*} \int|\Psi|^2dx &= \int \left(\sum_{m=1}^{\infty}c_m\psi_m(x)\right)^*\left(\sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x)\right)dx \\ &= \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}c_m^*c_n\int\psi_m(x)^*\psi_n(x)dx \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}c_m^*c_n\delta_{mn} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2 \end{align*}\] \[\therefore \sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2 = 1. \quad (\because \int|\Psi|^2dx=1)\]

Además, como

\[\hat{H}\psi_n = E_n\psi_n\]

obtenemos lo siguiente:

\[\begin{align*} \langle H \rangle &= \int \Psi^*\hat{H}\Psi dx = \int \left(\sum c_m\psi_m \right)^*\hat{H}\left(\sum c_n\psi_n \right) dx \\ &= \sum\sum c_m c_n E_n\int \psi_m^*\psi_n dx \\ &= \sum\sum c_m c_n E_n\delta_{mn} \\ &= \sum|c_n|^2E_n. \ \blacksquare \end{align*}\]